자연계열 3번

인하대 2020학년도 모의 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/inha/2020mo/jayeon_3

(가) 두 초점 $\displaystyle F ( c , 0 ) , F^{\prime} ( - c , 0 )$ 으로부터 거리의 차가 $\displaystyle 2 a$ 인 쌍곡선의 방정식은 $\displaystyle \frac{{x^{2}}}{a^{2}} - \frac{{y^{2}}}{b^{2}} = 1$ 이다. (단, $\displaystyle c > a > 0 , b^{2} = c^{2} - a^{2}$ )

(나) 곡선 $\displaystyle f ( x , y ) = 0$ 위의 점 $\displaystyle ( x_{1} , y_{1} )$ 에서의 접선의 기울기는 음함수의 미분법을 이용하여 $\displaystyle \frac{{d y}}{d x}$ 를 구한 후 $\displaystyle x = x_{1} , y = y_{1}$ 을 대입하여 구할 수 있다. 예를 들어 쌍곡선 $\displaystyle \frac{{x^{2}}}{a^{2}} - \frac{{y^{2}}}{b^{2}} = 1$ 위의 점 $\displaystyle ( x_{1} , y_{1} )$ 에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle \frac{{x^{2}}}{a^{2}} - \frac{{y^{2}}}{b^{2}} = 1$ 의 양변을 $\displaystyle x$ 에 대하여 미분하면 $\displaystyle \frac{{2 x}}{a^{2}} - \frac{{2 y}}{b^{2}} \frac{{d y}}{d x} = 0$ 즉 $\displaystyle \frac{{d y}}{d x} = \frac{{b^{2} x}}{a^{2} y}$ 이므로 $\displaystyle x = x_{1} , y = y_{1}$ 을 대입하면 $\displaystyle \frac{{b^{2} x_{1}}}{a^{2} y_{1}}$ 이다.

(다) 쌍곡선의 방정식 $\displaystyle \frac{{x^{2}}}{a^{2}} - \frac{{y^{2}}}{b^{2}} = 1$ 을 $\displaystyle y$ 에 대하여 풀면 $\displaystyle y = ± \frac{{b}}{a} x \sqrt{1 - \frac{{a^{2}}}{x^{2}}}$ 이다. 이때 $\displaystyle \left| x \right|$ 의 값이 한없이 커지면 $\displaystyle \frac{{a^{2}}}{x^{2}}$ 의 값은 $\displaystyle 0$ 에 한없이 가까워지므로, 쌍곡선은 두 직선 $\displaystyle y = \frac{{b}}{a} x$ 와 $\displaystyle y = - \frac{{b}}{a} x$ 에 한없이 가까워진다. 이 두 직선을 쌍곡선 $\displaystyle \frac{{x^{2}}}{a^{2}} - \frac{{y^{2}}}{b^{2}} = 1$ 의 점근선이라 한다.

(3-1) 원 $\displaystyle x^{2} + ( y - c )^{2} = r^{2}$ 과 쌍곡선 $\displaystyle \frac{{x^{2}}}{a^{2}} - \frac{{y^{2}}}{b^{2}} = 1$ 이 한 점에서 공통의 접선을 가질 때, 원의 반지름 $\displaystyle r$ 을 $\displaystyle a , b , c$ 의 식으로 나타내시오. (10점)

(3-2) 두 점 $\displaystyle F ( 5 , 0 ) , F^{\prime} ( - 5 , 0 )$ 과 중심이 $\displaystyle ( 0 , 5 )$ 인 원 $\displaystyle C$ 에 대하여, 점 $\displaystyle X$ 가 원 $\displaystyle C$ 위를 움직일 때 $\displaystyle {\overline{F^{\prime} X}} - {\overline{F X}}$ 의 최댓값이 $\displaystyle 8$ 이라 한다. 이때 원 $\displaystyle C$ 의 반지름을 구하시오. (10점)

(3-3) 두 점 $\displaystyle F ( 5 \sqrt{2} , 0 ) , F^{\prime} ( - 5 \sqrt{2} , 0 )$ 과 $\displaystyle \alpha > 4$ 에 대하여 $\displaystyle f ( \alpha )$ 는 다음 조건을 만족하는 양의 실수이다.(조건) 중심이 $\displaystyle \left( \alpha , f ( \alpha ) \right)$ 인 원 $\displaystyle C$ 중에서 $\displaystyle {\overline{F^{\prime} X}} - {\overline{F X}}$ ( $\displaystyle X \in C$ )의 최댓값과 최솟값이 각각 $\displaystyle 14 , 10$ 이 되도록 하는 $\displaystyle C$ 가 존재한다.이때, 극한값 $\displaystyle \lim_{\alpha \to \infty} {\frac{{f ( \alpha )}}{\alpha}}$ 을 구하시오. (15점)

