한국항공대 2015학년도 수시 공학계열 1번 해설

【문제 1】 (30점)

※ 다음 제시문을 읽고 답하시오.

가) 램버트(Lambert) 법칙은 1700년대 중반에 발견되었다. 이 법칙은, 입사광 세기에 대한 투과광 세기의 비율로 주어지는 투과도( $\displaystyle T$ )가 매질 내 빛의 이동거리( $\displaystyle x$ )에 따라 감소하는 것을 보여준다. 1852년에 비어(Beer)는 램버트 법칙이 흡수물질의 정량화에 적용될 수 있음을 보였다. 즉, 비어 법칙은 투과도가 해당 매질에 존재하는 흡수물질의 농도( $\displaystyle c$ )에 따라 감소하는 것을 설명한다. 램버트 법칙과 비어 법칙을 하나로 묶은 ‘램버트-비어 법칙’은 아래와 같은 식으로 표현된다.

$\displaystyle T=e^{-\epsilon cx}$ ( $\displaystyle e$ 는 자연상수)

어떤 흡수물질이 특정 파장에서 나타내는 흡수율( $\displaystyle \epsilon$ )을 알고 있으면 실험적으로 얻은 투과도를 사용하여 해당 흡수물질의 농도를 계산할 수 있다. 램버트-비어 법칙은 재료의 광학적 성질(특히, 흡수현상)의 설명에도 적용될 수 있으며, 다양한 정량 화학분석에도 유용하다.

나) 유도방출(induced emission)은 자극방출(stimulated emission)이라고도 부르며, 원자 또는 분자가 높은 에너지 상태에 있다가 외부의 빛에 의한 자극으로 새로운 빛을 방출하는 현상을 의미한다. 유도방출로 인하여 생성된 빛과 자극을 준 빛은, 파장, 편광 및 위상이 동일하기 때문에 지속적인 유도방출을 통하여 빛의 증폭을 가능하게 할 수 있다. 레이저(laser)는 light amplification by stimulated emission of radiation의 약어로서, 유도방출 현상이 레이저의 구현에 핵심적으로 작용하고 있음을 알 수 있다. 레이저를 발진시키기 위해서는 광 손실보다 광 이득이 더 커야만 한다. 즉, 유도방출에 의한 광 세기의 증가가 흡수나 산란에 의한 광 세기의 감소보다 큰 경우에 레이저는 발진된다. 일정한 길이( $\displaystyle L$ )를 가지는 레이저 매질에서 얻을 수 있는 광 이득( $\displaystyle G$ )과 손실계수( $\displaystyle \alpha$ ), 이득계수( $\displaystyle g$ )의 관계는 다음 식과 같이 표현된다.

$\displaystyle G=e^{(g-\alpha)L}$

[문제 1-1] 광통신 시스템에서는 광신호의 감쇠를 보상하기 위하여 에르븀 첨가 광섬유 증폭기(erbium-doped fiber amplifier; EDFA)를 사용한다. 에르븀 첨가 광섬유(EDF)는 일반적으로 광섬유의 코어 부위에 일정량의 에르븀 이온을 첨가한 형태로 제작된다. 에르븀에 의한 흡수율이 $\displaystyle 4\times10^{-6}\,\mathrm{m}^2/\mathrm{mol}$ 인 EDF를 지나는 광신호가 $\displaystyle 2\,\mathrm{m}$ 를 지날 때마다 광신호의 세기가 바로 $\displaystyle 2\,\mathrm{m}$ 전 세기의 99%가 된다. 본 EDF의 에르븀 농도를 구하시오. (단, $\displaystyle \ln2=0.69,\ \ln9.9=2.29,\ \ln10=2.30$ )

[문제 1-2] [문제 1-1]에서 구한 에르븀 농도를 활용하여 광신호의 세기가 처음 세기의 $\displaystyle \frac12$ 이 되는 EDF의 길이를 구하시오.

