자연계열 1번

즉, $\displaystyle A ( 0 , 2 \cos t ) , B \left( \frac{{2 \cos^{2} t}}{1 - \sin t} , 0 \right) = ( 2 + 2 \sin t , 0 )$이므로 $\displaystyle G \left( \frac{{2}}{3} + \frac{{2}}{3} \sin t , \frac{{2}}{3} \cos t \right)$이다.

따라서, $\displaystyle G$가 나타내는 곡선의 방정식은 $\displaystyle \left( x - \frac{2}{3} \right)^{2} + y^{2} = \frac{4}{9} = \left( \frac{2}{3} \right)^{2}$ $\displaystyle ( x \geq \frac{2}{3} , y > 0 )$이다.

(1-2) 삼각형 $\displaystyle OAB$의 넓이 $\displaystyle S ( t ) = \frac{{2 \cos^{3} t}}{1 - \sin t}$이고 $\displaystyle S^{\prime} ( t ) = \frac{{2 \cos^{2} t ( 1 - 2 \sin t )}}{1 - \sin t}$이므로제시문 (가)에 의해 $\displaystyle 1 - 2 \sin t = 0 , t = \frac{{\pi}}{6}$일 때 극대, 즉, 최대가 된다.

한편, 점 $\displaystyle O , G , P$가 한 직선위에 있을 때는 $\displaystyle {\overrightarrow{OP}} = < 2 \cos^{2} t , 2 \sin t \cos t > , {\overrightarrow{OG}} = < \frac{{2 \cos^{2} t}}{3 ( 1 - \sin t )} , \frac{{2}}{3} \cos t >$가 평행이고, 이는 $\displaystyle 1 - \sin t = \sin t$ 즉, $\displaystyle t = \frac{\pi}{6}$일 때이다. 따라서, 점 $\displaystyle O , G , P$가 한 직선위에 있을 때 삼각형 $\displaystyle OAB$의 넓이가 최대가 된다.

(1-3) (1-2)에 의해 $\displaystyle t = \frac{\pi}{6}$일 때, $\displaystyle P = \left( \frac{{3}}{2} , \frac{{\sqrt{3}}}{2} \right) , G = \left( 1 , \frac{{\sqrt{3}}}{3} \right)$이고 구하는 영역은 아래 그림과 같이 두 원 $\displaystyle ( x - 1 )^{2} + y^{2} = 1$, $\displaystyle \left( x - \frac{2}{3} \right)^{2} + y^{2} = \frac{4}{9} = \left( \frac{2}{3} \right)^{2}$, $\displaystyle x$축 그리고 직선 $\displaystyle y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$로 둘러싸인 영역 $\displaystyle R$이다.

제시문 (나)에 의해 $\displaystyle x - 1 = \sin \theta$로 치환하면$\displaystyle \int_{\frac{{3}}{2}}^{2} {\sqrt{1 - ( x - 1 )^{2}}} d x = \int_{\frac{{\pi}}{6}}^{\frac{{\pi}}{2}} {} \cos^{2} \theta d \theta = \frac{{\pi}}{6} - \frac{{\sqrt{3}}}{8}$

$\displaystyle x - \frac{{2}}{3} = \frac{{2}}{3} \sin \theta$로 치환하면$\displaystyle \int_{1}^{\frac{{4}}{3}} {\sqrt{\frac{{4}}{9} - \left( x - \frac{{2}}{3} \right)^{2}}} d x = \frac{{4}}{9} \int_{\frac{{\pi}}{6}}^{\frac{{\pi}}{2}} {} \cos^{2} \theta d \theta = \frac{{4}}{9} \left( \frac{{\pi}}{6} - \frac{{\sqrt{3}}}{8} \right)$

따라서, $\displaystyle R$의 넓이 $\displaystyle A$는$\displaystyle \begin{aligned}A &= ( \text{사다리꼴 }GG^{\prime}P^{\prime}P\text{의 넓이} ) + \int_{\frac{{3}}{2}}^{2} {\sqrt{1 - ( x - 1 )^{2}}} d x - \int_{1}^{\frac{{4}}{3}} {\sqrt{\frac{{4}}{9} - \left( x - \frac{{2}}{3} \right)^{2}}} d x \\ &= \frac{{1}}{4} \left( \frac{{\sqrt{3}}}{2} + \frac{{\sqrt{3}}}{3} \right) + \left( \frac{{\pi}}{6} - \frac{{\sqrt{3}}}{8} \right) - \frac{{4}}{9} \left( \frac{{\pi}}{6} - \frac{{\sqrt{3}}}{8} \right) = \frac{{5 \pi}}{54} + \frac{{5 \sqrt{3}}}{36}\end{aligned}$