수리논술, 이게 다다.

자연계열 1번

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인하대 2020학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/inha/2020mo/jayeon_1

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문제

(가) 미분가능한 함수 f(x)\displaystyle f ( x )가 f′(a)=0\displaystyle f^{\prime} ( a ) = 0이고 x=a\displaystyle x = a의 좌우에서(1) f′(x)\displaystyle f^{\prime} ( x )의 부호가 양(+)에서 음(-)으로 바뀌면 f(x)\displaystyle f ( x )는 x=a\displaystyle x = a에서 극대이고, 극댓값은 f(a)\displaystyle f ( a )이다.(2) f′(x)\displaystyle f^{\prime} ( x )의 부호가 음(-)에서 양(+)으로 바뀌면 f(x)\displaystyle f ( x )는 x=a\displaystyle x = a에서 극소이고, 극솟값은 f(a)\displaystyle f ( a )이다.

(나) 미분가능한 함수 t=g(x)\displaystyle t = g ( x )의 도함수 g′(x)\displaystyle g^{\prime} ( x )가 구간 [α,β]\displaystyle [ \alpha , \beta ]에서 연속이고, 함수 f(t)\displaystyle f ( t )가 구간 [a,b]\displaystyle [ a , b ]에서 연속일 때, g(α)=a\displaystyle g ( \alpha ) = a, g(β)=b\displaystyle g ( \beta ) = b이면∫αβf(g(x))g′(x)dx=∫abf(t)dt\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} f ( g ( x ) ) g^{\prime} ( x ) d x = \int_{a}^{b} f ( t ) d t

(다) 함수 f(x)\displaystyle f ( x )가 닫힌 구간 [a,b]\displaystyle [ a , b ]에서 연속일 때, 곡선 y=f(x)\displaystyle y = f ( x )와 x\displaystyle x축 및 두 직선 x=a\displaystyle x = a, x=b\displaystyle x = b로 둘러싸인 영역의 넓이 S\displaystyle S는S=∫ab∣f(x)∣dx\displaystyle S = \int_{a}^{b} {} | f ( x ) | d x이다.

(※) 좌표평면 위를 움직이는 점 P(x,y)\displaystyle P ( x , y )의 좌표가 매개변수 t\displaystyle t의 함수x=2cos⁡2t\displaystyle x = 2 \cos^{2} t, y=sin⁡2t\displaystyle y = \sin 2 t로 주어졌다. 점 A(0,OP‾)\displaystyle A ( 0 , {\overline{OP}} )와 P\displaystyle P를 지나는 직선이 x\displaystyle x축과 만나는 점을 B(k,0)\displaystyle B ( k , 0 )라 하고 삼각형 OAB\displaystyle OAB의 무게중심을 G\displaystyle G라 하자. (단, 0≤t<π2\displaystyle 0 \le t < \frac{\pi}{2}, O\displaystyle O는 원점)

(1-1) G\displaystyle G가 나타내는 곡선의 방정식을 구하시오. (10점)

(1-2) 삼각형 OAB\displaystyle OAB의 넓이를 t\displaystyle t에 관한 식으로 나타내고 점 O,G,P\displaystyle O , G , P가 한 직선위에 있을 때 이 넓이가 최대가 됨을 보이시오. (10점)

(1-3) 매개변수 t\displaystyle t로 좌표가 주어지는 두 점 P,G\displaystyle P , G가 그리는 두 곡선과 점 O,G,P\displaystyle O , G , P가 한 직선위에 있을 때의 직선OP\displaystyle OP그리고 x\displaystyle x축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하시오. (10점)

해설강의 준비중

인하대 2020학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/inha/2020mo/jayeon_1

(1-1) y2=(sin⁡2t)2=(2sin⁡tcos⁡t)2=4(1−cos⁡2t)cos⁡2t=2x−x2\displaystyle y^{2} = ( \sin 2 t )^{2} = ( 2 \sin t \cos t )^{2} = 4 ( 1 - \cos^{2} t ) \cos^{2} t = 2 x - x^{2} 이므로 주어진 매개변수로 나타낸 곡선은(x−1)2+y2=1\displaystyle ( x - 1 )^{2} + y^{2} = 1 (x>0,y≥0)\displaystyle ( x > 0 , y \ge 0 )이다. 한편 OP‾=x2+y2=2cos⁡t\displaystyle \overline{OP} = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = 2 \cos t이고 P\displaystyle P를 x\displaystyle x축에 내린 수선의 발을 P′\displaystyle P^{\prime}라고 하면 삼각형 OAB\displaystyle OAB과 삼각형 P′PB\displaystyle P^{\prime} PB는 닮음이므로 k=2cos⁡2t1−sin⁡t\displaystyle k = \frac{{2 \cos^{2} t}}{1 - \sin t} 이다.

