경북대 2017학년도 모의 자연계열 I 1번 해설

[1] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

【제시문 1】(1) 두 사건 $\displaystyle A,B$ 에 대해서, 사건 $\displaystyle A$ 가 일어나는 확률을 $\displaystyle \mathrm{P}(A)$ , 사건 $\displaystyle B$ 가 일어나는 확률을 $\displaystyle \mathrm{P}(B)$ , 두 사건 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 가 동시에 일어나는 확률을 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)$ 그리고 사건 $\displaystyle A$ 또는 사건 $\displaystyle B$ 가 일어나는 확률을 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cup B)$ 라고 하자. 이 때 다음과 같은 관계식이 성립한다. $\displaystyle \mathrm{P}(A\cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)-\mathrm{P}(A\cap B)$ (2) 사건 $\displaystyle A$ 에 대해서, 여사건 $\displaystyle A^c$ 는 사건 $\displaystyle A$ 가 일어나지 않는 사건으로 $\displaystyle A\cap A^c=\varnothing$ 를 만족하고, 그 확률은 $\displaystyle \mathrm{P}(A^c)=1-\mathrm{P}(A)$ 과 같이 구해진다.(3) 두 사건 $\displaystyle A,B$ 가 서로 독립이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)=\mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B)$ 이다.(4) 두 사건 $\displaystyle A,B$ 에 대하여, $\displaystyle A\cap B=\varnothing$ 일 때, 두 사건 $\displaystyle A,B$ 가 서로 배반이라고 정의한다. 두 사건 $\displaystyle A,B$ 가 서로 배반일 때, $\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)=0$ 이다.(5) 두 사건 $\displaystyle A,B$ 에 대하여, 사건 $\displaystyle A$ 가 일어났을 때, 사건 $\displaystyle B$ 가 일어날 확률을 사건 $\displaystyle A$ 가 일어났을 때의 사건 $\displaystyle B$ 의 조건부 확률이라 하고 다음과 같이 정의한다. $\displaystyle \mathrm{P}(B\mid A)=\frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(A)}$ 단, $\displaystyle \mathrm{P}(A)>0$ 이다.

【제시문 2】다음과 같은 게임을 고려해 보자. 6개의 상자에 1부터 6까지의 번호가 각각 적혀있다고 하자. 각 상자마다 10개의 공이 들어 있고 그 상자에 들어 있는 흰 공의 개수는 상자의 번호와 같다. 먼저 주사위를 던져 얻어지는 눈의 수와 같은 번호의 상자를 택하고, 다음에는 선택된 상자에서 한 개의 공을 꺼낸다.

【제시문 3】세 점 $\displaystyle A,B,C$ 가 수직선 위에 왼쪽부터 나란히 $\displaystyle A,B,C$ 의 순서로 나열되어 있을 때, 다음과 같은 게임을 고려하자. $\displaystyle A$ 를 출발점으로 하여 동전을 던져서 앞면이 나오면 인접한 오른쪽 점으로 이동하고 뒷면이 나오면 인접한 왼쪽 점으로 이동한다. 단, $\displaystyle A$ 에서 뒷면이 나오면 이동하지 않고, 일단 $\displaystyle C$ 에 도착하면 어느 경우에도 이동하지 않는다.

※ 모든 물음에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

【물음 1】【제시문 1】을 이용하여 다음의 물음에 답하시오.(1) 두 사건 $\displaystyle A,B$ 가 서로 배반이라고 가정하자. 사건 $\displaystyle A$ 가 일어날 확률이 사건 $\displaystyle B$ 가 일어날 확률의 2배이고, $\displaystyle \mathrm{P}(A\cup B)=\frac13$ 일 때, $\displaystyle \mathrm{P}(A)$ 의 값을 구하시오. 그리고 이 두 사건 $\displaystyle A,B$ 가 서로 독립인지를 설명하시오. (30점)(2) 두 사건 $\displaystyle A,B$ 가 서로 독립이라고 가정하자. $\displaystyle \mathrm{P}(A^c\cap B)=\frac12$ 이고 $\displaystyle \mathrm{P}(A^c\cap B^c)=\frac16$ 일 때, $\displaystyle \mathrm{P}(B)$ 의 값을 구하시오. (20점)(3) 두 사건 $\displaystyle A,B$ 에 대하여 사건 $\displaystyle A$ 가 일어날 확률이 $\displaystyle \frac35$ 이고 사건 $\displaystyle B$ 가 일어날 확률이 $\displaystyle \frac7{10}$ 일 때, $\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)$ 의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오. (20점)

