자연계열 3번

(3-1) 제시문 (가)에 의하여$\displaystyle \int_a^b f(x)dx=\Biggl[\frac{2x-a-b}{2}f(x)\Biggr]_a^b-\int_a^b\frac{2x-a-b}{2}f^{\prime}(x)dx=-\int_a^b\frac{2x-a-b}{2}f^{\prime}(x)dx$이고,$\displaystyle \begin{aligned}\int_a^b\frac{2x-a-b}{2}f^{\prime}(x)dx&=\Biggl[\frac{x^2-(a+b)x+ab}{2}f^{\prime}(x)\Biggr]_a^b-\int_a^b\frac{x^2-(a+b)x+ab}{2}f^{\prime\prime}(x)dx\\&=-\int_a^b\frac{(x-a)(x-b)}{2}f^{\prime\prime}(x)dx\end{aligned}$이다. 따라서 $\displaystyle g(x)=\frac{(x-a)(x-b)}{2}$에 대하여 $\displaystyle \int_a^b f(x)dx=\int_a^b g(x)f^{\prime\prime}(x)dx$이다.

(3-2) $\displaystyle h(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)-f(a)$로 두면$\displaystyle h(a)=h(b)=0,\quad h^{\prime\prime}(x)=f^{\prime\prime}(x)$이다. (3-1)의 결과를 이용하면$\displaystyle \begin{aligned}\int_a^b\frac{(x-a)(x-b)}{2}f^{\prime\prime}(x)dx&=\int_a^b\frac{(x-a)(x-b)}{2}h^{\prime\prime}(x)dx\\&=\int_a^b h(x)dx\\&=\int_a^b\left\{f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)-f(a)\right\}dx\\&=\int_a^b f(x)dx-\frac{(f(a)+f(b))(b-a)}{2}\end{aligned}$이다. 따라서$\displaystyle \int_a^b f(x)dx=\frac{(f(a)+f(b))(b-a)}{2}+\int_a^b g(x)f^{\prime\prime}(x)dx$가 성립한다.

(3-3) $\displaystyle f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}$이면 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=(x^2-1)e^{-\frac{x^2}{2}}$이다. (3-2)의 결과를 이용하면$\displaystyle \int_0^1 e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\frac{1+e^{-\frac{1}{2}}}{2}+\int_0^1\frac{x(x-1)(x^2-1)}{2}e^{-\frac{x^2}{2}}dx$이다. 또한 $\displaystyle 0\le\int_0^1\frac{x(x-1)(x^2-1)}{2}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\le\int_0^1\frac{x(x-1)(x^2-1)}{2}dx=\frac{7}{120}$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{e}}+\frac{1}{2}\le\int_0^1 e^{-\frac{x^2}{2}}dx\le\frac{1}{2\sqrt{e}}+\frac{67}{120}$이다.