+5점 · 무게중심 G(23+23sin⁡t,23cos⁡t)\displaystyle G \left( \frac{{2}}{3} + \frac{{2}}{3} \sin t , \frac{{2}}{3} \cos t \right)을 구하면 5점

즉, A(0,2cos⁡t),B(2cos⁡2t1−sin⁡t,0)=(2+2sin⁡t,0)\displaystyle A ( 0 , 2 \cos t ) , B \left( \frac{{2 \cos^{2} t}}{1 - \sin t} , 0 \right) = ( 2 + 2 \sin t , 0 )이므로 G(23+23sin⁡t,23cos⁡t)\displaystyle G \left( \frac{{2}}{3} + \frac{{2}}{3} \sin t , \frac{{2}}{3} \cos t \right)이다.

+5점 · (x−23)2+y2=49=(23)2\displaystyle \left( x - \frac{2}{3} \right)^{2} + y^{2} = \frac{4}{9} = \left( \frac{2}{3} \right)^{2}를 구하면 5점

따라서, G\displaystyle G가 나타내는 곡선의 방정식은 (x−23)2+y2=49=(23)2\displaystyle \left( x - \frac{2}{3} \right)^{2} + y^{2} = \frac{4}{9} = \left( \frac{2}{3} \right)^{2} (x≥23,y>0)\displaystyle ( x \geq \frac{2}{3} , y > 0 )이다.

점 P와 무게중심 G의 자취
+2점 · S(t)=2cos⁡3t1−sin⁡t\displaystyle S ( t ) = \frac{{2 \cos^{3} t}}{1 - \sin t}를 구하면 2점

(1-2) 삼각형 OAB\displaystyle OAB의 넓이 S(t)=2cos⁡3t1−sin⁡t\displaystyle S ( t ) = \frac{{2 \cos^{3} t}}{1 - \sin t}이고

+5점 · S′(t)\displaystyle S^{\prime} ( t )를 구하고 t=π6\displaystyle t = \frac{\pi}{6}에서 삼각형의 넓이가 최대가 됨을 보이면 5점

S′(t)=2cos⁡2t(1−2sin⁡t)1−sin⁡t\displaystyle S^{\prime} ( t ) = \frac{{2 \cos^{2} t ( 1 - 2 \sin t )}}{1 - \sin t}이므로제시문 (가)에 의해 1−2sin⁡t=0,t=π6\displaystyle 1 - 2 \sin t = 0 , t = \frac{{\pi}}{6}일 때 극대, 즉, 최대가 된다.

+3점 · 점 O,G,P\displaystyle O , G , P가 한 직선상에 있을 때 t=π6\displaystyle t = \frac{\pi}{6}의 값을 구하면 3점

한편, 점 O,G,P\displaystyle O , G , P가 한 직선위에 있을 때는 OP→=<2cos⁡2t,2sin⁡tcos⁡t>,OG→=<2cos⁡2t3(1−sin⁡t),23cos⁡t>\displaystyle {\overrightarrow{OP}} = < 2 \cos^{2} t , 2 \sin t \cos t > , {\overrightarrow{OG}} = < \frac{{2 \cos^{2} t}}{3 ( 1 - \sin t )} , \frac{{2}}{3} \cos t >가 평행이고, 이는 1−sin⁡t=sin⁡t\displaystyle 1 - \sin t = \sin t 즉, t=π6\displaystyle t = \frac{\pi}{6}일 때이다. 따라서, 점 O,G,P\displaystyle O , G , P가 한 직선위에 있을 때 삼각형 OAB\displaystyle OAB의 넓이가 최대가 된다.

