자연계열 3번

(3-1) $\displaystyle f(x)$는 닫힌 구간 $\displaystyle [0,2\pi]$에서 연속이고 열린 구간 $\displaystyle (0,2\pi)$에서 미분가능한 함수이므로 제시문 (가)에 의해 양 끝점과 극값에서 최솟값을 갖는다. 양 끝점에서 함숫값 $\displaystyle f(0)=2=f(2\pi)$이다. 극값을 구하기 위해 도함수를 구하면$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{-\sin x(\frac12-a\sin x)-\cos x(-a\cos x)}{(\frac12-a\sin x)^2}=\frac{a-\frac12\sin x}{(\frac12-a\sin x)^2}=0$

이고 $\displaystyle 0<2a<1$이므로 $\displaystyle \sin x=2a$의 해를 $\displaystyle x=\alpha$와 $\displaystyle x=\beta$ ($\displaystyle \alpha<\beta$)라면 $\displaystyle 0<\alpha<\frac\pi2<\beta<\pi$이다. $\displaystyle 0<x<\alpha$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$, $\displaystyle \alpha<x<\beta$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$, $\displaystyle \beta<x<2\pi$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이므로 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=\beta$에서 극솟값$\displaystyle f(\beta)=\frac{\cos\beta}{\frac12-a\sin\beta}=\frac{-\sqrt{1-\sin^2\beta}}{\frac12-a\sin\beta}=\frac{-\sqrt{1-(2a)^2}}{\frac12-a(2a)}=\frac{-2}{\sqrt{1-4a^2}}$을 갖는다. 따라서 닫힌 구간 $\displaystyle [0,2\pi]$에서 $\displaystyle f(x)$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{-2}{\sqrt{1-4a^2}}$이다.

(3-2) $\displaystyle x=\frac\pi2,\frac{3\pi}2$에서 $\displaystyle f(x)=0$이고 논제 (3-1)에서 $\displaystyle f(x)$의 최솟값이 음수이므로 구하는 면적은$\displaystyle \begin{aligned}S(a)&=-\int_{\frac\pi2}^{\frac{3\pi}2}\frac{\cos x}{\frac12-a\sin x}\,dx=-\int_1^{-1}\frac1{\frac12-at}\,dt=\int_{-1}^1\frac1{\frac12-at}\,dt\\&=\Biggl[-\frac1a\ln\left|\frac12-at\right|\Biggr]_{-1}^1=-\frac1a\left(\ln\left(\frac12-a\right)-\ln\left(\frac12+a\right)\right)=\frac1a\ln\left(\frac{1+2a}{1-2a}\right)\end{aligned}$이다.

(3-3) 제시문 (나)와 (라)의 극한성질을 이용하면 다음과 같이 구할 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{a\to0^+}\frac1a\ln\left(\frac{1+2a}{1-2a}\right)&=\lim_{a\to0^+}\ln\left(\frac{1+2a}{1-2a}\right)^{\frac1a}=\ln\left\{\lim_{a\to0^+}\left(\frac{1+2a}{1-2a}\right)^{\frac1a}\right\}\\&=\ln\left\{\frac{\lim_{a\to0^+}(1+2a)^{\frac1{2a}\times2}}{\lim_{a\to0^+}(1-2a)^{\frac1{-2a}\times(-2)}}\right\}=\ln\left(\frac{e^2}{e^{-2}}\right)=\ln e^4=4\end{aligned}$이다.