수리논술, 이게 다다.

자연계열 3번

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인하대 2018학년도 모의 1차 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/inha/2018mo/jayeon_3

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문제

(가) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 닫힌 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속이고 열린 구간 (a,b)\displaystyle (a,b)에서 미분가능하면 이 구간에서의 극값과 양 끝점에서의 함숫값 f(a),f(b)\displaystyle f(a),f(b)중에서 가장 큰 값이 최댓값이고, 가장 작은 값이 최솟값이다.

(나) x\displaystyle x의 값이 0\displaystyle 0에 한없이 가까워질 때, (1+x)1x\displaystyle (1+x)^{\frac1x}의 값은 어떤 일정한 값에 수렴함이 알려져 있는데, 그 값을 e\displaystyle e로 나타낸다. 이때 수 e\displaystyle e는 무리수이고, 그 값은lim⁡x→0(1+x)1x=e=2.71828182845904⋯\displaystyle \lim_{x\to0}(1+x)^{\frac1x}=e=2.71828182845904\cdots임이 알려져 있다. 무리수 e\displaystyle e를 밑으로 하는 로그 log⁡ex\displaystyle \log_ex를 x\displaystyle x의 자연로그라고 하며, 이것을 간단히 ln⁡x\displaystyle \ln x와 같이 나타낸다. 특히, ln⁡1=log⁡e1=0\displaystyle \ln1=\log_e1=0, ln⁡e=log⁡ee=1\displaystyle \ln e=\log_ee=1이다.

(다) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 닫힌 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속일 때, 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 x\displaystyle x축 및 두 직선 x=a,x=b\displaystyle x=a,x=b로 둘러싸인 영역의 넓이 S\displaystyle S는S=∫ab∣f(x)∣ dx\displaystyle S=\int_a^b|f(x)|\,dx이다.

(라) 두 함수 f(x),g(x)\displaystyle f(x),g(x)에 대하여 lim⁡x→af(x)=L\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=L, lim⁡x→ag(x)=M≠0\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)=M\ne0 (L,M\displaystyle L,M은 실수)일 때,lim⁡x→af(x)g(x)=lim⁡x→af(x)lim⁡x→ag(x)=LM\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)}=\frac LM가 성립하고 함수 h(x)\displaystyle h(x)가 실수 a\displaystyle a에서 극한값을 갖고, h(x)>0\displaystyle h(x)>0, lim⁡x→ah(x)>0\displaystyle \lim_{x\to a}h(x)>0이면 다음이 성립함이 알려져 있다.lim⁡x→a{ln⁡h(x)}=ln⁡{lim⁡x→ah(x)}\displaystyle \lim_{x\to a}\{\ln h(x)\}=\ln\{\lim_{x\to a}h(x)\}

(※) 0<a<12\displaystyle 0<a<\frac12을 만족하는 실수인 상수 a\displaystyle a에 대하여, 닫힌 구간 [0,2π]\displaystyle [0,2\pi]에서 정의된 함수f(x)=cos⁡x12−asin⁡x\displaystyle f(x)=\frac{\cos x}{\frac12-a\sin x}를 생각하자.

(3-1) 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 최솟값을 a\displaystyle a로 표현하시오. (15점)

(3-2) 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 그래프와 x\displaystyle x축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 S(a)\displaystyle S(a)라 할 때, S(a)\displaystyle S(a)를 a\displaystyle a로 표현하시오. (10점)

(3-3) lim⁡a→0+S(a)\displaystyle \lim_{a\to0^+}S(a)의 값을 구하시오. (10점)

해설강의 준비중

인하대 2018학년도 모의 1차 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/inha/2018mo/jayeon_3

+5점 · 양 끝점의 값을 구하면 2점, 도함수를 구하면 3점

(3-1) f(x)\displaystyle f(x)는 닫힌 구간 [0,2π]\displaystyle [0,2\pi]에서 연속이고 열린 구간 (0,2π)\displaystyle (0,2\pi)에서 미분가능한 함수이므로 제시문 (가)에 의해 양 끝점과 극값에서 최솟값을 갖는다. 양 끝점에서 함숫값 f(0)=2=f(2π)\displaystyle f(0)=2=f(2\pi)이다. 극값을 구하기 위해 도함수를 구하면f′(x)=−sin⁡x(12−asin⁡x)−cos⁡x(−acos⁡x)(12−asin⁡x)2=a−12sin⁡x(12−asin⁡x)2=0\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{-\sin x(\frac12-a\sin x)-\cos x(-a\cos x)}{(\frac12-a\sin x)^2}=\frac{a-\frac12\sin x}{(\frac12-a\sin x)^2}=0

+3점 · sin⁡x=2a\displaystyle \sin x=2a의 해를 x=α\displaystyle x=\alpha와 x=β\displaystyle x=\beta (α<β\displaystyle \alpha<\beta)로 설정하여 계산 3점

이고 0<2a<1\displaystyle 0<2a<1이므로 sin⁡x=2a\displaystyle \sin x=2a의 해를 x=α\displaystyle x=\alpha와 x=β\displaystyle x=\beta (α<β\displaystyle \alpha<\beta)라면 0<α<π2<β<π\displaystyle 0<\alpha<\frac\pi2<\beta<\pi이다.

