이학계열 1번

[문제 1-1]

(i)

● $\displaystyle r=3 :$

$\displaystyle S _{2 ^{r}} =S _{2 ^{3}} =S _{8} =1+ \frac{1}{2} + \left ( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right ) + \left ( \frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{8} \right )$

$\displaystyle \geq 1+ \frac{1}{2} +2 \cdot \frac{1}{4} +2 ^{2} \cdot \frac{1}{8} =1+3 \cdot \frac{1}{2}$

● $\displaystyle r=7 :$

$\displaystyle S _{2 ^{r}} =S _{2 ^{7}} =S _{128}$

$\displaystyle =1+ \frac{1}{2} + \left ( \frac{1}{2 ^{1} +1} + \frac{1}{2 ^{2}} \right ) + \left ( \frac{1}{2 ^{2} +1} + \cdots + \frac{1}{2 ^{3}} \right ) + \cdots + \left ( \frac{1}{2 ^{6} +1} + \cdots + \frac{1}{2 ^{7}} \right )$

$\displaystyle \geq 1+ \frac{1}{2} +2 \cdot \frac{1}{2 ^{2}} +2 ^{2} \cdot \frac{1}{2 ^{3}} + \cdots +2 ^{6} \cdot \frac{1}{2 ^{7}} =1+7 \cdot \frac{1}{2}$

(ii)

수학적 귀납법을 이용하여 $\displaystyle r=0, 1, 2, \cdots$에 대하여 다음의 부등식이 성립함을 보인다.

$\displaystyle S _{2 ^{r}} \geq 1+ \frac{r}{2} \cdots \cdots \cdots (1)$

(a) $\displaystyle r=0$일 때 (1)이 성립한다.

$\displaystyle S _{2 ^{r}} =S _{2 ^{0}} =S _{1} =1 \geq 1=1+ \frac{0}{2} =1+ \frac{r}{2}$

(b) $\displaystyle r=k$일 때 (1)이 성립한다고 가정하고 $\displaystyle r=k+1$일 때도 (1)이 성립함을 보인다.

$\displaystyle S _{2 ^{k+1}} =1+ \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2 ^{k}} + \frac{1}{2 ^{k} +1} + \cdots + \frac{1}{2 ^{k+1}}$

$\displaystyle =S _{2 ^{k}} + \frac{1}{2 ^{k} +1} + \cdots + \frac{1}{2 ^{k+1}}$

$\displaystyle \geq 1+ \frac{k}{2} + \frac{1}{2 ^{k} +1} + \cdots + \frac{1}{2 ^{k+1}}$ ($\displaystyle r=k$일 때 (1) 성립 적용)

$\displaystyle \geq 1+ \frac{k}{2} +2 ^{k} \cdot \frac{1}{2 ^{k+1}} =1+ \frac{k+1}{2}$

즉, $\displaystyle r=k+1$일 때 (1)이 성립한다.

[문제 1-2]

(1)식으로부터 $\displaystyle r \to \infty$일 때 $\displaystyle S _{2 ^{r}} \to \infty$이므로 $\displaystyle \sum _{k=1} ^{\infty } \frac{1}{k}$은 발산한다.

[문제 1-3]

<1단계> 아래 그림에서 빗금으로 표시된 직사각형 면적의 합을 $\displaystyle L _{n}$이라고 하면

$\displaystyle L _{n} =1 \cdot \frac{1}{2} +1 \cdot \frac{1}{3} + \cdots +1 \cdot \frac{1}{n} =S _{n} -1$이고 $\displaystyle L _{n} \leq A _{n}$이다.

그러므로 $\displaystyle S _{n} \leq A _{n} +1$

<2단계> 아래 그림에서 빗금으로 표시된 사다리꼴 면적의 합을 $\displaystyle U _{n}$이라고 하면

$\displaystyle U _{n} = \frac{1}{2} \left ( 1+ \frac{1}{2} \right ) + \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right ) + \cdots + \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n} \right )$

$\displaystyle = \frac{1}{2} \left ( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} \right ) + \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{n} \right )$

$\displaystyle = \frac{1}{2} \left ( S _{n} - \frac{1}{n} \right ) + \frac{1}{2} \left ( S _{n} -1 \right ) =S _{n} - \frac{1}{2n} - \frac{1}{2}$

또한, $\displaystyle A _{n} \leq U _{n}$이므로 $\displaystyle A _{n} + \frac{1}{2n} + \frac{1}{2} \leq S _{n}$이다.

그러므로, <1단계>와 <2단계>에 의하여 $\displaystyle A _{n} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2n} \leq S _{n} \leq A _{n} +1$

[문제 1-4]

[문제 1-3]의 결과로부터 $\displaystyle S _{5} -1 \leq A _{5} \leq S _{5} - \frac{1}{10} - \frac{1}{2}$이다.

$\displaystyle S _{5} -1= \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} =1.28 \dot{3}$

$\displaystyle S _{5} - \frac{1}{10} - \frac{1}{2} =1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} -0.1- \frac{1}{2} =1.68 \dot{3}$

위의 결과로부터 $\displaystyle 1.28 \dot{3} \leq A _{5} \leq 1.68 \dot{3}$ 그러므로 $\displaystyle A _{5} >1.7$은 거짓이다.