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자연계열 I 1번

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경북대 2016학년도 수시 자연계열 I 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2016su/jayeon1_1

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문제

[1] 아래 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가)자연수 n\displaystyle n과 실수 aij\displaystyle a_{ij} (i=1,2,…,n, j=1,2,…,n\displaystyle i=1,2,\ldots,n,\ j=1,2,\ldots,n)에 대하여∑i=1n∑j=1naij=∑i=1n(∑j=1naij)=∑j=1na1j+∑j=1na2j+⋯+∑j=1nanj=(a11+a12+⋯+a1n)+(a21+a22+⋯+a2n)+⋯+(an1+an2+⋯+ann)\displaystyle \begin{aligned}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}&=\sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^n a_{ij}\right)\\&=\sum_{j=1}^n a_{1j}+\sum_{j=1}^n a_{2j}+\cdots+\sum_{j=1}^n a_{nj}\\&=(a_{11}+a_{12}+\cdots+a_{1n})+(a_{21}+a_{22}+\cdots+a_{2n})\\&\quad+\cdots+(a_{n1}+a_{n2}+\cdots+a_{nn})\end{aligned}이다. 특히 aij=cidj\displaystyle a_{ij}=c_id_j (ci,dj\displaystyle c_i,d_j는 실수)인 경우에∑i=1n∑j=1ncidj=(c1d1+c1d2+⋯+c1dn)+(c2d1+c2d2+⋯+c2dn)+⋯+(cnd1+cnd2+⋯+cndn)=c1∑j=1ndj+c2∑j=1ndj+⋯+cn∑j=1ndj=(∑i=1nci)(∑j=1ndj)\displaystyle \begin{aligned}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n c_id_j&=(c_1d_1+c_1d_2+\cdots+c_1d_n)+(c_2d_1+c_2d_2+\cdots+c_2d_n)\\&\quad+\cdots+(c_nd_1+c_nd_2+\cdots+c_nd_n)\\&=c_1\sum_{j=1}^n d_j+c_2\sum_{j=1}^n d_j+\cdots+c_n\sum_{j=1}^n d_j\\&=\left(\sum_{i=1}^n c_i\right)\left(\sum_{j=1}^n d_j\right)\end{aligned}이다. 그러므로∑i=1n∑j=1ncidj=(c1+c2+⋯+cn)(d1+d2+⋯+dn)\displaystyle \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n c_id_j=(c_1+c_2+\cdots+c_n)(d_1+d_2+\cdots+d_n)이 성립한다.

(나)함수 f(x)\displaystyle f(x)가 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속이고 F′(x)=f(x)\displaystyle F^{\prime}(x)=f(x)일 때,∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\displaystyle \int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)가 성립한다.

(다)ci≥0\displaystyle c_i\ge0 (i=1,2,…,n\displaystyle i=1,2,\ldots,n)이고 ∑i=1nci=1\displaystyle \sum_{i=1}^n c_i=1일 때, ∑i=1nici\displaystyle \sum_{i=1}^n ic_i의 최댓값은 n\displaystyle n이다.

※ 모든 물음에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

【1-1】자연수 n\displaystyle n과 ∑i=1nai=4\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i=4인 실수 a1,a2,…,an\displaystyle a_1,a_2,\ldots,a_n에 대하여 함수f(x)=x3−54n6+∑i=1n∑j=1n(x−ai)(x−aj)\displaystyle f(x)=x^3-\frac54n^6+\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(x-a_i)(x-a_j)가∫01f′(x)dx=1+n2−n4\displaystyle \int_0^1 f^{\prime}(x)dx=1+n^2-n^4을 만족시킨다.(1) (가)와 (나)를 이용하여 자연수 n\displaystyle n의 값을 구하시오. (20점)(2) 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 극댓값을 구하시오. (15점)(3) 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 x\displaystyle x축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. (15점)

【1-2】실수 b1,b2,…,b15\displaystyle b_1,b_2,\ldots,b_{15}에 대하여 함수g(x)=∑i=115∑j=115bixi+j\displaystyle g(x)=\sum_{i=1}^{15}\sum_{j=1}^{15}b_ix^{i+j}일 때, 다음 물음에 답하시오.(1) bi≥0\displaystyle b_i\ge0 (i=1,2,…,15\displaystyle i=1,2,\ldots,15)이고 ∑i=115bi=1\displaystyle \sum_{i=1}^{15}b_i=1일 때, (가)와 (다)를 이용하여 g′(1)\displaystyle g^{\prime}(1)의 최댓값을 구하시오. (20점)(2) bi=(−1)i\displaystyle b_i=(-1)^i (i=1,2,…,15\displaystyle i=1,2,\ldots,15)일 때, 적분 ∫01(1−x2)g(x)dx\displaystyle \int_0^1(1-x^2)g(x)dx를 이용하여∑i=115∑j=115(−1)i(i+j+1)(i+j+3)\displaystyle \sum_{i=1}^{15}\sum_{j=1}^{15}\frac{(-1)^i}{(i+j+1)(i+j+3)}의 값을 구하는 과정이다.

