자연계열 II 1번

[물음 1]【제시문 1】에 의하여$\displaystyle f(x)=1-x+x^2-x^3+\cdots+x^8-x^9=\frac{1-x^{10}}{1+x}$이다.

(1) $\displaystyle x=2$를 대입하면 $\displaystyle f(2)=\frac13(1-2^{10})=-341$이다.

(2) $\displaystyle F(x)=(1+x)^2f(x)=(1+x)(1-x^{10})$이므로$\displaystyle (1+x)(1-x^{10})=(x-2)^2Q(x)+ax+b$이다. 이 식에 $\displaystyle x=2$를 대입하면$\displaystyle 3(1-2^{10})=2a+b$이다. 한편 위 식의 양변을 미분하면$\displaystyle 1-10x^9-11x^{10}=(x-2)\{2Q(x)+(x-2)Q^{\prime}(x)\}+a$이므로 $\displaystyle x=2$를 대입하면 $\displaystyle a=1-10\times2^9-11\times2^{10}=1-2^{14}$이다. 그러므로$\displaystyle b=3-3\times2^{10}-2+2^{15}=1+29\times2^{10}$이다.

[물음 2]풀이 과정에서 $\displaystyle a=1,\ b=-1,\ \text{(가)}=2n$이다.

[물음 3](1) 【제시문 3】에 의하여$\displaystyle I=\int_0^1\frac1{1+x}dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac1{1+\frac kn}\frac1n=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac1{n+k}$이므로 $\displaystyle \square=k$이다.

(2) $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n\frac1{n+k}$라 하면 $\displaystyle S_n=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{2n}$이다. 따라서$\displaystyle S_n=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{2n}\ge\frac1{2n}+\frac1{2n}+\cdots+\frac1{2n}=n\times\frac1{2n}=\frac12$이고$\displaystyle S_n=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{2n}\le\frac1{n+1}+\frac1{n+1}+\cdots+\frac1{n+1}=n\times\frac1{n+1}=\frac n{n+1}$이다. 즉 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle \frac12\le S_n\le\frac n{n+1}$이다. 【제시문 5】에 의하여 $\displaystyle \frac12\le\lim_{n\to\infty}S_n\le1$이다. (1)에 의하여 $\displaystyle I=\lim_{n\to\infty}S_n$이므로 $\displaystyle \frac12\le I\le1$이다.