+2점 · P=(32,32),G=(1,33)\displaystyle P = \left( \frac{{3}}{2} , \frac{{\sqrt{3}}}{2} \right) , G = \left( 1 , \frac{{\sqrt{3}}}{3} \right)을 구하면 2점

(1-3) (1-2)에 의해 t=π6\displaystyle t = \frac{\pi}{6}일 때, P=(32,32),G=(1,33)\displaystyle P = \left( \frac{{3}}{2} , \frac{{\sqrt{3}}}{2} \right) , G = \left( 1 , \frac{{\sqrt{3}}}{3} \right)이고 구하는 영역은 아래 그림과 같이 두 원 (x−1)2+y2=1\displaystyle ( x - 1 )^{2} + y^{2} = 1, (x−23)2+y2=49=(23)2\displaystyle \left( x - \frac{2}{3} \right)^{2} + y^{2} = \frac{4}{9} = \left( \frac{2}{3} \right)^{2}, x\displaystyle x축 그리고 직선 y=33x\displaystyle y = \frac{\sqrt{3}}{3} x로 둘러싸인 영역 R\displaystyle R이다.

두 원과 직선으로 둘러싸인 영역 R
+3점 · ∫3221−(x−1)2dx=∫1211−u2du=∫π6π2cos⁡2θdθ=π6−38\displaystyle \int_{\frac{{3}}{2}}^{2} {\sqrt{1 - ( x - 1 )^{2}}} d x = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \sqrt{1 - u^{2}} d u = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2} \theta d \theta = \frac{{\pi}}{6} - \frac{{\sqrt{3}}}{8}을 구하면 3점

제시문 (나)에 의해 x−1=sin⁡θ\displaystyle x - 1 = \sin \theta로 치환하면∫3221−(x−1)2dx=∫π6π2cos⁡2θdθ=π6−38\displaystyle \int_{\frac{{3}}{2}}^{2} {\sqrt{1 - ( x - 1 )^{2}}} d x = \int_{\frac{{\pi}}{6}}^{\frac{{\pi}}{2}} {} \cos^{2} \theta d \theta = \frac{{\pi}}{6} - \frac{{\sqrt{3}}}{8}

+3점 · ∫14349−(x−23)2dx=∫132349−u2du=49∫π6π2cos⁡2θdθ=49(π6−38)\displaystyle \int_{1}^{\frac{{4}}{3}} {\sqrt{\frac{{4}}{9} - ( x - \frac{{2}}{3} )^{2}}} d x = \int_{\frac{{1}}{3}}^{\frac{{2}}{3}} {} \sqrt{\frac{{4}}{9} - u^{2}} d u = \frac{{4}}{9} \int_{\frac{{\pi}}{6}}^{\frac{{\pi}}{2}} {} \cos^{2} \theta d \theta = \frac{{4}}{9} \left( \frac{{\pi}}{6} - \frac{{\sqrt{3}}}{8} \right)를 구하면 3점

x−23=23sin⁡θ\displaystyle x - \frac{{2}}{3} = \frac{{2}}{3} \sin \theta로 치환하면∫14349−(x−23)2dx=49∫π6π2cos⁡2θdθ=49(π6−38)\displaystyle \int_{1}^{\frac{{4}}{3}} {\sqrt{\frac{{4}}{9} - \left( x - \frac{{2}}{3} \right)^{2}}} d x = \frac{{4}}{9} \int_{\frac{{\pi}}{6}}^{\frac{{\pi}}{2}} {} \cos^{2} \theta d \theta = \frac{{4}}{9} \left( \frac{{\pi}}{6} - \frac{{\sqrt{3}}}{8} \right)

+2점 · A=5π54+5336\displaystyle A = \frac{{5 \pi}}{54} + \frac{{5 \sqrt{3}}}{36}을 구하면 2점

따라서, R\displaystyle R의 넓이 A\displaystyle A는A=(사다리꼴 GG′P′P의 넓이)+∫3221−(x−1)2dx−∫14349−(x−23)2dx=14(32+33)+(π6−38)−49(π6−38)=5π54+5336\displaystyle \begin{aligned}A &= ( \text{사다리꼴 }GG^{\prime}P^{\prime}P\text{의 넓이} ) + \int_{\frac{{3}}{2}}^{2} {\sqrt{1 - ( x - 1 )^{2}}} d x - \int_{1}^{\frac{{4}}{3}} {\sqrt{\frac{{4}}{9} - \left( x - \frac{{2}}{3} \right)^{2}}} d x \\ &= \frac{{1}}{4} \left( \frac{{\sqrt{3}}}{2} + \frac{{\sqrt{3}}}{3} \right) + \left( \frac{{\pi}}{6} - \frac{{\sqrt{3}}}{8} \right) - \frac{{4}}{9} \left( \frac{{\pi}}{6} - \frac{{\sqrt{3}}}{8} \right) = \frac{{5 \pi}}{54} + \frac{{5 \sqrt{3}}}{36}\end{aligned}

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