자연계열 I 1번

【1-1】(1) $\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i=4$이므로 (가)에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}f(x)&=x^3-\frac54n^6+\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(x-a_i)(x-a_j)\\&=x^3-\frac54n^6+\left(nx-\sum_{i=1}^n a_i\right)^2=x^3-\frac54n^6+(nx-4)^2\end{aligned}$이다. 조건과 (나)에 의하여$\displaystyle 1+n^2-n^4=\int_0^1 f^{\prime}(x)dx=f(1)-f(0)=1+n^2-8n$이므로 $\displaystyle n=0$ 또는 $\displaystyle n=2$이다. $\displaystyle n$은 자연수이므로 $\displaystyle n=2$이다.[별해] 함수 $\displaystyle f(x)$를 미분하면$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(x)&=3x^2+\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(2x-a_i-a_j)\\&=3x^2+2x\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n1-n\sum_{i=1}^n a_i-n\sum_{j=1}^n a_j\\&=3x^2+2n^2x-8n\end{aligned}$이다. 관계식으로부터$\displaystyle 1+n^2-n^4=\int_0^1 f^{\prime}(x)dx=\int_0^1(3x^2+2n^2x-8n)dx=1+n^2-8n$이므로 $\displaystyle n=2$이다. $\displaystyle n$은 자연수이므로 $\displaystyle n=2$이다.

(2) (1)의 결과로부터 $\displaystyle f(x)=x^3+4(x-2)^2-80$이므로$\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2+8(x-2)=(3x-4)(x+4)$이다. $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$이면 $\displaystyle x=\frac43,\ x=-4$이다. $\displaystyle f(x)$는 삼차함수이므로 $\displaystyle x=-4$에서 극댓값을 갖는다. 그러므로 극댓값은 $\displaystyle f(-4)=0$이다.

(3) 함수 $\displaystyle f(x)=x^3+4(x-2)^2-80$로부터$\displaystyle f(x)=x^3+4x^2-16x-64=(x+4)^2(x-4)$이므로 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle x$축과 둘러싸인 부분은$\displaystyle \int_{-4}^4|f(x)|dx=\int_{-4}^4|x^3+4x^2-16x-64|dx=2\int_0^4|4x^2-64|dx=\frac{1024}{3}$이다.

(1) 함수 $\displaystyle g(x)$를 미분하면$\displaystyle \begin{aligned}g^{\prime}(x)&=(b_1+2b_2+\cdots+15b_{15}x^{14})(x+x^2+\cdots+x^{15})\\&\quad+(b_1x+b_2x^2+\cdots+b_{15}x^{15})(1+2x+\cdots+15x^{14})\end{aligned}$Correction. 미분식의 $\displaystyle 2b_2$는 $\displaystyle 2b_2x$의 오기다. $\displaystyle b_2x^2$를 미분하면 $\displaystyle 2b_2x$가 된다. $\displaystyle x=1$을 대입한 이후의 계산과 최댓값 345에는 영향이 없다. 원문 표기는 그대로 실었다.이므로 $\displaystyle g^{\prime}(1)=15\sum_{i=1}^{15}ib_i+120\sum_{i=1}^{15}b_i=15\sum_{i=1}^{15}ib_i+120$이다. (다)에 의하여 $\displaystyle g^{\prime}(1)$의 최댓값은 $\displaystyle 15^2+120$, 즉 $\displaystyle 345$이다.

(2)(가)를 이용하여 $\displaystyle g(x)$를 구하면$\displaystyle \begin{aligned}g(x)&=\sum_{i=1}^{15}\sum_{j=1}^{15}(-1)^ix^{i+j}=\{-x+(-x)^2+\cdots+(-x)^{15}\}(x+x^2+\cdots+x^{15})\\&=\begin{cases}\dfrac{\boxed{-x^2+x^{32}}}{1-x^2}&(x\ne1,-1)\\-15&(x=1,-1)\end{cases}\end{aligned}$이므로 $\displaystyle (1-x^2)g(x)=\begin{cases}x^{32}-x^2&(x\ne1,-1)\\0&(x=1,-1)\end{cases}$이다. 그러므로$\displaystyle \int_0^1(1-x^2)g(x)dx=\int_0^1\boxed{x^{32}-x^2}\,dx=\boxed{-\frac{10}{33}}$이다. 한편 $\displaystyle g(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(-1)^ix^{i+j}$이므로Correction. “한편” 다음 식의 두 합의 상한 $\displaystyle n$은 모두 $\displaystyle 15$의 오기다. 앞서 정의한 $\displaystyle g(x)$와 바로 다음 적분식의 두 합은 상한이 모두 15이다. 원문 표기는 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^1(1-x^2)g(x)dx&=\sum_{i=1}^{15}\sum_{j=1}^{15}(-1)^i\int_0^1\boxed{(1-x^2)x^{i+j}}\,dx\\&=\sum_{i=1}^{15}\sum_{j=1}^{15}\frac{2\times(-1)^i}{(i+j+1)(i+j+3)}\end{aligned}$이다. 따라서$\displaystyle \sum_{i=1}^{15}\sum_{j=1}^{15}\frac{(-1)^i}{(i+j+1)(i+j+3)}=\frac12\times\boxed{-\frac{10}{33}}$이다.따라서 ①$\displaystyle =x^{32}-x^2$, ②$\displaystyle =-\frac{10}{33}$, ③$\displaystyle =(1-x^2)x^{i+j}$이다.