이학계열 2번

[문제 2-1]

확률분포함수 $\displaystyle f \left ( x \right )$를 총 구간 $\displaystyle 0.5 \leq x \leq 2.5$에 대해 적분하면 1이 되어야 한다. 확률분포함수 $\displaystyle f \left ( x \right )$가 아래와 같은 삼각형 모양임을 이용하면 다음과 같이 $\displaystyle k$값은 1로 구해진다.

$\displaystyle \int _{0.5} ^{2.5} {f \left ( x \right ) dx= \frac{1}{2} \left ( 2k \right ) =k=1}$

[문제 2-2]

(i) 신형 항공기 도입에 따른 평균이득을 구하기 위해서는 평균효용과 평균비용을 각각 구한 후 이들의 차이를 계산하면 된다.

신형 항공기 1대를 통한 연료비 절감 효용은 향후 20년간 평균국제유가 $\displaystyle X$에 따라 달라지며 평균값은 $\displaystyle P \left ( 1 \leq X \leq 1.5 \right ) \times 5+P \left ( 1.5 \leq X \right ) \times 7$와 같이 구할 수 있다. $\displaystyle X$에 대한 확률분포함수가 삼각형 모양임을 이용하면 $\displaystyle P \left ( 1 \leq X \leq 1.5 \right )$ 및 $\displaystyle P \left ( 1.5 \leq X \right )$는 아래와 같이 구할 수 있다.

여기에 구입 항공기 대수 20을 곱하면 항공기 도입에 따른 연료비절감 효용의 평균은 다음과 같다.

평균효용$\displaystyle = \left ( P \left ( 1 \leq X \leq 1.5 \right ) \times 5+P \left ( 1.5 \leq X \right ) \times 7 \right ) \times 20= \left ( 0.375 \times 5+0.5 \times 7 \right ) \times 20=107.5$ (백억원)

신형 항공기 도입 대수가 30대 이하이므로 정비시설 구축에 필요한 비용은 없으며 ([표2] 참조), 항공기 구입에 필요한 비용은 [표1]의 한 대 당 구입비용 5(백억원/대)에 총 구입대수 20을 곱하여 얻을 수 있다.

평균비용$\displaystyle =5 \times 20=100$ (백억원)

따라서 항공기 20대를 신형으로 교체함으로 ○○항공사가 얻을 수 있는 이득의 기댓값(평균)은 평균효용과 평균비용의 차이인 7.5(백억원)이다.

ii) 항공사의 이득은 평균국제유가에 영향을 받는다. 평균국제유가에 따른 이득을 계산하면

a) $\displaystyle 0.5 \leq X \leq 1$

이득$\displaystyle =$효용$\displaystyle -$비용$\displaystyle =0 \times 20-5 \times 20=-100$ (백억원)

b) $\displaystyle 1 \leq X \leq 1.5$

이득$\displaystyle =$효용$\displaystyle -$비용$\displaystyle =5 \times 20-5 \times 20=0$ (백억원)

c) $\displaystyle 1.5 \leq X$

이득$\displaystyle =$효용$\displaystyle -$비용$\displaystyle =7 \times 20-5 \times 20=40$ (백억원)

따라서 항공사가 음의 이득, 즉 손해를 보는 경우는 a)에 해당하며,해당 확률은 아래 그림과 같이 0.125이다.

[문제 2-3]

(i) 신형 항공기 교체대수를 $\displaystyle y$라 하면, 예상되는 효용의 평균은 아래와 같다.

평균효용$\displaystyle = \left ( P \left ( 1 \leq X \leq 1.5 \right ) \times 5+P \left ( 1.5 \leq X \right ) \times 7 \right ) \times y= \left ( 0.375 \times 5+0.5 \times 7 \right ) \times y=5.375y$ (식a)

신형 항공기로의 교체에 따른 비용은 교체되는 항공기의 대수에 따라 달라진다. 따라서 교체 항공기기 대수 $\displaystyle y$의 범위를 다음과 같이 구간별로 나눈 후 각각에 대해 평균비용 및 이득을 아래와 같이 계산한다.

a) $\displaystyle 0 \leq y \leq 10$

평균비용$\displaystyle =$항공기 구입비용$\displaystyle +$정비시설 구축비용$\displaystyle =5.5y$ (식b)

(교체 항공기 대수가 30대 이하이므로 정비시설 구축에 필요한 비용은 없으며([표2] 참조), 항공기 한 대당 구입단가는 [표1]에 따라 5.5(백억원/대)이다.)

