자연계열 II 2번

경북대 2015학년도 수시 자연계열 II 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2015su/jayeon2_2

【제시문 1】

철수, 순희, 민수는 간식을 사먹기 위하여 [그림 1]과 같이 다리가 3개인 사다리타기를 하여 간식 값으로 각각 2000원, 3000원, 1000원을 지불하였다. 이 지불 관계를 함수로 나타내면 [그림 2]의 일대일 대응이 된다.

일반적으로 다리가 $\displaystyle n$ 개인 사다리타기 도형은 원소의 개수가 $\displaystyle n$ 인 두 집합 사이의 일대일 대응을 만들어 준다. 역으로, 원소의 개수가 $\displaystyle n$ 인 두 집합 사이의 일대일 대응이 주어지면 이에 상응하는 사다리타기 도형을 만들 수 있다.

위의 일대일 대응에 상응하는 사다리타기 도형을 만드는 과정을 간단히 소개한다. 먼저 [그림 1]과 같이 위쪽과 아래쪽에 차례대로 각각 철수, 순희, 민수와 1000원, 2000원, 3000원이 표시된 다리를 배열한다. 철수가 2000원에 대응되도록 발판을 놓아 사다리를 만든다. 만들어진 사다리에서 순희가 3000원에 대응되는지 먼저 확인하고, 대응되어 있지 않으면 같은 방법으로 순희가 3000원에 대응되도록 이미 놓여진 발판보다 위쪽에 발판을 놓아 사다리를 만든다. 이렇게 만들어진 사다리타기 도형은 민수를 1000원에 대응시키게 되어 원하는 사다리타기 도형을 얻을 수 있다.

【제시문 2】

정다각형 또는 정다면체의 대칭성을 이용하여 여러 가지 일대일 대응을 만들 수 있다. 정사각형의 중심을 기준으로 $\displaystyle 0^\circ,90^\circ,180^\circ,270^\circ$ 만큼 정사각형을 회전하여 만들어지는 4가지 정사각형 $\displaystyle R_0,R_{90},R_{180},R_{270}$ 과 정사각형을 수평선 $\displaystyle (H)$ , 수직선 $\displaystyle (V)$ , 두 대각선 $\displaystyle (D,A)$ 에 대하여 대칭이동하여 만들어지는 4가지 정사각형 $\displaystyle R_H,R_V,R_D,R_A$ 를 [그림 3]과 같이 얻을 수 있다.

이러한 회전 혹은 대칭이동을 이용하여, 원래 정사각형의 각 꼭짓점에 새로운 정사각형의 꼭짓점을 대응시키는 일대일 대응을 얻을 수 있다. 대각선 $\displaystyle A$ 에 대한 대칭이동에 의하여 만들어지는 일대일 대응 $\displaystyle R_A:\{1,2,3,4\}\to\{1,2,3,4\}$ 는 $\displaystyle R_A(1)=3,\ R_A(2)=2,\ R_A(3)=1,\ R_A(4)=4$ 이다.

※ 모든 물음에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

【물음 1】함수 $\displaystyle f:\{1,2,3,4\}\to\{1,2,3,4\}$ 가 $\displaystyle f(1)=4,f(2)=2,f(3)=3,f(4)=1$ 인 일대일 대응일 때, 【제시문 1】을 참고하여 함수 $\displaystyle f$ 에 상응하는 사다리타기 도형을 만드시오. 단, 위쪽과 아래쪽에 각각 $\displaystyle 1,2,3,4$ 의 번호가 표시된 4개의 다리를 왼쪽부터 차례대로 배열하고 6개 이하의 발판을 사용하시오. (20점)

【물음 2】아래 그림과 같이 정사면체 $\displaystyle ABCD$ 의 꼭짓점 $\displaystyle B$ 와 삼각형 $\displaystyle ACD$ 의 무게중심 $\displaystyle M$ 을 지나는 직선을 $\displaystyle l$ 이라고 하자. 정사면체 $\displaystyle ABCD$ 를 직선 $\displaystyle l$ 을 축으로 아래 그림과 같이 화살표 방향으로 $\displaystyle 120^\circ$ 만큼 회전한다.

(1) 【제시문 1】【제시문 2】를 참고하여 원래 정사면체의 각 꼭짓점에 위의 회전에 의하여 얻어진 새로운 정사면체의 꼭짓점을 대응시키는 일대일 대응을 구하시오. (20점)

(2)【물음 2】의 (1)에서 구한 일대일 대응에 상응하는 사다리타기 도형을 【제시문 1】을 참고하여 구하시오. 단, 위쪽과 아래쪽에 각각 $\displaystyle A,B,C,D$ 가 표시된 4개의 다리를 왼쪽부터 차례대로 배열하고 5개 이하의 발판을 사용하시오. (20점)

【물음 3】【제시문 1】을 참고하여 2 이상의 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 함수 $\displaystyle f:\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}\to\{b_1,b_2,\cdots,b_n\}$ 이 일대일 대응일 때, 함수 $\displaystyle f$ 에 상응하는 사다리타기 도형이 존재함을 수학적 귀납법으로 보이시오. 단, 사다리타기 도형에서 위쪽과 아래쪽에 각각 $\displaystyle a_1,a_2,\cdots,a_n$ 과 $\displaystyle b_1,b_2,\cdots,b_n$ 이 표시된 $\displaystyle n$ 개의 다리를 왼쪽부터 차례대로 배열한다. (40점)

해설강의 준비중

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+20점

【물음 1】주어진 일대일 대응 $\displaystyle f$ 에 상응하는 사다리타기 도형을 【제시문 1】의 방법을 이용하여 구하면

와 같다. [단계 3]에 주어진 사다리타기 도형 이외에는 가능한 형태는 다음의 사다리타기 도형 밖에 없다.

