자연계열 2번

(2-1) $\displaystyle a<x\le b$인 임의의 실수 $\displaystyle x$에 대하여 구간 $\displaystyle [a,x]$에 제시문 (가)의 평균값 정리를 사용하면 $\displaystyle \frac{h(x)-h(a)}{x-a}=h^{\prime}(c)$인 $\displaystyle c$가 $\displaystyle a$와 $\displaystyle x$사이에 존재한다. 가정에 의하여 $\displaystyle h^{\prime}(c)=0$이므로 $\displaystyle h(x)-h(a)=0$이다. 즉, $\displaystyle a<x\le b$인 임의의 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle h(x)=h(a)$이므로 $\displaystyle h(x)$는 상수함수이다.

(2-2) $\displaystyle y^{\prime}=2\cos x-3\sin x$, $\displaystyle y^{\prime\prime}=-2\sin x-3\cos x$이므로 $\displaystyle y^{\prime\prime}+y=0$을 만족한다.

(2-3) (a) 미분법에 의하여$\displaystyle f^{\prime}(x)=(y^{\prime}\cos x-y\sin x)-(y^{\prime\prime}\sin x+y^{\prime}\cos x)=0$이고 마찬가지로 $\displaystyle g^{\prime}(x)=0$이다. 그러므로 논제 (2-1)에 의해 $\displaystyle f(x)=c_1$과 $\displaystyle g(x)=c_2$은 상수함수이다.

(b) 연립방정식$\displaystyle \begin{cases}c_1=y\cos x-y^{\prime}\sin x\\c_2=y\sin x+y^{\prime}\cos x\end{cases}$에서 $\displaystyle y^{\prime}$을 소거하면$\displaystyle y=c_1\cos x+c_2\sin x$를 얻는다.

(c) $\displaystyle y(0)=1$에서 $\displaystyle c_1=1$이고 $\displaystyle y^{\prime}(0)=2$에서 $\displaystyle c_2=2$이다. 이때,$\displaystyle y=\cos x+2\sin x=\sqrt5\left(\frac1{\sqrt5}\cos x+\frac2{\sqrt5}\sin x\right)$이고 제시문 (나)의 덧셈정리를 이용하면$\displaystyle y=\sqrt5\sin(x+\alpha)$　(단, $\displaystyle \tan\alpha=1/2$)이다. 따라서, $\displaystyle r=\sqrt5$이고 $\displaystyle \tan\alpha=\frac12$이다.