[문제 1-3] 아래 그림과 같이 일반적인 레이저 발진기는 반사율( $\displaystyle R$ ; 입사광 세기에 대한 반사광 세기의 비율로 크기는 1 이하)을 가지는 거울 2개 사이에 놓인 레이저 매질로 구성된다. 여기에서 $\displaystyle I_0$ 는 오른쪽 방향으로 레이저 매질에 입사되는 빛의 세기, $\displaystyle I_1$ 은 $\displaystyle I_0$ 가 레이저 매질을 투과한 후의 빛 세기, $\displaystyle I_2$ 는 $\displaystyle I_1$ 이 오른쪽에 위치한 거울에 의하여 반사된 후의 빛 세기, $\displaystyle I_3$ 는 $\displaystyle I_2$ 가 레이저 매질을 투과한 후의 빛 세기를 나타낸다. 길이가 $\displaystyle 5\,\mathrm{cm}$ 인 레이저 매질의 손실계수(단위: $\displaystyle \mathrm{cm}^{-1}=1/\mathrm{cm}$ )와 이득계수(단위: $\displaystyle \mathrm{cm}^{-1}=1/\mathrm{cm}$ )가 각각 0.1 과 0.2로 주어졌을 때, 1 회 왕복운동을 한 후 레이저 발진 조건( $\displaystyle I_3\geq I_0$ )을 만족시키는 오른쪽 거울의 반사율 범위를 구하시오. (단, 레이저 매질과 거울 사이의 공기에 의한 흡수는 무시하며, 레이저 매질로 들어갈 때와 나올 때의 빛 손실 역시 무시한다. 자연상수는 $\displaystyle e=2.7$ 로 간주한다.)

한국항공대 2015학년도 수시 공학계열 1번 · mathesis.kr/archive/kau/2015su/gonghak_1

[문제 1-1]

램버트-비어 공식의 양변에 로그를 취하면,

$\displaystyle \ln T=-\epsilon cx$

이를 구하고자 하는 농도에 대해 정리하면,

+5점 · 농도식

$\displaystyle c=\frac{-\ln T}{\epsilon x}$

문제에서 주어진 값을 활용하여,

$\displaystyle T=0.99$ 이므로 $\displaystyle \ln0.99=\ln9.9-\ln10=2.29-2.30=-0.01$

$\displaystyle \epsilon=4\times10^{-6}\,(\mathrm{m}^2/\mathrm{mol})$

$\displaystyle x=2\,(\mathrm{m})$

위 식에 대입하면,

+3점 · 농도 계산

$\displaystyle c=\frac{-(-0.01)}{(4\times10^{-6})(2)}=1.25\times10^3$

+2점 · 단위

$\displaystyle c=1.25\times10^3\,(\mathrm{mol}/\mathrm{m}^3)=1.25\times10^{-3}\,(\mathrm{mol}/\mathrm{cm}^3)$

[문제 1-2]

투과도가 50%가 되는 길이를 $\displaystyle l$ 이라고 하면 램버트-비어 법칙으로부터,

+5점 · 길이식

$\displaystyle l=\frac{-\ln T}{\epsilon c}$

문제에서 주어진 값을 활용하여,

$\displaystyle T=\frac12$ 이므로 $\displaystyle \ln\frac12=-\ln2=-0.69$

$\displaystyle \epsilon=4\times10^{-6}\,(\mathrm{m}^2/\mathrm{mol})$

$\displaystyle c=1.25\times10^3\,(\mathrm{mol}/\mathrm{m}^3)$

+5점 · 길이 계산

$\displaystyle l=\frac{-(-0.69)}{(4\times10^{-6})(1.25\times10^3)}=1.38\times10^2\,(\mathrm{m})$

[문제 1-3]

제시문에 주어진 광 이득 계산식을 활용하면,

$\displaystyle I_1=I_0e^{(g-\alpha)L}$

$\displaystyle I_2=I_1R=I_0Re^{(g-\alpha)L}$

$\displaystyle I_3=I_2e^{(g-\alpha)L}=I_0Re^{2(g-\alpha)L}$

레이저 발진 조건에 의하면 $\displaystyle I_3\geq I_0$ 이므로,

+5점 · 발진 조건

$\displaystyle Re^{2(g-\alpha)L}\geq1$

$\displaystyle \ln R\geq-1$

+3점 · 하한

$\displaystyle R\geq e^{-1},\ R\geq0.37$

+2점 · 반사율 범위

$\displaystyle 0.37\leq R\leq1$

[문제 1-1] 지수함수 형태로 표현되는 램버트-비어 법칙을 주어진 문제에 적용할 수 있는 능력을 평가한다. 계산은 맞았으나 단위를 틀리거나 표기하지 않으면 -2점.

[문제 1-2] 지수함수 문제의 계산 능력을 평가한다. 계산은 맞았으나 단위를 틀리거나 표기하지 않으면 -2점.

[문제 1-3] 제시문에 주어진 레이저 발진 현상을 이해하고, 문제에 적용하여 지수 부등식을 세우고 이를 계산할 수 있는 능력을 평가한다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.

공학계열 1번

문제

첨삭 사례

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개