의학계 1번

[논제 Ⅰ-1] 원의 방정식에서 $\displaystyle a=0$이고 $\displaystyle b=c\ge0$이면 $\displaystyle x^2+(y-b)^2=b^2$을 얻고, 포물선의 방정식은 $\displaystyle y=x^2$이다.

두 곡선이 만나는 점은 $\displaystyle x^2+(x^2-b)^2=b^2$을 만족한다. 이 식을 다음과 같이 정리하면,$\displaystyle x^2(x^2+1-2b)=0$

방정식의 근은 $\displaystyle 1 - 2 b \ge 0$일 때 $\displaystyle x = 0$으로 하나임을 알 수 있다. 따라서 원과 포물선이 한 점에서 만나게 되는 $\displaystyle b$의 범위는 $\displaystyle 0 \le b \le \frac{1}{2}$가 된다. 함수 $\displaystyle f ( b )$는 반지름이 $\displaystyle b$인 원의 넓이이므로 $\displaystyle f ( b ) = \pi b^{2}$이고, 범위 $\displaystyle 0 \le b \le \frac{1}{2}$에서 $\displaystyle f ( b )$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$이다.

[논제 Ⅰ-2] 원 $\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2=c^2$에 대해서 $\displaystyle \frac{dy}{dx}$는 음함수의 미분법에 의해 다음과 같이 표현된다.$\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{x-a}{y-b}$

포물선 $\displaystyle y=x^2$에 대해서는 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=2x$이므로 점 $\displaystyle R(r,r^2)$에서 접선의 기울기는 $\displaystyle 2r$이다. 점 R에서 원의 접선과 포물선의 접선이 일치하므로 $\displaystyle -\frac{r-a}{r^2-b}=2r$을 얻는다. 이 식을 정리하면 다음과 같다.$\displaystyle b=-\frac a{2r}+r^2+\frac12$

[논제 Ⅰ-3] 원의 반지름은 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{AR}}$의 길이이다. 앞에서 구한 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$의 관계식을 이용해서 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{AR}}$의 길이를 다음과 같이 표현할 수 있다.$\displaystyle \overline{AR}=\sqrt{(r-a)^2+\left(r^2+\frac a{2r}-r^2-\frac12\right)^2}=|r-a|\sqrt{1+\frac1{4r^2}}$따라서 원의 방정식은 다음과 같다.$\displaystyle (x-a)^2+\left(y+\frac a{2r}-r^2-\frac12\right)^2=(r-a)^2\left(1+\frac1{4r^2}\right)$

원과 포물선이 만나는 점은 다음 식을 만족한다.$\displaystyle (x-a)^2+\left(x^2+\frac a{2r}-r^2-\frac12\right)^2=(r-a)^2\left(1+\frac1{4r^2}\right)$이를 정리하면 다음과 같다.$\displaystyle x^{4} + \left( \frac{a}{r} - 2 r^{2} \right) x^{2} - 2 a x + r^{4} + a r = 0$

원과 포물선이 점 $\displaystyle \mathrm{R}$에서 만난다는 사실을 이용하면 위 식을 다음과 같이 인수분해할 수 있다.$\displaystyle ( x - r )^{2} \left( x^{2} + 2 r x + \left( r^{2} + \frac{a}{r} \right) \right) = 0$

방정식 $\displaystyle x^{2} + 2 r x + \left( r^{2} + \frac{a}{r} \right) = 0$은 판별식 $\displaystyle D = - \frac{a}{r}$의 부호에 따라 근의 개수가 달라지는데, 문제의 조건에 의해 $\displaystyle D > 0$이다. 따라서 위의 사차방정식은 최대 세 개의 근 $\displaystyle r$(중근), $\displaystyle - r + \sqrt{- \frac{a}{r}}$, $\displaystyle - r - \sqrt{- \frac{a}{r}}$을 가진다. 문제의 조건에 의해 $\displaystyle \sqrt{- \frac{a}{r}} \ne 0$이므로, $\displaystyle - r + \sqrt{- \frac{a}{r}} \ne - r - \sqrt{- \frac{a}{r}}$이다.Correction. 여기서 $\displaystyle -a/r$은 판별식 $\displaystyle D$가 아니라 $\displaystyle D/4$의 값이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

