자연계열 2번

(2-1) 등식 $\displaystyle \sin f(x)=\cos x$에 $\displaystyle x=2\pi$와 $\displaystyle x=3\pi$를 대입하면 $\displaystyle f(2\pi)=\frac{\pi}{2}$, $\displaystyle f(3\pi)=\frac{3\pi}{2}$임을 알 수 있다. 사잇값의 정리에 의해 $\displaystyle f(c)=\pi$인 $\displaystyle c\ (2\pi<c<3\pi)$가 존재하고 이 때$\displaystyle \cos c=\sin f(c)=0$이어야 하므로, $\displaystyle c$의 값은 $\displaystyle \frac{5\pi}{2}$이어야 한다. 따라서 $\displaystyle f\left(\frac{5\pi}{2}\right)=\pi$이다.

$\displaystyle \sin f(x)=h(x)$인 연속함수 $\displaystyle f(x)$가 존재하려면 $\displaystyle h(x)$의 치역이 사인함수의 치역인 $\displaystyle [-1,1]$에 포함되어야 하므로, $\displaystyle h(x)$의 정의역 $\displaystyle [a,b]$는 구간 $\displaystyle [-3,-1]$에 포함되거나 또는 $\displaystyle [1,5]$에 포함되어야 한다.사인함수 $\displaystyle g(x)=\sin x$는 구간 $\displaystyle \left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right]$에서 일대일인 연속함수이고 $\displaystyle g(x)$의 치역 $\displaystyle [-1,1]$은 $\displaystyle [-3,-1]$ 또는 $\displaystyle [1,5]$에서 정의된 연속함수 $\displaystyle h(x)$의 치역을 포함하므로, 제시문 (가)에 의하여 $\displaystyle g(f(x))=h(x)$이고 구간 $\displaystyle [-3,-1]$과 $\displaystyle [1,5]$에서 연속인 함수 $\displaystyle f(x)$가 각각 존재한다.$\displaystyle b-a$가 최대이려면 $\displaystyle a=1,b=5$이고, 이때 $\displaystyle b-a=4$이다.

(2-3) 조건을 만족하는 연속함수 $\displaystyle f(x)$가 존재하려면,(A) $\displaystyle a_n\le x\le a_{n+1}$일 때 부등식 $\displaystyle -1\le\cos nx+1\le1$이 성립해야 하고(B) $\displaystyle n=1,2$일 때 $\displaystyle \cos na_{n+1}+1=\cos(n+1)a_{n+1}+1$이어야 한다.이 조건들을 다시 정리해 보면(A) $\displaystyle a_n\le x\le a_{n+1}\ (n=1,2,3)$일 때 $\displaystyle \cos nx\le0$이고$\displaystyle \cos na_{n+1}=\cos(n+1)a_{n+1}\ (n=1,2)$이 성립하려면$\displaystyle (n+1)a_{n+1}=\pm na_{n+1}+2k\pi$이어야 한다. 따라서(B) $\displaystyle a_{n+1}=2k\pi$ 또는 $\displaystyle a_{n+1}=\frac{2k\pi}{2n+1}$이다 (단, $\displaystyle k$는 정수).(A)에 의하여 $\displaystyle \frac{\pi}{2}\le x\le a_2$일 때, 부등식 $\displaystyle \cos x\le0$가 성립해야 하므로, $\displaystyle a_2\le\frac{3\pi}{2}$이다.따라서 (B)에 의하여 $\displaystyle a_2=\frac{2\pi}{3}$ 또는 $\displaystyle \frac{4\pi}{3}$이다.$\displaystyle a_2=\frac{2\pi}{3}$인 경우 $\displaystyle \frac{2\pi}{3}\le x\le a_3$일 때 부등식 $\displaystyle \cos2x\le0$이 성립해야 하므로, $\displaystyle a_3\le\frac{3\pi}{4}$이다.(B)에 의하여 $\displaystyle a_3=\frac{2k\pi}{5}$($\displaystyle k$는 정수)이어야 하는데, 이런 꼴의 값 중에 $\displaystyle \frac{2\pi}{3}$와 $\displaystyle \frac{3\pi}{4}$ 사이의 값은 존재하지 않는다.따라서 $\displaystyle a_2=\frac{2\pi}{3}$일 수 없다.$\displaystyle a_2=\frac{4\pi}{3}$인 경우 $\displaystyle \frac{4\pi}{3}\le x\le a_3$일 때 부등식 $\displaystyle \cos2x\le0$이 성립해야 하므로, $\displaystyle a_3\le\frac{7\pi}{4}$이다.$\displaystyle a_3=\frac{2k\pi}{5}$($\displaystyle k$는 정수) 꼴의 값 중에서 $\displaystyle \frac{4\pi}{3}$와 $\displaystyle \frac{7\pi}{4}$ 사이의 값은 $\displaystyle a_3=\frac{8\pi}{5}$가 유일하다.$\displaystyle \frac{8\pi}{5}\le x\le a_4$일 때 부등식 $\displaystyle \cos3x\le0$이 성립하는 가장 큰 $\displaystyle a_4$의 값은 $\displaystyle \frac{11\pi}{6}$이다.따라서 $\displaystyle a_2=\frac{4\pi}{3}$, $\displaystyle a_3=\frac{8\pi}{5}$이고, $\displaystyle a_4$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{11\pi}{6}$이다.