bi=(−1)i\displaystyle b_i=(-1)^i이므로 (가)를 이용하여 g(x)\displaystyle g(x)를 구하면g(x)={①1−x2(x≠1,−1)−15(x=1,−1)\displaystyle g(x)=\begin{cases}\dfrac{\boxed{\text{①}}}{1-x^2}&(x\ne1,-1)\\-15&(x=1,-1)\end{cases}이다. 그러므로∫01(1−x2)g(x)dx=②\displaystyle \int_0^1(1-x^2)g(x)dx=\boxed{\text{②}}이다. 한편 g(x)=∑i=115∑j=115(−1)ixi+j\displaystyle g(x)=\sum_{i=1}^{15}\sum_{j=1}^{15}(-1)^ix^{i+j}이므로∫01(1−x2)g(x)dx=∑i=115∑j=115(−1)i∫01③ dx=2∑i=115∑j=115(−1)i(i+j+1)(i+j+3)\displaystyle \begin{aligned}\int_0^1(1-x^2)g(x)dx&=\sum_{i=1}^{15}\sum_{j=1}^{15}(-1)^i\int_0^1\boxed{\text{③}}\,dx\\&=2\sum_{i=1}^{15}\sum_{j=1}^{15}\frac{(-1)^i}{(i+j+1)(i+j+3)}\end{aligned}이다. 따라서∑i=115∑j=115(−1)i(i+j+1)(i+j+3)=12×②\displaystyle \sum_{i=1}^{15}\sum_{j=1}^{15}\frac{(-1)^i}{(i+j+1)(i+j+3)}=\frac12\times\boxed{\text{②}}이다.

위의 과정에서 ①, ②, ③에 들어갈 알맞은 식 또는 값을 구하시오. (30점)

해설강의 준비중

경북대 2016학년도 수시 자연계열 I 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2016su/jayeon1_1

+20점

【1-1】(1) ∑i=1nai=4\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i=4이므로 (가)에 의하여f(x)=x3−54n6+∑i=1n∑j=1n(x−ai)(x−aj)=x3−54n6+(nx−∑i=1nai)2=x3−54n6+(nx−4)2\displaystyle \begin{aligned}f(x)&=x^3-\frac54n^6+\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(x-a_i)(x-a_j)\\&=x^3-\frac54n^6+\left(nx-\sum_{i=1}^n a_i\right)^2=x^3-\frac54n^6+(nx-4)^2\end{aligned}이다. 조건과 (나)에 의하여1+n2−n4=∫01f′(x)dx=f(1)−f(0)=1+n2−8n\displaystyle 1+n^2-n^4=\int_0^1 f^{\prime}(x)dx=f(1)-f(0)=1+n^2-8n이므로 n=0\displaystyle n=0 또는 n=2\displaystyle n=2이다. n\displaystyle n은 자연수이므로 n=2\displaystyle n=2이다.[별해] 함수 f(x)\displaystyle f(x)를 미분하면f′(x)=3x2+∑i=1n∑j=1n(2x−ai−aj)=3x2+2x∑i=1n∑j=1n1−n∑i=1nai−n∑j=1naj=3x2+2n2x−8n\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(x)&=3x^2+\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(2x-a_i-a_j)\\&=3x^2+2x\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n1-n\sum_{i=1}^n a_i-n\sum_{j=1}^n a_j\\&=3x^2+2n^2x-8n\end{aligned}이다. 관계식으로부터1+n2−n4=∫01f′(x)dx=∫01(3x2+2n2x−8n)dx=1+n2−8n\displaystyle 1+n^2-n^4=\int_0^1 f^{\prime}(x)dx=\int_0^1(3x^2+2n^2x-8n)dx=1+n^2-8n이므로 n=2\displaystyle n=2이다. n\displaystyle n은 자연수이므로 n=2\displaystyle n=2이다.

+15점

(2) (1)의 결과로부터 f(x)=x3+4(x−2)2−80\displaystyle f(x)=x^3+4(x-2)^2-80이므로f′(x)=3x2+8(x−2)=(3x−4)(x+4)\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2+8(x-2)=(3x-4)(x+4)이다. f′(x)=0\displaystyle f^{\prime}(x)=0이면 x=43, x=−4\displaystyle x=\frac43,\ x=-4이다. f(x)\displaystyle f(x)는 삼차함수이므로 x=−4\displaystyle x=-4에서 극댓값을 갖는다. 그러므로 극댓값은 f(−4)=0\displaystyle f(-4)=0이다.

+15점

(3) 함수 f(x)=x3+4(x−2)2−80\displaystyle f(x)=x^3+4(x-2)^2-80로부터f(x)=x3+4x2−16x−64=(x+4)2(x−4)\displaystyle f(x)=x^3+4x^2-16x-64=(x+4)^2(x-4)이므로 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 x\displaystyle x축과 둘러싸인 부분은∫−44∣f(x)∣dx=∫−44∣x3+4x2−16x−64∣dx=2∫04∣4x2−64∣dx=10243\displaystyle \int_{-4}^4|f(x)|dx=\int_{-4}^4|x^3+4x^2-16x-64|dx=2\int_0^4|4x^2-64|dx=\frac{1024}{3}이다.

