자연계열 II 1번

【물음 1】① 구하고자 하는 이차함수를 $\displaystyle f(x)$라고 하고$\displaystyle f(x)=Lp(x)+Mq(x)+Nr(x)$이라 두고 상수 $\displaystyle L,M,N$을 구하기 위해 [물음]에서 주어진 함수 $\displaystyle f(x)$의 상황과 [제시문2] 주어진 세 이차함수 $\displaystyle p(x)$, $\displaystyle q(x)$, $\displaystyle r(x)$의 성질을 사용한다.② ①에서 설정한 등식의 양변에 각각 $\displaystyle x=-a,0,a$를 대입해보면 다음을 얻을 수 있다.$\displaystyle b=f(-a)=Lp(-a)+Mq(-a)+Nr(-a)=L,$$\displaystyle \frac{2b}{3}=f(0)=Lp(0)+Mq(0)+Nr(0)=M,$$\displaystyle b=f(a)=Lp(a)+Mq(a)+Nr(a)=N$

【물음 2】① [물음]의 전제와 [제시문1]로부터 $\displaystyle x=g(t)=\frac{1}{2}\frac{d}{dx}(e^t+e^{-t})=\frac{1}{2}(e^t-e^{-t})$라 치환하여 $\displaystyle \sqrt{x^2+1}dx$를 계산하면 $\displaystyle \sqrt{x^2+1}dx=\frac{1}{4}(e^t+e^{-t})^2=\frac{1}{4}(e^{2t}+e^{-2t}+2)$이다.Correction. ①의 미분 연산자 $\displaystyle \frac{d}{dx}$는 $\displaystyle \frac{d}{dt}$가 되어야 하며, 이어지는 치환식의 오른쪽 두 항에는 각각 $\displaystyle dt$가 빠져 있다. 올바른 식은 $\displaystyle \sqrt{x^2+1}dx=\frac14(e^t+e^{-t})^2dt=\frac14(e^{2t}+e^{-2t}+2)dt$이다. 그러나 원문 표기는 그대로 실었다.② ①의 결과를 이용하여 주어진 정적분을 계산하기 좋은 정적분으로 다음과 같이 치환한다.$\displaystyle \int_{g(0)}^{g(a)}\sqrt{x^2+1}dx=\frac{1}{4}\int_0^a(e^{2t}+e^{-2t}+2)dt$③ 마지막으로 ② 정적분으로 다음과 같이 정확히 계산한다.$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}(e^a-e^{-a})}\sqrt{x^2+1}dx=\frac{1}{8}(e^{2a}-e^{-2a}+4a)$

【물음 3】① 주어진 상황에서 $\displaystyle a=4(e^2-e^{-2}),b=e^4+e^{-4}$라고 하고 주케이블의 현수재 위치를 원점으로 설정하면 다음과 같은 이차함수 그래프를 얻을 수 있다.

따라서 [물음 1]의 결과를 이용하여 케이블에 대한 이차함수 $\displaystyle f(x)$를 다음과 같이 계산할 수 있다.$\displaystyle f(x)=bp(x)+2q(x)+br(x)=\frac{x^2}{16}+2$② 이차함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle y$축에 대칭이므로 [제시문 3]의 곡선의 길이 구하는 공식에 의하여 주 케이블의 길이는 $\displaystyle s=2\int_0^{4(e^2-e^{-2})}\sqrt{1+\left(\frac{x}{8}\right)^2}dx$이고 $\displaystyle y=\frac{x}{8}$로 치환하면 $\displaystyle s=16\int_0^{\frac{1}{2}(e^2-e^{-2})}\sqrt{1+x^2}dx$임을 알 수 있다.③ 따라서 $\displaystyle a=2,\ x=g(t)=\frac{1}{2}(e^t-e^{-t})$이라고 하면 [물음 2]의 결과로부터 케이블의 길이 $\displaystyle s$는 다음과 같이 계산할 수 있다.④ $\displaystyle s=2(e^4-e^{-4}+8)$