【물음 2】【제시문 2】에서 제안한 게임을 할 때,(1) 게임에서 꺼낸 공이 흰 공일 확률을 구하시오. (20점)(2) 게임에서 꺼낸 공이 흰 공일 때, 그 공이 3번 상자에서 꺼낸 공일 확률을 【제시문 1】을 이용하여 구하시오. (20점)

【물음 3】【제시문 3】에서 제안한 게임을 할 때, 동전을 5번 던져서 $\displaystyle A$ 에 있을 확률과 $\displaystyle C$ 에 있을 확률을 각각 구하시오. (40점)

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[물음 1](1) 두 사건 $\displaystyle A,B$ 가 서로 배반이므로 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)$ 이다. $\displaystyle \mathrm{P}(A)$ 를 $\displaystyle x$ 라고 두면 $\displaystyle \mathrm{P}(B)$ 는 $\displaystyle \frac x2$ 이고, $\displaystyle \mathrm{P}(A\cup B)=\frac13$ 이므로 $\displaystyle x+\frac x2=\frac13$ 을 만족한다. 그러므로 $\displaystyle \mathrm{P}(A)=\frac29$ 이다. 두 사건 $\displaystyle A,B$ 가 서로 배반이므로 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)=0$ 이다. $\displaystyle 0=\mathrm{P}(A\cap B)\ne\mathrm{P}(A)\times\mathrm{P}(B)=\frac29\times\frac19$ 이므로 두 사건 $\displaystyle A,B$ 는 독립이 아니다.

(2) 두 사건 $\displaystyle A,B$ 가 서로 독립이므로 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)=\mathrm{P}(A)\times\mathrm{P}(B)$ 이다. $\displaystyle \mathrm{P}(A^c\cap B)=\frac12$ 이고 $\displaystyle \mathrm{P}(A^c\cap B^c)=\frac16$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cup B)=1-\frac16=\frac56$ 이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{P}(A)=\frac56-\frac12=\frac13$ 이다. $\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)$ 를 $\displaystyle x$ 라고 두면 $\displaystyle \mathrm{P}(B)=\frac12+x$ 이고 $\displaystyle x=\mathrm{P}(A\cap B)=\mathrm{P}(A)\times\mathrm{P}(B)=\frac13\times\left(\frac12+x\right)$ 를 만족하므로 $\displaystyle x=\frac14$ 이다. 그러므로 $\displaystyle \mathrm{P}(B)=\frac12+\frac14=\frac34$ 이다.

(3) $\displaystyle \mathrm{P}(A)=0.6$ 이고 $\displaystyle \mathrm{P}(B)=0.7$ 이며 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)-\mathrm{P}(A\cup B)$ 를 만족한다. $\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)$ 는 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cup B)$ 가 최대가 될 때 최소가 되고 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cup B)$ 가 최소일 때 최대가 되므로 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cup B)$ 의 최댓값은 1이고 최솟값은 0.7이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)$ 의 최댓값은 0.6이고 최솟값은 0.3이다.

[물음 2](1) 게임에서 꺼낸 공이 흰 공인 사건을 $\displaystyle A$ 라고 할 때 $\displaystyle \mathrm{P}(A)$ 는 1번 상자가 선택되고 그 상자에서 흰 공을 꺼낼 확률, 2번 상자가 선택되고 그 상자에서 흰 공을 꺼낼 확률, … 그리고 6번 상자가 선택되고 그 상자에서 흰 공을 꺼낼 확률의 합으로 구해진다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{P}(A)=\frac16\times\frac1{10}+\frac16\times\frac2{10}+\cdots+\frac16\times\frac6{10}=\frac16\times\frac{21}{10}=\frac7{20}$ 이다.

(2) 3번 상자가 선택되는 사건을 $\displaystyle B$ 라고 하자. 게임에서 꺼낸 공이 흰 공일 때, 그 공이 3번 상자에서 꺼낸 공일 확률은 조건부 확률인 $\displaystyle \mathrm{P}(B\mid A)=\frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(A)}=\frac{\frac16\times\frac3{10}}{\frac7{20}}=\frac17$ 이다.

