수리논술, 이게 다다.

자연계열 2번

오류 제보

인하대 2020학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/inha/2020mo/jayeon_2

이전 문제
배점35점
예상 소요 시간40분
다음 문제

문제

(가) [평균값 정리] 함수 f(x)\displaystyle f ( x )가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [ a , b ]에서 연속이고 열린구간 (a,b)\displaystyle ( a , b )에서 미분가능하면f(b)−f(a)b−a=f′(c)\displaystyle \frac{{f ( b ) - f ( a )}}{b - a} = f^{\prime} ( c )를 만족하는 c\displaystyle c가 a\displaystyle a와 b\displaystyle b사이에 적어도 하나 존재한다.

(나) 0<x<π2\displaystyle 0 < x < \frac{\pi}{2}일 때, sin⁡x<x\displaystyle \sin x < x이 항상 성립한다.

(다) 세 수열 {an}\displaystyle \left\{ a_{n} \right\}, {bn}\displaystyle \left\{ b_{n} \right\}, {cn}\displaystyle \left\{ c_{n} \right\}가 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 an≤bn≤cn\displaystyle a_{n} \le b_{n} \le c_{n}을 만족하고 lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞cn=α\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} c_{n} = \alpha이면, lim⁡n→∞bn=α\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_{n} = \alpha이다.

(※) 자연수 n\displaystyle n에 대하여 방정식 sin⁡x=1x\displaystyle \sin x = \frac{1}{x}는 구간 (2nπ,2nπ+π2)\displaystyle \left( 2 n \pi , 2 n \pi + \frac{\pi}{2} \right)에서 유일한 해 x=an\displaystyle x = a_{n}을 갖는다.

(2-1) 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여2nπ<an+1−2π<an\displaystyle 2 n \pi < a_{n + 1} - 2 \pi < a_{n}가 성립함을 보이시오. (10점)

(2-2) 각 자연수 n\displaystyle n에 대하여an−an+1+2π=1cos⁡bn(1an−1an+1)\displaystyle a_{n} - a_{n + 1} + 2 \pi = \frac{{1}}{\cos b_{n}} \left( \frac{{1}}{a_{n}} - \frac{{1}}{a_{n + 1}} \right)을 만족하는 bn\displaystyle b_{n}이 an+1−2π\displaystyle a_{n + 1} - 2 \pi와 an\displaystyle a_{n} 사이에 존재함을 보이시오. (10점)

(2-3) lim⁡n→∞ansin⁡(an+1−an)=0\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_{n} \sin ( a_{n + 1} - a_{n} ) = 0임을 보이시오. (15점)

해설강의 준비중

인하대 2020학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/inha/2020mo/jayeon_2

+3점 · 2nπ<an+1−2π\displaystyle 2 n \pi < a_{n + 1} - 2 \pi임을 이해함

(2-1) an+1>2(n+1)π\displaystyle a_{n + 1} > 2 ( n + 1 ) \pi 이므로 2nπ<an+1−2π\displaystyle 2 n \pi < a_{n + 1} - 2 \pi이다. 그리고

+7점 · 주어진 식으로부터 2nπ<an+1−2π<an\displaystyle 2 n \pi < a_{n + 1} - 2 \pi < a_{n}을 얻어냄

sin⁡(an+1−2π)−sin⁡an=sin⁡an+1−sin⁡an=1an+1−1an<0\displaystyle \begin{aligned}\sin ( a_{n + 1} - 2 \pi ) - \sin a_{n} & = \sin a_{n + 1} - \sin a_{n} \\ & = \frac{1}{a_{n + 1}} - \frac{1}{a_{n}} < 0\end{aligned}이므로 2nπ<an+1−2π<an\displaystyle 2 n \pi < a_{n + 1} - 2 \pi < a_{n}이다.

