자연계열 I 1번

[물음 1](1) 두 사건 $\displaystyle A,B$가 서로 배반이므로 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)$이다. $\displaystyle \mathrm{P}(A)$를 $\displaystyle x$라고 두면 $\displaystyle \mathrm{P}(B)$는 $\displaystyle \frac x2$이고, $\displaystyle \mathrm{P}(A\cup B)=\frac13$이므로 $\displaystyle x+\frac x2=\frac13$을 만족한다. 그러므로 $\displaystyle \mathrm{P}(A)=\frac29$이다. 두 사건 $\displaystyle A,B$가 서로 배반이므로 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)=0$이다. $\displaystyle 0=\mathrm{P}(A\cap B)\ne\mathrm{P}(A)\times\mathrm{P}(B)=\frac29\times\frac19$이므로 두 사건 $\displaystyle A,B$는 독립이 아니다.

(2) 두 사건 $\displaystyle A,B$가 서로 독립이므로 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)=\mathrm{P}(A)\times\mathrm{P}(B)$이다. $\displaystyle \mathrm{P}(A^c\cap B)=\frac12$이고 $\displaystyle \mathrm{P}(A^c\cap B^c)=\frac16$이므로 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cup B)=1-\frac16=\frac56$이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{P}(A)=\frac56-\frac12=\frac13$이다. $\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)$를 $\displaystyle x$라고 두면 $\displaystyle \mathrm{P}(B)=\frac12+x$이고 $\displaystyle x=\mathrm{P}(A\cap B)=\mathrm{P}(A)\times\mathrm{P}(B)=\frac13\times\left(\frac12+x\right)$를 만족하므로 $\displaystyle x=\frac14$이다. 그러므로 $\displaystyle \mathrm{P}(B)=\frac12+\frac14=\frac34$이다.

(3) $\displaystyle \mathrm{P}(A)=0.6$이고 $\displaystyle \mathrm{P}(B)=0.7$이며 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)-\mathrm{P}(A\cup B)$를 만족한다. $\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)$는 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cup B)$가 최대가 될 때 최소가 되고 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cup B)$가 최소일 때 최대가 되므로 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cup B)$의 최댓값은 1이고 최솟값은 0.7이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)$의 최댓값은 0.6이고 최솟값은 0.3이다.

[물음 2](1) 게임에서 꺼낸 공이 흰 공인 사건을 $\displaystyle A$라고 할 때 $\displaystyle \mathrm{P}(A)$는 1번 상자가 선택되고 그 상자에서 흰 공을 꺼낼 확률, 2번 상자가 선택되고 그 상자에서 흰 공을 꺼낼 확률, … 그리고 6번 상자가 선택되고 그 상자에서 흰 공을 꺼낼 확률의 합으로 구해진다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{P}(A)=\frac16\times\frac1{10}+\frac16\times\frac2{10}+\cdots+\frac16\times\frac6{10}=\frac16\times\frac{21}{10}=\frac7{20}$이다.

(2) 3번 상자가 선택되는 사건을 $\displaystyle B$라고 하자. 게임에서 꺼낸 공이 흰 공일 때, 그 공이 3번 상자에서 꺼낸 공일 확률은 조건부 확률인 $\displaystyle \mathrm{P}(B\mid A)=\frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(A)}=\frac{\frac16\times\frac3{10}}{\frac7{20}}=\frac17$이다.

[물음 3]【제시문 3】에서 제안한 게임에서 동전을 5번 던져서 $\displaystyle A$에 있기 위해서는 반드시 5번째에는 뒷면이 나와야 한다. 가능한 16가지 경우 중 4번째 동전을 던진 후에 $\displaystyle A$ 또는 $\displaystyle B$에 있으면 되므로 다음의 8가지 경우가 해당한다.뒷면이 없는 경우 : 없음뒷면이 1번 있는 경우 : 없음뒷면이 2번 있는 경우 : $\displaystyle {HTHT,HTTH,THTH}$ 3뒷면이 3번 있는 경우 : $\displaystyle {HTTT,THTT,TTHT,TTTH}$ 4뒷면이 4번 있는 경우 : $\displaystyle {TTTT}$ 1여기에서 동전이 앞면이 나오는 사건은 $\displaystyle H$이고 뒷면이 나오는 사건은 $\displaystyle T$라고 나타낸다. 따라서 동전을 5번 던져서 $\displaystyle A$에 있을 확률은 $\displaystyle 8\times\frac1{32}=\frac8{32}=\frac14$이다. 동전을 5번 던져서 $\displaystyle B$에 있기 위해서는 반드시 4번째에는 뒷면이 나오고 5번째에는 앞면이 나와야한다. 그리고 가능한 8가지 경우 중 3번째 동전을 던진 후에 $\displaystyle A$ 또는 $\displaystyle B$에 있으면 되므로 다음의 5가지 경우가 해당한다.뒷면이 없는 경우 : 없음뒷면이 1번 있는 경우 : $\displaystyle {HTH}$ 1뒷면이 2번 있는 경우 : $\displaystyle {HTT,THT,TTH}$ 3뒷면이 3번 있는 경우 : $\displaystyle {TTT}$ 1그러므로 동전을 5번 던져서 $\displaystyle B$에 있을 확률은 $\displaystyle 5\times\frac1{32}=\frac5{32}$이다. 따라서 동전을 5번 던져서 $\displaystyle C$에 있을 확률은 $\displaystyle 1-\frac8{32}-\frac5{32}=\frac{19}{32}$이다.