자연계열 2번

(가) 구간 $\displaystyle [a,b]$에서 일대일인 연속함수 $\displaystyle g(x)$와 구간 $\displaystyle [c,d]$에서 정의된 연속함수 $\displaystyle h(x)$에 대하여, $\displaystyle h(x)$의 치역이 함수 $\displaystyle g(x)$의 치역의 부분집합이라고 하자. 이때, 구간 $\displaystyle [c,d]$에 속하는 모든 실수 $\displaystyle \alpha$에 대하여 $\displaystyle f(\alpha)$를 $\displaystyle g(\beta)=h(\alpha)$가 성립하는 수 $\displaystyle \beta(a<\beta<b)$로 정의하면, $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle [c,d]$에서 정의된 함수이다.Caution. 범위의 끝값을 포함하거나 제외할 때는 문제의 조건을 확인해야 한다: $\displaystyle h(\alpha)=g(a)$ 또는 $\displaystyle h(\alpha)=g(b)$인 경우에는 각각 $\displaystyle \beta=a$, $\displaystyle \beta=b$가 된다. 따라서 $\displaystyle \beta$의 범위는 $\displaystyle a\le\beta\le b$이어야 하며, 두 끝점을 제외하면 $\displaystyle f(\alpha)$가 정의되지 않는 경우가 생긴다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.구간 $\displaystyle [c,d]$의 임의의 실수 $\displaystyle \alpha$에 대하여, 함수 $\displaystyle f(x)$의 정의를 따르면 $\displaystyle g(f(\alpha))=h(\alpha)$이고 함수 $\displaystyle g(x)$와 함수 $\displaystyle h(x)$는 연속함수이므로,$\displaystyle g\left(\lim_{x\to\alpha}f(x)\right)=\lim_{x\to\alpha}g(f(x))=\lim_{x\to\alpha}h(x)=h(\alpha)$Caution. 극한의 존재를 확인하기 전에 수렴을 가정하거나 극한의 연산 법칙을 적용해선 안 된다: 제시문 (가)에서는 $\displaystyle \lim_{x\to\alpha}f(x)$의 존재를 보이기 전에 $\displaystyle g\left(\lim_{x\to\alpha}f(x)\right)$를 사용한다. 구간에서 연속인 일대일함수 $\displaystyle g$의 역함수는 그 치역에서 연속이므로, 먼저 $\displaystyle f=g^{-1}\circ h$로 나타내어 $\displaystyle f$의 연속성을 보일 수 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이고 $\displaystyle g(x)$가 일대일함수라는 사실로부터 $\displaystyle \lim_{x\to\alpha}f(x)=f(\alpha)$를 얻는다.따라서 $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle [c,d]$에서 연속이고 $\displaystyle (g\circ f)(x)=h(x)$이다.

(나) [사잇값의 정리] 함수 $\displaystyle f(x)$가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속이고 $\displaystyle f(a)\neq f(b)$일 때, $\displaystyle f(a)$와 $\displaystyle f(b)$ 사이의 임의의 값 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle f(c)=k$인 $\displaystyle c$가 열린구간 $\displaystyle (a,b)$에 적어도 하나 존재한다.

(i) $\displaystyle a_n<a_{n+1}\ (n=1,2,3)$(ii) $\displaystyle a_n\le x\le a_{n+1}$인 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle \sin f(x)=\cos(nx)+1\ (n=1,2,3)$이고,실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $\displaystyle f(x)$가 존재한다.