공학계열 1번

[문제 1-1]

지구 ($\displaystyle E$)와 달 ($\displaystyle M$)의 거리를 $\displaystyle L$이라고 하고 혜성의 위치를 $\displaystyle C$라고 한다. 그림과 같이 선분 $\displaystyle MC$에 대해 삼각형 $\displaystyle EMC$에 대칭인 삼각형 $\displaystyle MAC$를 그린 후, $\displaystyle \angle CEM$을 이등분하도록 보조선 $\displaystyle EB$ 그린다.

혜성과 지구의 거리를 $\displaystyle X$라고 한다.

$\displaystyle \angle EAB= \angle ABE=72^\circ$이므로 삼각형 $\displaystyle EAB$는 이등변삼각형이다. 따라서,

$\displaystyle \overline{EA} = \overline{EB} =2L$

또 $\displaystyle \angle CEB= \angle BCE=36^\circ$이므로 삼각형 $\displaystyle EBC$는 이등변삼각형이다. 따라서,

$\displaystyle \overline{EB} = \overline{BC} =2L$

삼각형 $\displaystyle EAC$와 삼각형 $\displaystyle EAB$ 닮은꼴이므로 $\displaystyle \overline{EA} : \overline{AC} = \overline{AB } : \overline{EA}$이므로

$\displaystyle 2L : X= \left ( X-2L \right ) : 2L$

따라서,

$\displaystyle X ^{2} -2LX-4L ^{2} =0$

$\displaystyle X= \frac{2L\pm \sqrt {4L ^{2} +4 \cdot 4L ^{2}}}{2} = \frac{2L\pm \sqrt {20L ^{2}}}{2} =L \left ( 1\pm \sqrt {5} \right )$

$\displaystyle X>0$이므로,

$\displaystyle X=L \left ( 1+ \sqrt {5} \right )$

따라서, 지구-달, 지구-혜성의 거리비는

거리비$\displaystyle = \frac{\overline{EC}}{\overline{EM}} = \frac{L \left ( 1+ \sqrt {5} \right )}{L} =1+ \sqrt {5}$

[문제 1-2]

제시문 나)의 프톨레마이오스의 정리에 의해 $\displaystyle \overline{AB} \times \overline{CD} + \overline{BC} \times \overline{DA} = \overline{AC} \times \overline{BD}$가 성립한다. 또 원에 내접하는 삼각형의 성질에 의해, $\displaystyle \angle BOD=2\alpha, \angle COD=2\beta$를 만족한다.

그림 1-2에서 반지름 $\displaystyle R$인 원에 내접하는 삼각형의 각을 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma$라고 하고 마주보는 변의 길이를 각각 $\displaystyle a, b, c$라고 하면 다음이 성립한다.

$\displaystyle \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} =2R$ (1-1)

또는 그림 1-3에서 선분 $\displaystyle AB$의 길이는 아래와 같이 계산할 수 있다.

$\displaystyle \overline{AB} =2R \sin \left ( \frac{\theta }{2} \right )$ (1-2)

식 (1-1) 또는 (1-2)를 그림 1-1의 삼각형 $\displaystyle ABC$와 $\displaystyle ACD$에 각각 적용하면,

$\displaystyle \frac{\overline{BC}}{\sin \left ( \alpha-\beta \right )} =2R, \frac{\overline{CD}}{\sin \beta} =2R$

따라서, 각 변의 길이를 각도 $\displaystyle \alpha, \beta$와 원의 반지름 $\displaystyle R$로 나타낼 수 있다.

$\displaystyle \overline{AB} =2R \sin \left ( \frac{1}{2} \left ( 180^\circ-2\alpha \right ) \right ) =2R \sin \left ( 90^\circ-\alpha \right )$

$\displaystyle \overline{BC} =2R \sin \left ( \frac{1}{2} \left ( 2 \alpha -2 \beta \right ) \right ) =2R \sin \left ( \alpha - \beta \right )$

($\displaystyle \overline{BC}$는 코사인법칙으로도 구할 수 있음)

$\displaystyle \overline{CD} =2R \sin \left ( \frac{1}{2} \left ( 2\beta \right ) \right ) =2R \sin \left ( \beta \right )$

$\displaystyle \overline{AD} =2R$

$\displaystyle \overline{AC} =2R \sin \left ( \frac{1}{2} \left ( 180^\circ-2\beta \right ) \right ) =2R \sin \left ( 90^\circ-\beta \right )$

$\displaystyle \overline{BD} =2R \sin \left ( \frac{1}{2} \left ( 2\alpha \right ) \right ) =2R \sin \left ( \alpha \right )$

프톨레마이오스의 정리에 대입하면,

$\displaystyle 2R \sin \left ( 90^\circ-\alpha \right ) \times 2R \sin \beta+2R \sin \left ( \alpha-\beta \right ) \times 2R=2R \sin \left ( 90^\circ-\beta \right ) \times 2R \sin \alpha$

정리하면

$\displaystyle \sin \left ( \alpha-\beta \right ) =\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta$

[문제 1-3]

[문제 1-2]에서 $\displaystyle \overline{BC} =2R \sin \left ( \alpha-\beta \right ) =2R \sin \left ( 15^\circ \right )$

삼각함수의 반각 공식을 이용하여 $\displaystyle \sin \left ( 15^\circ \right )$를 구한다.

$\displaystyle \sin ^{2} \frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos \theta}{2}$

$\displaystyle \frac{\theta}{2} =15^\circ$, 즉 $\displaystyle \theta=30^\circ$이므로,

$\displaystyle \sin ^{2} 15^\circ= \frac{1-\cos 30^\circ}{2} = \frac{1- \sqrt {3} /2}{2} = \frac{2- \sqrt {3}}{4}$

$\displaystyle \therefore \sin 15^\circ= \sqrt {\frac{2- \sqrt {3}}{4}} = \sqrt {\frac{4-2 \sqrt {3}}{8}} = \frac{\sqrt {3} -1}{2 \sqrt {2}} = \frac{\sqrt {6} - \sqrt {2}}{4}$

따라서, $\displaystyle \overline{BC} =2\sin \left ( 15^\circ \right ) = \frac{\sqrt {6} - \sqrt {2}}{2}$