자연계열 2번

인하대 2018학년도 모의 1차 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/inha/2018mo/jayeon_2

(가) (평균값정리) 함수 $\displaystyle h(x)$ 가 닫힌 구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이고 열린 구간 $\displaystyle (a,b)$ 에서 미분가능하면 $\displaystyle \frac{h(b)-h(a)}{b-a}=h^{\prime}(c)$ 인 $\displaystyle c$ 가 $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle b$ 사이에 적어도 하나 존재한다.

(나) (사인함수의 덧셈정리) $\displaystyle \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b,\quad\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$

(2-1) 함수 $\displaystyle h(x)$ 가 닫힌 구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이고 열린 구간 $\displaystyle (a,b)$ 에서 미분가능할 때, 열린 구간 $\displaystyle (a,b)$ 의 모든 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle h^{\prime}(x)=0$ 이면 함수 $\displaystyle h(x)$ 는 닫힌 구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 상수함수임을 보이시오. (10점)

(2-2) 함수 $\displaystyle y=2\sin x+3\cos x$ 에 대하여 $\displaystyle y^{\prime\prime}+y=0$ 이 성립함을 보이시오. (여기서, $\displaystyle y^{\prime}=\frac{dy}{dx}$ , $\displaystyle y^{\prime\prime}=\frac{d^2y}{dx^2}$ 이다.) (5점)

(2-3) 닫힌 구간 $\displaystyle [-\pi,\pi]$ 에서 정의된 $\displaystyle x$ 에 대한 함수 $\displaystyle y$ 가 $\displaystyle y^{\prime\prime}+y=0$ 을 만족한다고 하자. 이 때, 두 함수 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 를 $\displaystyle \begin{cases}f(x)=y\cos x-y^{\prime}\sin x\\g(x)=y\sin x+y^{\prime}\cos x\end{cases}$ 로 정의하자.(a) 두 함수 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 가 상수함수임을 보이시오. (5점)(b) $\displaystyle y=c_1\cos x+c_2\sin x$ 임을 보이시오. (여기서, $\displaystyle c_1,c_2$ 는 상수) (5점)(c) $\displaystyle y(0)=1$ , $\displaystyle y^{\prime}(0)=2$ 일 때, 상수 $\displaystyle c_1,c_2$ 를 구하고 $\displaystyle y=r\sin(x+\alpha)$ 꼴로 나타내었을 때, $\displaystyle r$ 과 $\displaystyle \tan\alpha$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle r>0$ , $\displaystyle 0\le\alpha<2\pi$ ) (10점)

해설강의 준비중

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+5점 ·

\displaystyle a<x\le b

인 임의의 실수

\displaystyle x

에 대하여 구간

\displaystyle [a,x]

에 평균값 정리를 적용하면 5점

(2-1) $\displaystyle a<x\le b$ 인 임의의 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 구간 $\displaystyle [a,x]$ 에 제시문 (가)의 평균값 정리를 사용하면 $\displaystyle \frac{h(x)-h(a)}{x-a}=h^{\prime}(c)$ 인 $\displaystyle c$ 가 $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle x$ 사이에 존재한다.

+5점 · 상수함수임을 논리적으로 설명하면 5점

가정에 의하여 $\displaystyle h^{\prime}(c)=0$ 이므로 $\displaystyle h(x)-h(a)=0$ 이다. 즉, $\displaystyle a<x\le b$ 인 임의의 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle h(x)=h(a)$ 이므로 $\displaystyle h(x)$ 는 상수함수이다.

+5점 · 사인, 코사인 함수의 2계도함수를 구하여 주어진 식에 대입하여 성립함을 보이면 5점 (이계도함수만 구한 경우 각 2점)

(2-2) $\displaystyle y^{\prime}=2\cos x-3\sin x$ , $\displaystyle y^{\prime\prime}=-2\sin x-3\cos x$ 이므로 $\displaystyle y^{\prime\prime}+y=0$ 을 만족한다.

+5점 · (a)

\displaystyle f^{\prime}(x)=0,g^{\prime}(x)=0

임을 보이면 4점 상수함수임을 언급하면 1점

(2-3) (a) 미분법에 의하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)=(y^{\prime}\cos x-y\sin x)-(y^{\prime\prime}\sin x+y^{\prime}\cos x)=0$ 이고 마찬가지로 $\displaystyle g^{\prime}(x)=0$ 이다. 그러므로 논제 (2-1)에 의해 $\displaystyle f(x)=c_1$ 과 $\displaystyle g(x)=c_2$ 은 상수함수이다.

+5점 · (b)

\displaystyle f(x),g(x)

사이의 관계식을 이용하여

\displaystyle y

를 사인함수와 코사인함수로 표현하면 5점

(b) 연립방정식 $\displaystyle \begin{cases}c_1=y\cos x-y^{\prime}\sin x\\c_2=y\sin x+y^{\prime}\cos x\end{cases}$ 에서 $\displaystyle y^{\prime}$ 을 소거하면 $\displaystyle y=c_1\cos x+c_2\sin x$ 를 얻는다.

+10점 · (c) 삼각함수의 덧셈법칙을 이용하여

\displaystyle y=r\sin(x+\alpha)

로 표현하면 6점

\displaystyle r

을 구하면 2점

\displaystyle \tan\alpha

를 구하면 2점

(c) $\displaystyle y(0)=1$ 에서 $\displaystyle c_1=1$ 이고 $\displaystyle y^{\prime}(0)=2$ 에서 $\displaystyle c_2=2$ 이다. 이때, $\displaystyle y=\cos x+2\sin x=\sqrt5\left(\frac1{\sqrt5}\cos x+\frac2{\sqrt5}\sin x\right)$ 이고 제시문 (나)의 덧셈정리를 이용하면 $\displaystyle y=\sqrt5\sin(x+\alpha)$ 　(단, $\displaystyle \tan\alpha=1/2$ )이다. 따라서, $\displaystyle r=\sqrt5$ 이고 $\displaystyle \tan\alpha=\frac12$ 이다.

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