【1-2】(가)에 의하여g(x)=∑i=115∑j=115bixi+j=(b1x+b2x2+⋯+b15x15)(x+x2+⋯+x15)\displaystyle g(x)=\sum_{i=1}^{15}\sum_{j=1}^{15}b_ix^{i+j}=(b_1x+b_2x^2+\cdots+b_{15}x^{15})(x+x^2+\cdots+x^{15})이다.

+20점

(1) 함수 g(x)\displaystyle g(x)를 미분하면g′(x)=(b1+2b2+⋯+15b15x14)(x+x2+⋯+x15)+(b1x+b2x2+⋯+b15x15)(1+2x+⋯+15x14)\displaystyle \begin{aligned}g^{\prime}(x)&=(b_1+2b_2+\cdots+15b_{15}x^{14})(x+x^2+\cdots+x^{15})\\&\quad+(b_1x+b_2x^2+\cdots+b_{15}x^{15})(1+2x+\cdots+15x^{14})\end{aligned}Correction. 미분식의 2b2\displaystyle 2b_2는 2b2x\displaystyle 2b_2x의 오기다. b2x2\displaystyle b_2x^2를 미분하면 2b2x\displaystyle 2b_2x가 된다. x=1\displaystyle x=1을 대입한 이후의 계산과 최댓값 345에는 영향이 없다. 원문 표기는 그대로 실었다.이므로 g′(1)=15∑i=115ibi+120∑i=115bi=15∑i=115ibi+120\displaystyle g^{\prime}(1)=15\sum_{i=1}^{15}ib_i+120\sum_{i=1}^{15}b_i=15\sum_{i=1}^{15}ib_i+120이다. (다)에 의하여 g′(1)\displaystyle g^{\prime}(1)의 최댓값은 152+120\displaystyle 15^2+120, 즉 345\displaystyle 345이다.

+30점

(2)(가)를 이용하여 g(x)\displaystyle g(x)를 구하면g(x)=∑i=115∑j=115(−1)ixi+j={−x+(−x)2+⋯+(−x)15}(x+x2+⋯+x15)={−x2+x321−x2(x≠1,−1)−15(x=1,−1)\displaystyle \begin{aligned}g(x)&=\sum_{i=1}^{15}\sum_{j=1}^{15}(-1)^ix^{i+j}=\{-x+(-x)^2+\cdots+(-x)^{15}\}(x+x^2+\cdots+x^{15})\\&=\begin{cases}\dfrac{\boxed{-x^2+x^{32}}}{1-x^2}&(x\ne1,-1)\\-15&(x=1,-1)\end{cases}\end{aligned}이므로 (1−x2)g(x)={x32−x2(x≠1,−1)0(x=1,−1)\displaystyle (1-x^2)g(x)=\begin{cases}x^{32}-x^2&(x\ne1,-1)\\0&(x=1,-1)\end{cases}이다. 그러므로∫01(1−x2)g(x)dx=∫01x32−x2 dx=−1033\displaystyle \int_0^1(1-x^2)g(x)dx=\int_0^1\boxed{x^{32}-x^2}\,dx=\boxed{-\frac{10}{33}}이다. 한편 g(x)=∑i=1n∑j=1n(−1)ixi+j\displaystyle g(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(-1)^ix^{i+j}이므로Correction. “한편” 다음 식의 두 합의 상한 n\displaystyle n은 모두 15\displaystyle 15의 오기다. 앞서 정의한 g(x)\displaystyle g(x)와 바로 다음 적분식의 두 합은 상한이 모두 15이다. 원문 표기는 그대로 실었다.∫01(1−x2)g(x)dx=∑i=115∑j=115(−1)i∫01(1−x2)xi+j dx=∑i=115∑j=1152×(−1)i(i+j+1)(i+j+3)\displaystyle \begin{aligned}\int_0^1(1-x^2)g(x)dx&=\sum_{i=1}^{15}\sum_{j=1}^{15}(-1)^i\int_0^1\boxed{(1-x^2)x^{i+j}}\,dx\\&=\sum_{i=1}^{15}\sum_{j=1}^{15}\frac{2\times(-1)^i}{(i+j+1)(i+j+3)}\end{aligned}이다. 따라서∑i=115∑j=115(−1)i(i+j+1)(i+j+3)=12×−1033\displaystyle \sum_{i=1}^{15}\sum_{j=1}^{15}\frac{(-1)^i}{(i+j+1)(i+j+3)}=\frac12\times\boxed{-\frac{10}{33}}이다.따라서 ①=x32−x2\displaystyle =x^{32}-x^2, ②=−1033\displaystyle =-\frac{10}{33}, ③=(1−x2)xi+j\displaystyle =(1-x^2)x^{i+j}이다.

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