+20점

【물음 2】(1) 정사면체 $\displaystyle ABCD$ 를 직선 $\displaystyle l$ 을 축으로 그림의 화살표 방향으로 $\displaystyle 120^\circ$ 회전하여 원하는 함수 (기호로 $\displaystyle R_l$ 이라 하자)를 구성하면 일대일 대응 $\displaystyle R_l:\{A,B,C,D\}\to\{A,B,C,D\}$ 는 $\displaystyle R_l(A)=C,\ R_l(B)=B,\ R_l(C)=D,\ R_l(D)=A$ 를 얻는다.

+20점

(2) (1)에서 구한 일대일 대응 $\displaystyle R_l$ 에 상응하는 사다리타기 도형을 【제시문 1】의 방법을 이용하여 구하면

[단계 3]에 주어진 사다리타기 도형 이외에는 가능한 형태는 다음의 사다리타기 도형 밖에 없다.

+40점

【물음 3】수학적 귀납법을 이용한다. $\displaystyle n=2$ 일 때, $\displaystyle f:\{a_1,a_2\}\to\{b_1,b_2\}$ 가 일대일 대응인 경우는 $\displaystyle (1)\ f(a_1)=b_1,\ f(a_2)=b_2$ 와 $\displaystyle (2)\ f(a_1)=b_2,\ f(a_2)=b_1$ 의 두 가지 경우 밖에 없으며 각각의 일대일 대응을 사다리타기 도형을 이용하여 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle n=k$ ( $\displaystyle k\ge2$ )일 때, 【물음 3】의 명제가 성립한다고 가정하고함수 $\displaystyle f:\{a_1,a_2,\cdots,a_{k+1}\}\to\{b_1,b_2,\cdots,b_{k+1}\}$ 을 일대일 대응이라 하고 $\displaystyle f(a_1)=b_m$ ( $\displaystyle m=1,2,\cdots,k+1$ )이라고 하자. 다음 사다리타기 도형과 같이 발판을 설치하면 $\displaystyle a_1$ 와 $\displaystyle b_m$ 을 대응시킬 수 있다.

위의 그림에 점선을 표시한 후 다리 아래쪽에 있는 $\displaystyle b_1,b_2,\cdots,b_{k+1}$ 로부터 점선까지 위쪽으로 사다리타기 도형을 따라 올라오면, 위쪽과 아래쪽에 각각 $\displaystyle b_m,b_1,b_2,\cdots,b_{m-1},b_{m+1},b_{m+2},\cdots,b_{k+1}$ 과 $\displaystyle b_1,b_2,\cdots,b_{k+1}$ 이 표시된 다리가 왼쪽부터 배열되어 있는 사다리타기 도형을 얻을 수 있다. (아래 그림 참고)

함수 $\displaystyle g:\{a_2,a_3,\cdots,a_{k+1}\}\to\{b_1,b_2,\cdots,b_{m-1},b_{m+1},b_{m+2},\cdots,b_{k+1}\}$ 을 $\displaystyle g(x)=f(x)$ 로 정의하면 $\displaystyle f$ 가 일대일 대응이므로 $\displaystyle g$ 역시 일대일 대응이 된다. 두 집합 $\displaystyle \{a_2,a_3,\cdots,a_{k+1}\}$ 와 $\displaystyle \{b_1,b_2,\cdots,a_{m-1},a_{m+1},\cdots,b_{k+1}\}$ 은 원소의 개수가 $\displaystyle k$ 개이므로 수학적 귀납법의 가정에 의하여 점선 위쪽 부분의 사다리타기 도형을 완성할 수 있다. 즉, 수학적 귀납법의 가정에 의하여 아래 그림과 같이 위의 그림의 점선 윗 부분을 완성할 수 있다.Correction. 귀납 가정을 적용하는 두 번째 집합의 $\displaystyle a_{m-1}$ , $\displaystyle a_{m+1}$ 은 각각 $\displaystyle b_{m-1}$ , $\displaystyle b_{m+1}$ 의 오기다. 이 집합은 위에서 정의한 함수 $\displaystyle g$ 의 공역 $\displaystyle \{b_1,\ldots,b_{m-1},b_{m+1},\ldots,b_{k+1}\}$ 이다. 원문 표기는 그대로 실었다.

따라서 점선을 지우면 우리가 원하는 사다리타기 도형을 구성할 수 있다.

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