자연계열 II 1번

【1-1】(1) $\displaystyle x_1=1,\ x_2=\sqrt2x,\ y_1=2,\ y_2=\frac{\sqrt2y}{x}$인 벡터에 대하여 (가)의 코시-슈바르츠 부등식을 활용하면$\displaystyle \left(2+2x\times\frac{y}{x}\right)^2\le(1+2x^2)\left(4+2\times\frac{y^2}{x^2}\right)$이므로 $\displaystyle 2(1+y)^2\le(1+2x^2)\left(2+\frac{y^2}{x^2}\right)$이다.

(2) (1)의 등식이 성립할 경우는 벡터 $\displaystyle \vec{c}$와 $\displaystyle \vec{d}$가 평행일 때이므로 적절한 실수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle \left(2,\frac{y}{x}\right)=k(1,x)$가 성립한다. 그러므로 $\displaystyle k=2,\ y=2x^2$이다.

(3) $\displaystyle y=2x^2$의 그래프 위의 두 점 $\displaystyle \mathrm{A},\ \mathrm{B}$는 $\displaystyle \mathrm{A}=(0,0),\ \mathrm{B}=(1,2)$이다. 그러므로 두 점 $\displaystyle \mathrm{A},\ \mathrm{B}$를 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=2x$.한편, $\displaystyle y=2x^2$으로부터 도함수는 $\displaystyle y^{\prime}=4x$이므로 접선의 기울기가 2가 되는 접점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \frac12$이다. 즉, 접점은 $\displaystyle \left(\frac12,\frac12\right)$. 접점으로부터 두 점 $\displaystyle \mathrm{A},\ \mathrm{B}$를 지나는 직선의 방정식까지의 거리 $\displaystyle d$는　$\displaystyle d=\frac{\left|2\times\frac12-\frac12\right|}{\sqrt5}=\frac{1}{2\sqrt5}$. $\displaystyle \therefore\triangle\mathrm{ABC}$의 넓이는 $\displaystyle \frac14$이다.

【1-2】(1) $\displaystyle \mathrm{Q}$의 $\displaystyle xy$좌표는 $\displaystyle k(a,b)=(x,y)$ ($\displaystyle k>0$). 그런데 $\displaystyle x^2+y^2=1$이므로 $\displaystyle k^2(a^2+b^2)=1$. 한편 $\displaystyle k>0$이므로 $\displaystyle k=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}$$\displaystyle \therefore\ \mathrm{Q}=\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},c\right)$.

(2) 원기둥 $\displaystyle S=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2=1,-1<z<1\}$을 펼치면 가로가 $\displaystyle 2\pi$이고 세로가 2인 직사각형 모양이다. 이때 $\displaystyle C$는 다음 그림과 같다. 그러므로 넓이는 $\displaystyle \frac{\sqrt3}{12}\pi$이다.