+6점 · an+1−2π\displaystyle a_{n + 1} - 2 \pi와 an\displaystyle a_{n}사이에서 평균값 정리를 적용하였음

(2-2) 구간 [an+1−2π,an]\displaystyle [ a_{n + 1} - 2 \pi , a_{n} ]에서 함수 f(x)=sin⁡x\displaystyle f ( x ) = {\sin x}에 평균값 정리를 적용하면sin⁡an−sin⁡(an+1−2π)an−an+1+2π=cos⁡bn\displaystyle \frac{{\sin a_{n} - \sin ( a_{n + 1} - 2 \pi )}}{a_{n} - a_{n + 1} + 2 \pi} = \cos b_{n}인 bn\displaystyle b_{n}이 an+1−2π\displaystyle a_{n + 1} - 2 \pi와 an\displaystyle a_{n} 사이에 적어도 하나 존재한다. 즉

+4점 · 평균값 정리로부터 원하는 형태로 식을 얻음

an−an+1+2π=sin⁡an−sin⁡(an+1−2π)cos⁡bn=sin⁡an−sin⁡an+1cos⁡bn=1cos⁡bn(1an−1an+1)\displaystyle a_{n} - a_{n + 1} + 2 \pi = \frac{{\sin a_{n} - \sin ( a_{n + 1} - 2 \pi )}}{\cos b_{n}} = \frac{{\sin a_{n} - \sin a_{n + 1}}}{\cos b_{n}} = \frac{{1}}{\cos b_{n}} \left( {\frac{{1}}{a_{n}} - \frac{{1}}{a_{n + 1}}} \right) 을 얻는다.

+5점 · 제시문(가)를 이용하여 sin⁡(an−(an+1−2π))<an−an+1+2π\displaystyle \sin ( a_{n} - ( a_{n + 1} - 2 \pi ) ) < a_{n} - a_{n + 1} + 2 \pi을 보임

Correction. 이 부등식에 사용하는 것은 평균값 정리인 제시문 (가)가 아니라, 제시문 (나)의 sin⁡x<x\displaystyle \sin x<x이다. 예시답안에는 제시문 (나)로 바르게 적혀 있다.

(2-3) 0<an−(an+1−2π)<π2\displaystyle 0 < a_{n} - ( a_{n + 1} - 2 \pi ) < \frac{\pi}{2}이므로 제시문 (나)에 의하여sin⁡(an−(an+1−2π))<an−an+1+2π\displaystyle \sin ( a_{n} - ( a_{n + 1} - 2 \pi ) ) < a_{n} - a_{n + 1} + 2 \pi 을 얻는다. (2-1)과 (2-2)의 결과를 이용하면

+4점 · (2-1)의 식에서 1−2πan+1<anan+1<1\displaystyle 1 - \frac{{2 \pi}}{a_{n + 1}} < \frac{{a_{n}}}{a_{n + 1}} < 1를 이용하여 lim⁡n→∞anan+1=1\displaystyle \lim_{n \to \infty} {} \frac{{a_{n}}}{a_{n + 1}} = 1임을 보임
+3점 · (2-2)에서 sin⁡(an−an+1)<1cos⁡bn(1an−1an+1)\displaystyle \sin ( a_{n} - a_{n + 1} ) < \frac{1}{\cos b_{n}} \left( {\frac{{1}}{a_{n}} - \frac{{1}}{a_{n + 1}}} \right)를 얻음

sin⁡(an−an+1)<1cos⁡bn(1an−1an+1)\displaystyle \sin ( a_{n} - a_{n + 1} ) < \frac{{1}}{\cos b_{n}} \left( {\frac{{1}}{a_{n}} - \frac{{1}}{a_{n + 1}}} \right) 이고 1−2πan+1<anan+1<1\displaystyle 1 - \frac{{2 \pi}}{a_{n + 1}} < \frac{{a_{n}}}{a_{n + 1}} < 1 임을 알 수 있다.

+3점 · an−an+1+2π\displaystyle a_{n} - a_{n + 1} + 2 \pi에 관한 식과 수열의 극한의 성질로부터 주어진 극한을 구함

lim⁡n→∞cos⁡bn=1\displaystyle \lim_{n \to \infty} \cos b_{n} = 1이므로 0<ansin⁡(an−an+1)<1−anan+1cos⁡bn\displaystyle 0 < a_{n} \sin ( a_{n} - a_{n + 1} ) < \frac{{1 - \frac{{a_{n}}}{a_{n + 1}}}}{\cos b_{n}} 이고 lim⁡n→∞1−anan+1cos⁡bn=0\displaystyle \lim_{n \to \infty} {} \frac{{1 - \frac{{a_{n}}}{a_{n + 1}}}}{\cos b_{n}} = 0 이다.따라서, 제시문 (다)에 의해 lim⁡n→∞ansin⁡(an+1−an)=0\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_{n} \sin ( a_{n + 1} - a_{n} ) = 0을 얻는다.

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.