자연계열 I 1번

【물음 1】[제시문 1]에서 언급한 주령구는 14면체 주사위로 모든 면의 면적이 동일한 정다면체가 아니므로 각 면이 지면에 닿을 확률이 동일하지는 않다. 따라서 ○ 또는 ×를 표시한 면의 위치에 따라 게임에서 승리할 확률이 달라질 수 있다.

【물음 2】주사위를 던져서 ○가 나올 확률 을 $\displaystyle p$라고 하고 할 때, $\displaystyle p=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$이다. [제시문 2]에서 제시한 [게임 I]에서 게임에서 승리할 각 경우의 확률은2번째 시행에서 승리할 경우의 확률: $\displaystyle p^2$3번째 시행에서 승리할 경우의 확률: $\displaystyle (1-p)p^2$4번째 시행에서 승리할 경우의 확률: $\displaystyle p(1-p)p^2$5번째 시행에서 승리할 경우의 확률: $\displaystyle (1-p)p(1-p)p^2$$\displaystyle \vdots$$\displaystyle 2k$번째 시행에서 승리할 경우의 확률: $\displaystyle [p(1-p)]^{(k-1)}p^2$$\displaystyle (2k+1)$번째 시행에서 승리할 경우의 확률: $\displaystyle (1-p)[p(1-p)]^{(k-1)}p^2$Correction. 홀수 번째 시행에서 승리할 확률을 전개한 식의 두 번째 항과 세 번째 항에서 $\displaystyle [p(1-p)]$의 지수는 각각 $\displaystyle 1$, $\displaystyle 2$가 되어야 한다. 바로 다음 합 기호와 최종값 $\displaystyle \frac{3}{52}$는 올바르다. 원문 표기는 그대로 실었다.$\displaystyle \vdots$이 된다. 따라서 처음 시행에서 ○가 나왔을 때, 연속으로 ○가 두 번 나와 승리할 확률은 짝수번째 시행에서 승리할 확률의 무한합인$\displaystyle p^2+p(1-p)\times p^2+[p(1-p)]^2\times p^2+\cdots=\sum_{k=1}^{\infty}[p(1-p)]^{k-1}p^2=\frac{p^2}{1-p(1-p)}=\frac{1}{13}\quad(\because|p(1-p)|<1)$이고, 처음 시행에서 ×가 나왔을 때, 연속으로 ○가 두 번 나와 승리할 확률은 홀수번째 시행에서 승리할 확률의 무한합인$\displaystyle \begin{aligned}(1-p)\times p^2+[p(1-p)]^2\times(1-p)p^2+[p(1-p)]^3\times(1-p)p^2+\cdots\\=\sum_{k=1}^{\infty}(p(1-p))^{k-1}(1-p)p^2=\frac{(1-p)p^2}{1-p(1-p)}=\frac{3}{52}\quad(\because|p(1-p)|<1)\end{aligned}$이다. 따라서 [게임 I]에서 연속으로 ○가 나와서 승리할 확률은 $\displaystyle \frac{1}{13}+\frac{3}{52}=\frac{7}{52}$이다.

【물음 3】주사위를 던져서 ○가 나올 확률 을 $\displaystyle p$ 또는 $\displaystyle \frac{x}{20}$라고 하고 할 때 (여기에서 $\displaystyle x$는 정이십면체의 20개 면 중 ○가 표시된 면의 수), [제시문 2]에서 언급한 [게임 II]에서 A가 승리할 각 경우의 확률은A의 1번째 시도에서 ○가 나올 경우의 확률: $\displaystyle p$A의 2번째 시도에서 처음 ○가 나올 경우의 확률: $\displaystyle (1-p)^2\times p$$\displaystyle \vdots$A의 $\displaystyle n$번째 시도에서 처음 ○가 나올 경우의 확률: $\displaystyle (1-p)^{2(n-1)}\times p$$\displaystyle \vdots$이다. 따라서 [게임 II]에서 A가 승리할 확률은$\displaystyle p+(1-p)^2\times p+(1-p)^4\times p+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}(1-p)^{2(n-1)}p=\frac{p}{1-(1-p)^2}$이고, 유사한 방법으로 [게임 II]에서 B가 승리할 확률은$\displaystyle (1-p)p+(1-p)^2\times(1-p)p+(1-p)^4\times(1-p)p+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}(1-p)^{2(n-1)}(1-p)p=\frac{(1-p)p}{1-(1-p)^2}$이다.

단, 위의 두 확률을 구하기 위해서는 무한등비급수의 초항과 공비에 관한 조건을 만족시켜야 하므로 $\displaystyle 0<p<1$이 되어야 한다.(i) $\displaystyle 0<p<1$인 경우A가 승리할 확률이 B가 승리할 확률의 3배 이상이기 위해서 $\displaystyle \frac{p}{1-(1-p)^2}\ge3\frac{(1-p)p}{1-(1-p)^2}$이므로 $\displaystyle \frac{2}{3}\le p<1$이다. 따라서 A가 승리할 확률이 B가 승리할 확률의 3배 이상이기 위해서 $\displaystyle \frac{2}{3}\le p\le1$이어야 한다. 즉, $\displaystyle \frac{2}{3}\le\frac{m}{20}<1$는 $\displaystyle 13.33\cdots\le m<20$이므로 A가 승리할 확률이 B가 승리할 확률의 3 배 이상이기 위해서는 정이십면체 주사위의 20개의 면 중 14개 이상 그리고 19개 이하의 면에 ○를 표시하면 된다.

[다른 접근법][게임 II]가 무한히 계속될 확률은 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(1-p)^n\times(1-p)^n=\lim_{n\to\infty}(1-p)^{2n}=0$이므로 B가 승리할 사건이 A가 승리할 사건의 여사건이다. 따라서 즉, B가 승리할 확률은 $\displaystyle 1-\frac{p}{1-(1-p)^2}=\frac{(1-p)p}{1-(1-p)^2}$이다. 또는 [게임 II]가 무한히 계속될 확률이 0이므로 A가 승리할 확률이 $\displaystyle \frac{3}{4}$이상이 되면 된다. 따라서 $\displaystyle \frac{p}{1-(1-p)^2}\ge\frac{3}{4}$이므로 $\displaystyle \frac{2}{3}\le p<1$이다. 위와 동일한 방법으로 A가 승리할 확률이 B가 승리할 확률의 3 배 이상이기 위해서는 정이십면체 주사위의 20개의 면 중 14개 이상 그리고 19개 이하의 면에 ○를 표시하면 된다.

(ii) $\displaystyle p=0$인 경우, A가 승리할 확률과 B가 승리할 확률이 각각 0이므로 A가 승리할 확률이 B가 승리할 확률의 3 배 이상이다.

(iii) $\displaystyle p=1$$\displaystyle p=1$인 경우, A가 승리할 확률은 1이고 B가 승리할 확률은 0이므로 A가 승리할 확률이 B가 승리할 확률의 3 배 이상이다.

정답 : 정이십면체 주사위의 20개의 면 중 0개 또는 14개 이상의 면에 ○를 표시하면 된다. 그리고 필요한 최소 면의 개수는 0이다.