[물음 3]【제시문 3】에서 제안한 게임에서 동전을 5번 던져서 $\displaystyle A$ 에 있기 위해서는 반드시 5번째에는 뒷면이 나와야 한다. 가능한 16가지 경우 중 4번째 동전을 던진 후에 $\displaystyle A$ 또는 $\displaystyle B$ 에 있으면 되므로 다음의 8가지 경우가 해당한다.뒷면이 없는 경우 : 없음뒷면이 1번 있는 경우 : 없음뒷면이 2번 있는 경우 : $\displaystyle {HTHT,HTTH,THTH}$ 3뒷면이 3번 있는 경우 : $\displaystyle {HTTT,THTT,TTHT,TTTH}$ 4뒷면이 4번 있는 경우 : $\displaystyle {TTTT}$ 1여기에서 동전이 앞면이 나오는 사건은 $\displaystyle H$ 이고 뒷면이 나오는 사건은 $\displaystyle T$ 라고 나타낸다. 따라서 동전을 5번 던져서 $\displaystyle A$ 에 있을 확률은 $\displaystyle 8\times\frac1{32}=\frac8{32}=\frac14$ 이다. 동전을 5번 던져서 $\displaystyle B$ 에 있기 위해서는 반드시 4번째에는 뒷면이 나오고 5번째에는 앞면이 나와야한다. 그리고 가능한 8가지 경우 중 3번째 동전을 던진 후에 $\displaystyle A$ 또는 $\displaystyle B$ 에 있으면 되므로 다음의 5가지 경우가 해당한다.뒷면이 없는 경우 : 없음뒷면이 1번 있는 경우 : $\displaystyle {HTH}$ 1뒷면이 2번 있는 경우 : $\displaystyle {HTT,THT,TTH}$ 3뒷면이 3번 있는 경우 : $\displaystyle {TTT}$ 1그러므로 동전을 5번 던져서 $\displaystyle B$ 에 있을 확률은 $\displaystyle 5\times\frac1{32}=\frac5{32}$ 이다. 따라서 동전을 5번 던져서 $\displaystyle C$ 에 있을 확률은 $\displaystyle 1-\frac8{32}-\frac5{32}=\frac{19}{32}$ 이다.

문항	채점기준	배점
물음 1 (1)	제시문에 의해 조건을 이용하여 $\displaystyle \mathrm{P}(A)$ 를 구하면	15점
물음 1 (1)	두 사건이 독립이 아님을 증명하면	15점
물음 1 (2)	조건으로부터 $\displaystyle \mathrm{P}(A)$ 를 구하면	10점
물음 1 (2)	두 사건이 독립임을 이용하여 $\displaystyle \mathrm{P}(B)$ 를 구하면	10점
물음 1 (3)	조건으로부터 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)$ 의 최솟값을 구하면	10점
물음 1 (3)	$\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)$ 의 최댓값을 구하면	10점
물음 2 (1)	게임의 규칙을 이해하여 각 상자에서 흰공을 꺼낼 확률을 이용하여 모든 경우의 수에 의한 확률을 모두 합하여 $\displaystyle \mathrm{P}(A)$ 를 구하면	20점
물음 2 (2)	문제를 이해하고 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)$ 를 구하면	10점
물음 2 (2)	조건부 확률 공식을 이용하여 조건부 확률 $\displaystyle \mathrm{P}(B\mid A)$ 를 구하면	10점
물음 3	문제를 이해하고 동전을 5번 던져서 $\displaystyle A$ 에 있을 확률을 구하면	20점
물음 3	문제를 이해하고 동전을 5번 던져서 $\displaystyle B$ 에 있을 확률을 구하면	10점
물음 3	$\displaystyle A$ 에 있을 확률과 $\displaystyle B$ 에 있을 확률을 이용하여 $\displaystyle C$ 에 있을 확률을 구하면	10점
물음 3	또는 $\displaystyle B$ 에 있을 확률을 구하지 않고 $\displaystyle C$ 에 있을 확률을 직접 구하면	20점
부분 점수	단, 확률을 계산하지 못했지만 다음을 언급한 경우에는 부분 점수를 준다.
부분 점수	각 확률에 대해서 동전을 5번 던져서 $\displaystyle A$ 에 있기 위해서는 반드시 5번째에는 뒷면이 나와야 한다.	10점
부분 점수	각 확률에 대해서 동전을 5번 던져서 $\displaystyle B$ 에 있기 위해서는 반드시 4번째에는 뒷면이 나오고 5번째에는 앞면이 나와야한다.	10점

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자연계열 I 1번

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