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경희대 2020학년도 모의 의학계 1번 · mathesis.kr/archive/khu/2020mo/uihak_1

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[가] 계수가 실수인 이차방정식 ax2+bx+c=0\displaystyle a x^{2} + b x + c = 0 (a≠0)\displaystyle \left( a \ne 0 \right)에서 D=b2−4ac\displaystyle D = b^{2} - 4 a c라고 하면 다음이 성립한다.① D>0\displaystyle D > 0이면 서로 다른 두 실근을 갖고, 서로 다른 두 실근을 가지면 D>0\displaystyle D > 0이다.② D=0\displaystyle D = 0이면 중근(서로 같은 두 실근)을 갖고, 중근을 가지면 D=0\displaystyle D = 0이다.③ D<0\displaystyle D < 0이면 서로 다른 두 허근을 갖고, 서로 다른 두 허근을 가지면 D<0\displaystyle D < 0이다.[나] x\displaystyle x에 대한 다항식 P(x)\displaystyle P ( x )에 대하여 P(α)=0\displaystyle P ( \alpha ) = 0이면 P(x)\displaystyle P ( x )는 일차식 x−α\displaystyle x - \alpha로 나누어떨어진다. 또 P(x)\displaystyle P ( x )가 x−α\displaystyle x - \alpha로 나누어떨어지면 P(α)=0\displaystyle P ( \alpha ) = 0이다.[다] 함수 f(x)\displaystyle f ( x )의 x=a\displaystyle x = a에서의 미분계수 f′(a)\displaystyle f^{\prime} ( a )는 곡선 y=f(x)\displaystyle y = f ( x ) 위의 점 (a,f(a))\displaystyle \left( a , f ( a ) \right)에서의 접선의 기울기를 나타낸다. 따라서 점 (a,f(a))\displaystyle \left( a , f ( a ) \right)에서의 접선의 방정식은 y−f(a)=f′(a)(x−a)\displaystyle y - f ( a ) = f^{\prime} ( a ) ( x - a )이다.[라] 두 함수 f(x)\displaystyle f ( x ), g(x)\displaystyle g ( x )에서 lim⁡x→af(x)=α\displaystyle \lim_{x \to a} f ( x ) = \alpha, lim⁡x→ag(x)=β\displaystyle \lim_{x \to a} g ( x ) = \beta (α\displaystyle \alpha, β\displaystyle \beta는 실수)일 때,① lim⁡x→a{f(x)+g(x)}=lim⁡x→af(x)+lim⁡x→ag(x)=α+β\displaystyle \lim_{x \to a} \left\{ f ( x ) + g ( x ) \right\} = \lim_{x \to a} f ( x ) + \lim_{x \to a} g ( x ) = \alpha + \beta② lim⁡x→a{f(x)−g(x)}=lim⁡x→af(x)−lim⁡x→ag(x)=α−β\displaystyle \lim_{x \to a} \left\{ f ( x ) - g ( x ) \right\} = \lim_{x \to a} f ( x ) - \lim_{x \to a} g ( x ) = \alpha - \beta③ lim⁡x→acf(x)=clim⁡x→af(x)=cα\displaystyle \lim_{x \to a} c f ( x ) = c \lim_{x \to a} f ( x ) = c \alpha (단, c\displaystyle c는 상수)④ lim⁡x→af(x)g(x)=lim⁡x→af(x)lim⁡x→ag(x)=αβ\displaystyle \lim_{x \to a} f ( x ) g ( x ) = \lim_{x \to a} f ( x ) \lim_{x \to a} g ( x ) = \alpha \beta⑤ lim⁡x→af(x)g(x)=lim⁡x→af(x)lim⁡x→ag(x)=αβ\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)}=\frac\alpha\beta (단, β≠0\displaystyle \beta\ne0)[마] 삼각함수의 극한lim⁡x→0sin⁡xx=1\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1[바] x\displaystyle x의 함수 y\displaystyle y가 음함수 f(x,y)=0\displaystyle f(x,y)=0의 꼴일 때에는 y\displaystyle y를 x\displaystyle x의 함수로 보고, 각 항을 x\displaystyle x에 대하여 미분하여 dydx\displaystyle \frac{dy}{dx}를 구한다.