따라서 원과 포물선이 두 점에서 만나는 경우는 $\displaystyle r = - r + \sqrt{- \frac{a}{r}}$ 또는 $\displaystyle r = - r - \sqrt{- \frac{a}{r}}$인 경우이다. 두 식을 정리하면 모두 $\displaystyle a = - 4 r^{3}$가 된다. 앞에서 구한 원의 방정식에 $\displaystyle a = - 4 r^{3}$을 대입하면$\displaystyle (x+4r^3)^2+\left(y-3r^2-\frac12\right)^2=(r+4r^3)^2\left(1+\frac1{4r^2}\right)$를 얻고, 따라서 원의 넓이는 다음과 같다.$\displaystyle g(r)=\pi(r+4r^3)^2\left(1+\frac1{4r^2}\right)=\frac\pi4(1+4r^2)^3$

[논제 Ⅰ-4] [논제 Ⅰ-3]에서 원과 포물선이 두 점에서 만나는 경우 세 점 P, A, R의 위치에 대해서 생각하자. 우선, 점 R의 좌표는 $\displaystyle (r,r^2)$이다. 점 A의 좌표는 $\displaystyle (a,b)$인데, $\displaystyle a=-4r^3$이고 $\displaystyle b=-\frac a{2r}+r^2+\frac12$이므로, $\displaystyle A\left(-4r^3,3r^2+\frac12\right)$을 얻는다.

점 P의 좌표에 대해서 생각해보자. 먼저, $\displaystyle r=-r+\sqrt{-\frac ar}$인 경우 $\displaystyle r>0$이고, 점 P의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle -r-\sqrt{-\frac ar}$인데, $\displaystyle a=-4r^3$이므로 $\displaystyle -r-\sqrt{4r^2}=-3r$이 된다. 마찬가지로 $\displaystyle r=-r-\sqrt{-\frac ar}$인 경우 $\displaystyle r<0$이고, 점 P의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle -r+\sqrt{-\frac ar}$인데, $\displaystyle a=-4r^3$이므로 $\displaystyle -r+\sqrt{4r^2}=-r+2|r|=-3r$이 된다. 따라서 두 경우 모두 $\displaystyle -3r$을 얻고, 점 P가 포물선 위에 있다는 사실을 이용하여 $\displaystyle P(-3r,9r^2)$을 얻는다. 세 점의 좌표를 이용하여 선분 $\displaystyle \overline{PA},\overline{AR},\overline{PR}$의 길이를 다음과 같이 구할 수 있다.

$\displaystyle {\overline{\mathrm{PA}}}^{2} = {\overline{\mathrm{AR}}}^{2} = \frac{1}{4} ( 1 + 4 r^{2} )^{3}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{PR}}}^{2} = 16 r^{2} ( 1 + 4 r^{2} )$삼각형 $\displaystyle \mathrm{PAR}$은 이등변삼각형이므로 $\displaystyle \sin \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} \frac{{\overline{\mathrm{PR}}}}{\overline{\mathrm{PA}}}$이다. 따라서 다음을 얻는다.$\displaystyle \sin \frac{\theta}{2} = 4 \frac{r}{1 + 4 r^{2}}$Comment. 일반적인 $\displaystyle r\ne0$에 대해서는 $\displaystyle \sin(\theta/2)=\frac{4|r|}{1+4r^2}$이다. 이 풀이에서는 $\displaystyle r\to\infty$인 극한을 구하므로 $\displaystyle r>0$으로 보아도 된다.

극한 $\displaystyle \lim_{r \to \infty} \sin \frac{\theta}{2} = 0$이고 $\displaystyle 0 \le \theta \le \pi$이므로, $\displaystyle \lim_{r \to \infty} \theta = 0$이다. 극한 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1$을 이용하면 다음을 얻는다.$\displaystyle \lim_{r \to \infty} r \theta = \lim_{r \to \infty} 2 r \sin \frac{\theta}{2} \frac{{\frac{\theta}{2}}}{\sin \frac{\theta}{2}}= \lim_{r \to \infty} 2 r \sin \frac{\theta}{2} = \lim_{r \to \infty} 8 \frac{r^{2}}{1 + 4 r^{2}} = 2$