자연계열 II 2번

【2-1】점화식의 보조 방정식 $\displaystyle x^2-x-1=0$의 두 근은 $\displaystyle \alpha=\frac{1+\sqrt5}{2},\ \beta=\frac{1-\sqrt5}{2}$이므로, 일반항$\displaystyle a_n$은 $\displaystyle a_n=A\alpha^n+B\beta^n$ ($\displaystyle A,B\in\text{상수}$)이다.$\displaystyle a_0=A+B=0,\ a_1=A\alpha+B\beta=1$이므로, $\displaystyle (\alpha-\beta)B=-1$, $\displaystyle B=\frac{1}{\beta-\alpha}$, $\displaystyle A=-B=\frac{1}{\alpha-\beta}=\frac{1}{\frac{1+\sqrt5}{2}-\frac{1-\sqrt5}{2}}=\frac{1}{\sqrt5}$이다.따라서, $\displaystyle a_n=A\alpha^n+(-A)\beta^n=A(\alpha^n-\beta^n)=A\left[\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n\right]=\frac{1}{\sqrt5}\left[\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n\right]$이다.

따라서, 이길 확률= $\displaystyle 3/9=1/3$; 비길 확률= $\displaystyle 3/9=1/3$; 질 확률= $\displaystyle 3/9=1/3$.

(2) 현재 성태가 $\displaystyle n$만원을 가지고 있을 때, 세림과 가위 바위 보 게임을 한 게임하면 비기는 경우, 이기는 경우, 지는 경우 의 세 경우가 생기며 세 사건은 배반 사건이다.따라서, [제시문 3]과 [물음 2-1]에 의하여,(가) $\displaystyle p_n=\frac13p_n+\frac13p_{n+1}+\frac13p_{n-1}$, 즉, $\displaystyle 2p_n=p_{n+1}+p_{n-1}$이다.

보조방정식은(나) $\displaystyle \frac13x^2-\frac23x+\frac13=0$, 즉, $\displaystyle x^2-2x+1=0$이다. $\displaystyle (x-1)^2=0$이므로, $\displaystyle p_n=F+nG$이다.

$\displaystyle 0=p_0=F,\ 1=p_1=F+10G$에서, $\displaystyle G=1/10$이다.(다) $\displaystyle p_n=n/10$이다.

$\displaystyle p_4=$(라) $\displaystyle \frac4{10}=\frac25$

【2-3】나은이의 주가가 $\displaystyle n$만원 일 때, 주가가 19만원 되어 팔기 전에 주가가 30만원이 될 확률을 $\displaystyle p_n$하자.오늘의 주가가 $\displaystyle n$ ($\displaystyle n\ge21$)만원일 때 내일의 주가가 $\displaystyle (n+1)$만원일 사건과 내일의 주가가 $\displaystyle (n-1)$만원일 사건은 서로 배반사건이며, 오늘의 주가가 $\displaystyle n$만원일 때 내일의 주가가 $\displaystyle (n+1)$만원일 확률은 $\displaystyle \frac13$이며 내일의 주가가 $\displaystyle (n-1)$만원일 확률은 $\displaystyle \frac23$이다.따라서, [제시문 2]에 의하여 $\displaystyle p_n=$[주가가 $\displaystyle (n+1)$만원 될 확률]$\displaystyle \times$[주가가$\displaystyle n+1$만원일 때, 주가가19만원 되어 팔기 전에 주가가30만원이 될 확률] +[주가가 $\displaystyle (n-1)$만원 될 확률]$\displaystyle \times$[주가가$\displaystyle n-1$만원일 때, 주가가19만원 되어 팔기 전에 주가가30만원이 될 확률]$\displaystyle =\frac13p_{n+1}+\frac23p_{n-1}$이다.수열 $\displaystyle a_0,a_1,\ldots,a_{10}$을 $\displaystyle a_0=p_{20},\ a_1=p_{21},\ a_2=p_{22},\ \ldots,\ a_{10}=p_{30}$라고 하자.그러면, $\displaystyle a_{10}=1$이며, $\displaystyle a_1$을 구하여야 한다. $\displaystyle \mu:=a_1$라고 두자.점화식$\displaystyle a_k=\frac13a_{k+1}+\frac23a_{k-1}$ ($\displaystyle k=1,2,3,\ldots9$)의 보조방정식 $\displaystyle x^2-3x+2=0$의 두 근은 1과 2 이므로, [제시문 1]에 의하여, $\displaystyle a_k=A+2^kB$이다.그런데, $\displaystyle a_1=A+2B=\mu,\ a_{10}=A+2^{10}B=1$이며,한편 $\displaystyle A+B=p_{20}=\frac12p_{19}+\frac12p_{21}=\frac12a_1=\frac12\mu$이므로, $\displaystyle B=\frac12\mu$, $\displaystyle A=0$, $\displaystyle B=\frac{1}{2^{10}}$이다.따라서, $\displaystyle p_{21}=a_1=\mu=A+2B=0+2\times\frac{1}{2^{10}}=\frac{1}{2^9}=\frac{1}{512}$.(별해) 나은이의 주가가 $\displaystyle n$만원 일 때, 주가가 19만원 되어 팔기 전에 주가가 30만원이 될 확률을 $\displaystyle p_n$하자. 그러면, $\displaystyle p_{19}=0,\ p_{30}=1$$\displaystyle p_{20}=\frac12p_{19}+\frac12p_{21}=\frac12p_{21}$.　$\displaystyle p_{21}=\frac23p_{20}+\frac13p_{22}$,　$\displaystyle p_{22}=\frac23p_{21}+\frac13p_{23}$,　$\displaystyle p_{23}=\frac23p_{22}+\frac13p_{24}$,　$\displaystyle p_{24}=\frac23p_{23}+\frac13p_{25}$,　$\displaystyle p_{25}=\frac23p_{204}+\frac13p_{26}$$\displaystyle p_{26}=\frac23p_{25}+\frac13p_{27}$, $\displaystyle p_{27}=\frac23p_{26}+\frac13p_{28}$, $\displaystyle p_{28}=\frac23p_{27}+\frac13p_{29}$, $\displaystyle p_{29}=\frac23p_{28}+\frac13p_{30}=\frac23p_{28}+\frac13$첫째식을 둘째식에 대입하면, $\displaystyle p_{21}=\frac12p_{22}$이다. 이것을 세 번째 식에 대입하면, $\displaystyle p_{22}=\frac12p_{23}$이다. 이런식으로 계속 대입해나가면, $\displaystyle p_{29}=\frac12p_{30}=\frac12$이므로, $\displaystyle p_{21}=\frac12p_{22}=\frac{1}{2^9}=\frac{1}{512}$이다.