평균이득은 평균효용(식a)에서 평균비용(식b)를 뺀 값으로서 $\displaystyle -0.125y$로 구해진다. 평균이득은 교체항공기 대수에 대한 감소함수이므로, 평균이득을 최대로 만드는 교체 항공기 대수는 $\displaystyle y=0$이며 이 때의 평균이득값은 0(백억원)이다.

b) $\displaystyle 11 \leq y \leq 30$

평균비용$\displaystyle =$항공기 구입비용$\displaystyle +$정비시설 구축비용$\displaystyle =5y$ (식c)

(교체 항공기 대수가 30대 이하이므로 정비시설 구축에 필요한 비용은 없으며([표2] 참조, 항공기 한 대당 구입단가는 [표1]에 따라 5(백억원/대)이다.

평균이득은 평균효용(식a)에서 평균비용(식c)을 뺀 값으로서 $\displaystyle 0.375y$로 구해진다. 평균이득은 교체항공기 대수에 대한 증가함수이므로, 평균이득을 최대로 만드는 교체 항공기 대수는 $\displaystyle y=30$이며 이 때의 평균이득값은 11.25(백억원)이다.

c) $\displaystyle 31 \leq y \leq 50$

평균비용 $\displaystyle =$항공기 구입비용$\displaystyle +$정비시설 구축비용$\displaystyle =5y+7$ (식d)

(교체 항공기 대수가 31대 이상이므로 정비시설 구축에 7(백억원)의 비용이 발생하며([표2] 참조), 항공기 한 대당 구입단가는 [표1]에 따라 5(백억원/대)이다.)

평균이득은 평균효용(식a)에서 평균비용(식d)를 뺀 값으로서 $\displaystyle 0.375y-7$으로 구해진다. 평균이득은 교체항공기 대수에 대한 증가함수이므로, 평균이득을 최대로 만드는 교체 항공기 대수는 $\displaystyle y=50$이며 이 때의 평균이득값은 11.75(백억원)이다.

a), b), c)의 내용을 조합하면, ○○항공사의 평균이득을 최대로 하는 신형 항공기 교체 대수는 50대이며 이 때의 평균이득은 11.75(백억원)이다.

ii) 신형 항공기 교체 대수를 $\displaystyle y$라 하면, 교체 대수 및 평균국제유가의 범위에 따른 이득과 이득이 음수가 되는 확률은 다음과 같이 구해진다.

a) $\displaystyle 1 \leq y \leq 10$ (교체항공기 대수가 1대 이상인 경우만 고려)

가) $\displaystyle 0.5 \leq X \leq 1$

이득$\displaystyle =0 \cdot y-5.5y=-5.5y<0$

나) $\displaystyle 1 \leq X \leq 1.5$

이득$\displaystyle =5y-5.5y=-0.5y<0$

다) $\displaystyle 1.5 \leq X$

이득$\displaystyle =7y-5.5y=1.5y>0$

따라서 이득이 음수가 되는 확률$\displaystyle =P \left ( X \leq 1.5 \right )$$\displaystyle =0.5$

b) $\displaystyle 11 \leq y \leq 30$

가) $\displaystyle 0.5 \leq X \leq 1$

이득$\displaystyle =0 \cdot y-5y=-5y<0$

나) $\displaystyle 1 \leq X \leq 1.5$

이득$\displaystyle =5y-5y=0$

다) $\displaystyle 1.5 \leq X$

이득$\displaystyle =7y-5y=2y>0$

따라서 이득이 음수가 되는 확률$\displaystyle =P \left ( X \leq 1 \right ) =0.125$

c) $\displaystyle 31 \leq y \leq 50$

가) $\displaystyle 0.5 \leq X \leq 1$

이득$\displaystyle =0 \cdot y-5y-7=-5y-7<0$

나) $\displaystyle 1 \leq X \leq 1.5$

이득$\displaystyle =5y-5y-7=-7<0$

다) $\displaystyle 1.5 \leq X$

이득$\displaystyle =7y-5y-7=2y-7>0$ (왜냐하면 $\displaystyle 31 \leq y$)

따라서 이득이 음수가 되는 확률$\displaystyle =P \left ( X \leq 1.5 \right ) =0.5$

a), b), c)로부터 손해 확률을 최소로 하는 교체 대수의 범위는 $\displaystyle 11 \leq y \leq 30$이다. 또한 이 범위에서의 이익 기대치는 $\displaystyle 0.375y$이며, $\displaystyle y=30$에서 최댓값을 가진다.

내용을 종합하면 손해 확률을 최소로 하는 교체 대수 중 이익의 기대치가 가장 높은 30대가 가장 최선의 선택이라고 할 수 있으며, 이 때 손해를 입게 될 확률은 0.125 그리고 이득의 기대치는 11.25(백억원)이다.