[논제 Ⅰ] 좌표평면 위의 원 (x−a)2+(y−b)2=c2\displaystyle ( x - a )^{2} + ( y - b )^{2} = c^{2}을 생각하자. 원의 위치와 크기는 a\displaystyle a, b\displaystyle b, c\displaystyle c에 의해서 결정된다. 다음 그림은 서로 다른 a\displaystyle a, b\displaystyle b, c\displaystyle c에 대해서 원과 포물선 y=x2\displaystyle y = x^{2}이 만나게 되는 몇 가지 경우이다. 제시문 [가], [나], [다], [라], [마], [바]를 읽고 다음 질문에 답하시오.

그림 1, 2: 원과 포물선의 접점

[논제 Ⅰ-1] [그림1]과 같이 a=0\displaystyle a = 0이고 b=c≥0\displaystyle b = c \ge 0인 경우를 생각하자. 이 경우 원점에서 원의 접선과 포물선의 접선은 y=0\displaystyle y = 0으로 일치한다.Caution. 원을 다룰 때는 반지름이 양수인지 확인해야 한다: 이 문제에서 b=0\displaystyle b=0이면 원의 방정식은 원점 하나만 나타내므로 접선을 정의할 수 없다. 접선이 y=0\displaystyle y=0이라는 설명은 b>0\displaystyle b>0일 때 성립한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이때 원과 포물선이 만나는 점의 개수는 b\displaystyle b의 범위에 따라 달라진다. 원과 포물선이 한 점에서 만나는 경우 원의 넓이를 b\displaystyle b에 관한 함수 f(b)\displaystyle f ( b )로 표현했을 때, 이 함수의 최댓값을 구하고 그 근거를 논술하시오. (10점)

[논제 Ⅰ-2] 포물선 위의 점 R(r,r2)\displaystyle {\mathrm{R}} ( r , r^{2} )을 생각하자. [그림2]와 같이 점 R\displaystyle \mathrm{R}이 원점이 아니고, 점 R\displaystyle \mathrm{R}에서 원의 접선과 포물선의 접선이 l\displaystyle l로 일치한다고 할 때, a\displaystyle a와 b\displaystyle b의 관계식을 구하고 그 근거를 논술하시오. (10점)

[논제 Ⅰ-3] [논제 Ⅰ-2]에서 ar<0\displaystyle a r < 0인 경우를 생각하자. 이때 원과 포물선이 만나는 점의 개수는 a\displaystyle a의 범위에 따라 달라진다. 원과 포물선이 두 점에서 만나는 경우, 원의 넓이를 r\displaystyle r에 관한 함수 g(r)\displaystyle g ( r )로 표현하고 그 근거를 논술하시오. (20점)

[논제 Ⅰ-4] [논제 Ⅰ-3]에서와 같이 ar<0\displaystyle a r < 0이고 원과 포물선이 두 점에서 만나는 경우를 생각하자. 원과 포물선이 만나는 두 점 중 R\displaystyle \mathrm{R}이 아닌 점을 P\displaystyle \mathrm{P}, 원의 중심을 A\displaystyle \mathrm{A}라고 했을 때, θ=∠PAR\displaystyle \theta = \angle \mathrm{PAR} (0≤θ≤π)\displaystyle \left( 0 \le \theta \le \pi \right)라고 하자. 이때 극한 lim⁡r→∞rθ\displaystyle \lim_{r \to \infty} r \theta의 값을 구하고 그 근거를 논술하시오. (20점)

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논술 포락선

관련 개념강의 준비중

논술 이차곡선과 원의 위치 관계

관련 개념강의 준비중

경희대 2020학년도 모의 의학계 1번 · mathesis.kr/archive/khu/2020mo/uihak_1

+2점 · a=0\displaystyle a = 0이고 b=c≥0\displaystyle b = c \ge 0인 경우의 원의 방정식 x2+(y−b)2=b2\displaystyle x^{2} + ( y - b )^{2} = b^{2}을 구한다.

[논제 Ⅰ-1] 원의 방정식에서 a=0\displaystyle a=0이고 b=c≥0\displaystyle b=c\ge0이면 x2+(y−b)2=b2\displaystyle x^2+(y-b)^2=b^2을 얻고, 포물선의 방정식은 y=x2\displaystyle y=x^2이다.

+4점 · 원과 포물선이 만난다는 조건을 이용하여 사차방정식 x2(x2+1−2b)=0\displaystyle x^{2} ( x^{2} + 1 - 2 b ) = 0을 유도한다.