해설강의 준비중

인하대 2020학년도 모의 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/inha/2020mo/jayeon_3

+2점 · 원의 접선의 기울기를 점의 좌표와

\displaystyle c

의 식으로 나타내면 2점

(3-1) 교점 $\displaystyle ( x , y )$ 에서 원의 기울기 $\displaystyle - \frac{{x}}{y - c}$ 와 쌍곡선의 기울기 $\displaystyle \frac{{b^{2} x}}{a^{2} y}$ 가 같으므로,

+3점 · 원의 접선의 기울기와 쌍곡선의 접선의 기울기를 등식으로 쓰면 3점

$\displaystyle - \frac{{x}}{y - c} = \frac{{b^{2} x}}{a^{2} y}$ 에서, $\displaystyle y = \frac{{b^{2} c}}{a^{2} + b^{2}}$ 이고, $\displaystyle x^{2} = a^{2} \left( 1 + \frac{{y^{2}}}{b^{2}} \right) = a^{2} + \frac{{a^{2} b^{2} c^{2}}}{( a^{2} + b^{2} )^{2}}$ 이다.

+5점 · 이를 이용해서 원의 반지름을

\displaystyle a , b , c

의 식으로 표현하면 5점

따라서, $\displaystyle r = \sqrt{x^{2} + ( y - c )^{2}} = \sqrt{a^{2} + \frac{{a^{2} b^{2} c^{2}}}{( a^{2} + b^{2} )^{2}} + \left( \frac{{- a^{2} c}}{a^{2} + b^{2}} \right)^{2}} = \sqrt{a^{2} + \frac{{c^{2} a^{2}}}{a^{2} + b^{2}}} = a \sqrt{1 + \frac{{c^{2}}}{a^{2} + b^{2}}}$ 이다.

+5점 · 문항을 해석해서 (3-1)의 상황임을 언급하면 5점 +5점 · 실제로 원의 반지름을 구하면 5점

(3-2) (3-1)에서 $\displaystyle a = 4 , b = 3 , c = 5$ 인 경우이다. 이때, $\displaystyle r = 4 \sqrt{2}$ 이다.

+5점 · 문항을 해석해서 두 쌍곡선과 접하는 상황임을 언급하면 5점 +3점 ·

\displaystyle \left( \alpha , f ( \alpha ) \right)

가 두 접선이 이루는 각의 이등분선 위에 있음을 알아내면 3점

(3-3) 중심이 $\displaystyle \left( \alpha , f ( \alpha ) \right)$ 이고 문제의 성질을 만족하는 원 $\displaystyle C$ 는 두 쌍곡선 $\displaystyle \frac{{x^{2}}}{7^{2}} - \frac{{y^{2}}}{1^{2}} = 1$ , $\displaystyle \frac{{x^{2}}}{5^{2}} - \frac{{y^{2}}}{5^{2}} = 1$ 와 각각 접한다. 접하는 점을 각각 $\displaystyle ( x_{1} , y_{1} ) , ( x_{2} , y_{2} )$ 라고 하고, 접선의 기울기를 각각 $\displaystyle m_{1} , m_{2}$ 라고 하자. 이때, 원 $\displaystyle C$ 는 두 접선에 외접하므로 중심 $\displaystyle \left( \alpha , f ( \alpha ) \right)$ 는 두 접선이 이루는 각의 이등분선 위에 있다.

+7점 · 탄젠트의 덧셈정리, 배각공식 등을 이용해서 실제로 극한값을 계산하면 7점

그러면, $\displaystyle \alpha \to \infty$ 일 때, 제시문 (나)와 (다)에 의해 $\displaystyle m_{1} \to \frac{{1}}{7} , m_{2} \to 1$ 이고, $\displaystyle m = \lim_{\alpha \to \infty} {\frac{{f ( \alpha )}}{\alpha}}$ , $\displaystyle \tan \theta_{1} = \frac{{1}}{7}$ , $\displaystyle \tan \theta_{2} = 1$ 라고 하면, $\displaystyle m = \tan \left( \frac{{\theta_{1} + \theta_{2}}}{2} \right)$ 이므로 $\displaystyle \tan ( \theta_{1} + \theta_{2} ) = \frac{{\tan \theta_{1} + \tan \theta_{2}}}{1 - \tan \theta_{1} \tan \theta_{2}} = \frac{{\frac{{1}}{7} + 1}}{1 - \frac{{1}}{7} \bullet 1} = \frac{{4}}{3} = \frac{{2 m}}{1 - m^{2}}$ . 따라서 $\displaystyle m = \frac{{1}}{2}$ 이다.

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