자연계열 2번

(2-1) $\displaystyle a_{n + 1} > 2 ( n + 1 ) \pi$ 이므로 $\displaystyle 2 n \pi < a_{n + 1} - 2 \pi$이다. 그리고

$\displaystyle \begin{aligned}\sin ( a_{n + 1} - 2 \pi ) - \sin a_{n} & = \sin a_{n + 1} - \sin a_{n} \\ & = \frac{1}{a_{n + 1}} - \frac{1}{a_{n}} < 0\end{aligned}$이므로 $\displaystyle 2 n \pi < a_{n + 1} - 2 \pi < a_{n}$이다.

(2-2) 구간 $\displaystyle [ a_{n + 1} - 2 \pi , a_{n} ]$에서 함수 $\displaystyle f ( x ) = {\sin x}$에 평균값 정리를 적용하면$\displaystyle \frac{{\sin a_{n} - \sin ( a_{n + 1} - 2 \pi )}}{a_{n} - a_{n + 1} + 2 \pi} = \cos b_{n}$인 $\displaystyle b_{n}$이 $\displaystyle a_{n + 1} - 2 \pi$와 $\displaystyle a_{n}$ 사이에 적어도 하나 존재한다. 즉

$\displaystyle a_{n} - a_{n + 1} + 2 \pi = \frac{{\sin a_{n} - \sin ( a_{n + 1} - 2 \pi )}}{\cos b_{n}} = \frac{{\sin a_{n} - \sin a_{n + 1}}}{\cos b_{n}} = \frac{{1}}{\cos b_{n}} \left( {\frac{{1}}{a_{n}} - \frac{{1}}{a_{n + 1}}} \right)$ 을 얻는다.

(2-3) $\displaystyle 0 < a_{n} - ( a_{n + 1} - 2 \pi ) < \frac{\pi}{2}$이므로 제시문 (나)에 의하여$\displaystyle \sin ( a_{n} - ( a_{n + 1} - 2 \pi ) ) < a_{n} - a_{n + 1} + 2 \pi$ 을 얻는다. (2-1)과 (2-2)의 결과를 이용하면

$\displaystyle \sin ( a_{n} - a_{n + 1} ) < \frac{{1}}{\cos b_{n}} \left( {\frac{{1}}{a_{n}} - \frac{{1}}{a_{n + 1}}} \right)$ 이고 $\displaystyle 1 - \frac{{2 \pi}}{a_{n + 1}} < \frac{{a_{n}}}{a_{n + 1}} < 1$ 임을 알 수 있다.

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \cos b_{n} = 1$이므로 $\displaystyle 0 < a_{n} \sin ( a_{n} - a_{n + 1} ) < \frac{{1 - \frac{{a_{n}}}{a_{n + 1}}}}{\cos b_{n}}$ 이고 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} {} \frac{{1 - \frac{{a_{n}}}{a_{n + 1}}}}{\cos b_{n}} = 0$ 이다.따라서, 제시문 (다)에 의해 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_{n} \sin ( a_{n + 1} - a_{n} ) = 0$을 얻는다.