두 곡선이 만나는 점은 x2+(x2−b)2=b2\displaystyle x^2+(x^2-b)^2=b^2을 만족한다. 이 식을 다음과 같이 정리하면,x2(x2+1−2b)=0\displaystyle x^2(x^2+1-2b)=0

+4점 · 이차방정식 x2+1−2b=0\displaystyle x^{2} + 1 - 2 b = 0의 판별식을 이용하여 b\displaystyle b의 범위를 찾는다.

방정식의 근은 1−2b≥0\displaystyle 1 - 2 b \ge 0일 때 x=0\displaystyle x = 0으로 하나임을 알 수 있다. 따라서 원과 포물선이 한 점에서 만나게 되는 b\displaystyle b의 범위는 0≤b≤12\displaystyle 0 \le b \le \frac{1}{2}가 된다. 함수 f(b)\displaystyle f ( b )는 반지름이 b\displaystyle b인 원의 넓이이므로 f(b)=πb2\displaystyle f ( b ) = \pi b^{2}이고, 범위 0≤b≤12\displaystyle 0 \le b \le \frac{1}{2}에서 f(b)\displaystyle f ( b )의 최댓값은 π4\displaystyle \frac{\pi}{4}이다.

+4점 · 음함수의 미분법을 이용하여 dydx=−x−ay−b\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{x-a}{y-b}를 유도한다.

[논제 Ⅰ-2] 원 (x−a)2+(y−b)2=c2\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2=c^2에 대해서 dydx\displaystyle \frac{dy}{dx}는 음함수의 미분법에 의해 다음과 같이 표현된다.dydx=−x−ay−b\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{x-a}{y-b}

+2점 · 접선의 기울기가 2r\displaystyle 2 r임을 보인다.

포물선 y=x2\displaystyle y=x^2에 대해서는 dydx=2x\displaystyle \frac{dy}{dx}=2x이므로 점 R(r,r2)\displaystyle R(r,r^2)에서 접선의 기울기는 2r\displaystyle 2r이다.

+4점 · 점 R에서 원과 포물선이 만난다는 사실을 이용하여 관계식 −r−ar2−b=2r\displaystyle -\frac{r-a}{r^2-b}=2r을 유도한다.

점 R에서 원의 접선과 포물선의 접선이 일치하므로 −r−ar2−b=2r\displaystyle -\frac{r-a}{r^2-b}=2r을 얻는다. 이 식을 정리하면 다음과 같다.b=−a2r+r2+12\displaystyle b=-\frac a{2r}+r^2+\frac12

+4점 · 앞에서 구한 a\displaystyle a와 b\displaystyle b의 관계식을 이용하여 원의 반지름이 ∣r−a∣1+14r2\displaystyle |r-a|\sqrt{1+\frac1{4r^2}}임을 보인다.

[논제 Ⅰ-3] 원의 반지름은 선분 AR‾\displaystyle \overline{\mathrm{AR}}의 길이이다. 앞에서 구한 a\displaystyle a와 b\displaystyle b의 관계식을 이용해서 선분 AR‾\displaystyle \overline{\mathrm{AR}}의 길이를 다음과 같이 표현할 수 있다.AR‾=(r−a)2+(r2+a2r−r2−12)2=∣r−a∣1+14r2\displaystyle \overline{AR}=\sqrt{(r-a)^2+\left(r^2+\frac a{2r}-r^2-\frac12\right)^2}=|r-a|\sqrt{1+\frac1{4r^2}}따라서 원의 방정식은 다음과 같다.(x−a)2+(y+a2r−r2−12)2=(r−a)2(1+14r2)\displaystyle (x-a)^2+\left(y+\frac a{2r}-r^2-\frac12\right)^2=(r-a)^2\left(1+\frac1{4r^2}\right)

+4점 · 원과 포물선이 만난다는 조건을 이용하여 사차방정식 x4+(ar−2r2)x2−2ax+r4+ar=0\displaystyle x^{4} + \left( \frac{a}{r} - 2 r^{2} \right) x^{2} - 2 a x + r^{4} + a r = 0을 유도한다.

원과 포물선이 만나는 점은 다음 식을 만족한다.(x−a)2+(x2+a2r−r2−12)2=(r−a)2(1+14r2)\displaystyle (x-a)^2+\left(x^2+\frac a{2r}-r^2-\frac12\right)^2=(r-a)^2\left(1+\frac1{4r^2}\right)이를 정리하면 다음과 같다.x4+(ar−2r2)x2−2ax+r4+ar=0\displaystyle x^{4} + \left( \frac{a}{r} - 2 r^{2} \right) x^{2} - 2 a x + r^{4} + a r = 0

+4점 · 원과 포물선이 점 R\displaystyle \mathrm{R}에서 만난다는 사실을 이용하여 위 사차방정식을 인수분해한다.