+4점 · 극값을 판정하면 4점

0<x<α\displaystyle 0<x<\alpha일 때 f′(x)>0\displaystyle f^{\prime}(x)>0, α<x<β\displaystyle \alpha<x<\beta일 때 f′(x)<0\displaystyle f^{\prime}(x)<0, β<x<2π\displaystyle \beta<x<2\pi일 때 f′(x)>0\displaystyle f^{\prime}(x)>0이므로 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 x=β\displaystyle x=\beta에서 극솟값f(β)=cos⁡β12−asin⁡β=−1−sin⁡2β12−asin⁡β=−1−(2a)212−a(2a)=−21−4a2\displaystyle f(\beta)=\frac{\cos\beta}{\frac12-a\sin\beta}=\frac{-\sqrt{1-\sin^2\beta}}{\frac12-a\sin\beta}=\frac{-\sqrt{1-(2a)^2}}{\frac12-a(2a)}=\frac{-2}{\sqrt{1-4a^2}}을 갖는다.

+3점 · 최솟값을 구하면 3점

따라서 닫힌 구간 [0,2π]\displaystyle [0,2\pi]에서 f(x)\displaystyle f(x)의 최솟값은 −21−4a2\displaystyle \frac{-2}{\sqrt{1-4a^2}}이다.

+2점 · f(x)=0\displaystyle f(x)=0의 해를 구하면 2점

(3-2) x=π2,3π2\displaystyle x=\frac\pi2,\frac{3\pi}2에서 f(x)=0\displaystyle f(x)=0이고

+3점 · f(x)\displaystyle f(x)의 최솟값이 음수임을 서술하면 3점

논제 (3-1)에서 f(x)\displaystyle f(x)의 최솟값이 음수이므로

+5점 · S(a)\displaystyle S(a)를 구하면 5점

구하는 면적은S(a)=−∫π23π2cos⁡x12−asin⁡x dx=−∫1−1112−at dt=∫−11112−at dt=[−1aln⁡∣12−at∣]−11=−1a(ln⁡(12−a)−ln⁡(12+a))=1aln⁡(1+2a1−2a)\displaystyle \begin{aligned}S(a)&=-\int_{\frac\pi2}^{\frac{3\pi}2}\frac{\cos x}{\frac12-a\sin x}\,dx=-\int_1^{-1}\frac1{\frac12-at}\,dt=\int_{-1}^1\frac1{\frac12-at}\,dt\\&=\Biggl[-\frac1a\ln\left|\frac12-at\right|\Biggr]_{-1}^1=-\frac1a\left(\ln\left(\frac12-a\right)-\ln\left(\frac12+a\right)\right)=\frac1a\ln\left(\frac{1+2a}{1-2a}\right)\end{aligned}이다.

+6점 · 제시문 (나)와 (라)를 적용하여 계산하면 6점
+4점 · 극한값이 맞으면 4점

(3-3) 제시문 (나)와 (라)의 극한성질을 이용하면 다음과 같이 구할 수 있다.lim⁡a→0+1aln⁡(1+2a1−2a)=lim⁡a→0+ln⁡(1+2a1−2a)1a=ln⁡{lim⁡a→0+(1+2a1−2a)1a}=ln⁡{lim⁡a→0+(1+2a)12a×2lim⁡a→0+(1−2a)1−2a×(−2)}=ln⁡(e2e−2)=ln⁡e4=4\displaystyle \begin{aligned}\lim_{a\to0^+}\frac1a\ln\left(\frac{1+2a}{1-2a}\right)&=\lim_{a\to0^+}\ln\left(\frac{1+2a}{1-2a}\right)^{\frac1a}=\ln\left\{\lim_{a\to0^+}\left(\frac{1+2a}{1-2a}\right)^{\frac1a}\right\}\\&=\ln\left\{\frac{\lim_{a\to0^+}(1+2a)^{\frac1{2a}\times2}}{\lim_{a\to0^+}(1-2a)^{\frac1{-2a}\times(-2)}}\right\}=\ln\left(\frac{e^2}{e^{-2}}\right)=\ln e^4=4\end{aligned}이다.

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