원과 포물선이 점 R\displaystyle \mathrm{R}에서 만난다는 사실을 이용하면 위 식을 다음과 같이 인수분해할 수 있다.(x−r)2(x2+2rx+(r2+ar))=0\displaystyle ( x - r )^{2} \left( x^{2} + 2 r x + \left( r^{2} + \frac{a}{r} \right) \right) = 0

+4점 · 판별식 D=−ar\displaystyle D = - \frac{a}{r}이 양수임을 확인하고 a\displaystyle a의 범위에 따라 최대 세 개의 근을 가질 수 있음을 보인다.

방정식 x2+2rx+(r2+ar)=0\displaystyle x^{2} + 2 r x + \left( r^{2} + \frac{a}{r} \right) = 0은 판별식 D=−ar\displaystyle D = - \frac{a}{r}의 부호에 따라 근의 개수가 달라지는데, 문제의 조건에 의해 D>0\displaystyle D > 0이다. 따라서 위의 사차방정식은 최대 세 개의 근 r\displaystyle r(중근), −r+−ar\displaystyle - r + \sqrt{- \frac{a}{r}}, −r−−ar\displaystyle - r - \sqrt{- \frac{a}{r}}을 가진다. 문제의 조건에 의해 −ar≠0\displaystyle \sqrt{- \frac{a}{r}} \ne 0이므로, −r+−ar≠−r−−ar\displaystyle - r + \sqrt{- \frac{a}{r}} \ne - r - \sqrt{- \frac{a}{r}}이다.Correction. 여기서 −a/r\displaystyle -a/r은 판별식 D\displaystyle D가 아니라 D/4\displaystyle D/4의 값이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+4점 · 원과 포물선이 두 점에서 만나는 경우는 r=−r+−ar\displaystyle r = - r + \sqrt{- \frac{a}{r}} 또는 r=−r−−ar\displaystyle r = - r - \sqrt{- \frac{a}{r}}인 경우임을 확인하고, 두 경우 모두 a=−4r3\displaystyle a = - 4 r^{3}임을 보인다.

따라서 원과 포물선이 두 점에서 만나는 경우는 r=−r+−ar\displaystyle r = - r + \sqrt{- \frac{a}{r}} 또는 r=−r−−ar\displaystyle r = - r - \sqrt{- \frac{a}{r}}인 경우이다. 두 식을 정리하면 모두 a=−4r3\displaystyle a = - 4 r^{3}가 된다. 앞에서 구한 원의 방정식에 a=−4r3\displaystyle a = - 4 r^{3}을 대입하면(x+4r3)2+(y−3r2−12)2=(r+4r3)2(1+14r2)\displaystyle (x+4r^3)^2+\left(y-3r^2-\frac12\right)^2=(r+4r^3)^2\left(1+\frac1{4r^2}\right)를 얻고, 따라서 원의 넓이는 다음과 같다.g(r)=π(r+4r3)2(1+14r2)=π4(1+4r2)3\displaystyle g(r)=\pi(r+4r^3)^2\left(1+\frac1{4r^2}\right)=\frac\pi4(1+4r^2)^3

+5점 · 원의 중심 A\displaystyle \mathrm{A}의 좌표가 A(−4r3,3r2+12)\displaystyle {\mathrm{A}} \left( - 4 r^{3} , 3 r^{2} + \frac{1}{2} \right)임을 보인다.

[논제 Ⅰ-4] [논제 Ⅰ-3]에서 원과 포물선이 두 점에서 만나는 경우 세 점 P, A, R의 위치에 대해서 생각하자. 우선, 점 R의 좌표는 (r,r2)\displaystyle (r,r^2)이다. 점 A의 좌표는 (a,b)\displaystyle (a,b)인데, a=−4r3\displaystyle a=-4r^3이고 b=−a2r+r2+12\displaystyle b=-\frac a{2r}+r^2+\frac12이므로, A(−4r3,3r2+12)\displaystyle A\left(-4r^3,3r^2+\frac12\right)을 얻는다.

+5점 · 원과 포물선이 두 점에서 만나는 경우인 r=−r+−ar\displaystyle r = - r + \sqrt{- \frac{a}{r}}인 경우와 r=−r−−ar\displaystyle r = - r - \sqrt{- \frac{a}{r}}인 경우 모두 점 P\displaystyle \mathrm{P}의 x\displaystyle x좌표가 −3r\displaystyle - 3 r이 됨을 보인다.

점 P의 좌표에 대해서 생각해보자. 먼저, r=−r+−ar\displaystyle r=-r+\sqrt{-\frac ar}인 경우 r>0\displaystyle r>0이고, 점 P의 x\displaystyle x좌표는 −r−−ar\displaystyle -r-\sqrt{-\frac ar}인데, a=−4r3\displaystyle a=-4r^3이므로 −r−4r2=−3r\displaystyle -r-\sqrt{4r^2}=-3r이 된다. 마찬가지로 r=−r−−ar\displaystyle r=-r-\sqrt{-\frac ar}인 경우 r<0\displaystyle r<0이고, 점 P의 x\displaystyle x좌표는 −r+−ar\displaystyle -r+\sqrt{-\frac ar}인데, a=−4r3\displaystyle a=-4r^3이므로 −r+4r2=−r+2∣r∣=−3r\displaystyle -r+\sqrt{4r^2}=-r+2|r|=-3r이 된다. 따라서 두 경우 모두 −3r\displaystyle -3r을 얻고, 점 P가 포물선 위에 있다는 사실을 이용하여 P(−3r,9r2)\displaystyle P(-3r,9r^2)을 얻는다. 세 점의 좌표를 이용하여 선분 PA‾,AR‾,PR‾\displaystyle \overline{PA},\overline{AR},\overline{PR}의 길이를 다음과 같이 구할 수 있다.

+5점 · 선분 PA‾\displaystyle \overline{\mathrm{PA}}, AR‾\displaystyle \overline{\mathrm{AR}}, PR‾\displaystyle \overline{\mathrm{PR}}의 길이와 각도 θ\displaystyle \theta 사이의 관계 sin⁡θ2=4r1+4r2\displaystyle \sin \frac{\theta}{2} = 4 \frac{r}{1 + 4 r^{2}}을 유도한다.

PA‾2=AR‾2=14(1+4r2)3\displaystyle {\overline{\mathrm{PA}}}^{2} = {\overline{\mathrm{AR}}}^{2} = \frac{1}{4} ( 1 + 4 r^{2} )^{3}, PR‾2=16r2(1+4r2)\displaystyle {\overline{\mathrm{PR}}}^{2} = 16 r^{2} ( 1 + 4 r^{2} )삼각형 PAR\displaystyle \mathrm{PAR}은 이등변삼각형이므로 sin⁡θ2=12PR‾PA‾\displaystyle \sin \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} \frac{{\overline{\mathrm{PR}}}}{\overline{\mathrm{PA}}}이다. 따라서 다음을 얻는다.sin⁡θ2=4r1+4r2\displaystyle \sin \frac{\theta}{2} = 4 \frac{r}{1 + 4 r^{2}}Comment. 일반적인 r≠0\displaystyle r\ne0에 대해서는 sin⁡(θ/2)=4∣r∣1+4r2\displaystyle \sin(\theta/2)=\frac{4|r|}{1+4r^2}이다. 이 풀이에서는 r→∞\displaystyle r\to\infty인 극한을 구하므로 r>0\displaystyle r>0으로 보아도 된다.

+5점 · 제시문 [라]와 [마]를 이용하여 극한을 구한다.

극한 lim⁡r→∞sin⁡θ2=0\displaystyle \lim_{r \to \infty} \sin \frac{\theta}{2} = 0이고 0≤θ≤π\displaystyle 0 \le \theta \le \pi이므로, lim⁡r→∞θ=0\displaystyle \lim_{r \to \infty} \theta = 0이다. 극한 lim⁡x→0sin⁡xx=1\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1을 이용하면 다음을 얻는다.lim⁡r→∞rθ=lim⁡r→∞2rsin⁡θ2θ2sin⁡θ2=lim⁡r→∞2rsin⁡θ2=lim⁡r→∞8r21+4r2=2\displaystyle \lim_{r \to \infty} r \theta = \lim_{r \to \infty} 2 r \sin \frac{\theta}{2} \frac{{\frac{\theta}{2}}}{\sin \frac{\theta}{2}}= \lim_{r \to \infty} 2 r \sin \frac{\theta}{2} = \lim_{r \to \infty} 8 \frac{r^{2}}{1 + 4 r^{2}} = 2

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