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자연계열 II 1번

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경북대 2017학년도 모의 자연계열 II 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2017mo/jayeon2_1

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문제

[1] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

【제시문 1】첫째항이 a\displaystyle a, 공비가 r\displaystyle r인 등비수열의 첫째항부터 제 n\displaystyle n항까지의 합 S\displaystyle S는S=a+ar+⋯+arn−1={a(1−rn)1−r(r≠1)n(r=1)\displaystyle S=a+ar+\cdots+ar^{n-1}=\begin{cases}\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}&(r\ne1)\\n&(r=1)\end{cases}Correction. r=1\displaystyle r=1일 때의 합 n\displaystyle n은 na\displaystyle na의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다.

【제시문 2】닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속인 함수 f(x),g(x)\displaystyle f(x),g(x)가 f(x)≤g(x)\displaystyle f(x)\le g(x)를 만족하면 ∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx\displaystyle \int_a^b f(x)dx\le\int_a^b g(x)dx가 성립한다.

【제시문 3】구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속인 함수 f\displaystyle f에 대하여∫abf(x)dx=lim⁡n→∞∑k=1nf(a+k(b−a)n)b−an\displaystyle \int_a^b f(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f\left(a+\frac{k(b-a)}n\right)\frac{b-a}n이다.

【제시문 4】수열 an,bn,cn\displaystyle {a_n},{b_n},{c_n}이 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 an≤cn≤bn\displaystyle a_n\le c_n\le b_n을 만족하고 lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞bn=α\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha이면 lim⁡n→∞cn=α\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_n=\alpha이다.

【제시문 5】수열 an,bn\displaystyle {a_n},{b_n}이 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 an≤bn\displaystyle a_n\le b_n을 만족하고 lim⁡n→∞an=α, lim⁡n→∞bn=β\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha,\ \lim_{n\to\infty}b_n=\beta이면 α≤β\displaystyle \alpha\le\beta이다.

※ 모든 물음에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

【물음 1】다항함수f(x)=1−x+x2−x3+⋯+x8−x9\displaystyle f(x)=1-x+x^2-x^3+\cdots+x^8-x^9이라 할 때, 다음 물음에 답하시오.(1) 【제시문 1】을 이용하여 f(2)\displaystyle f(2)의 값을 구하시오. (10점)(2) 함수 (1+x)2f(x)\displaystyle (1+x)^2f(x)를 (x−2)2\displaystyle (x-2)^2으로 나눈 관계식을(1+x)2f(x)=(x−2)2Q(x)+ax+b\displaystyle (1+x)^2f(x)=(x-2)^2Q(x)+ax+b(단, Q(x)\displaystyle Q(x)는 다항함수)로 나타내었을 때, 상수 a,b\displaystyle a,b의 값을 구하시오. (20점)

【물음 2】각 자연수 n\displaystyle n에 대하여Sn=11⋅2+13⋅4+⋯+1(2n−1)⋅2n\displaystyle S_n=\frac1{1\cdot2}+\frac1{3\cdot4}+\cdots+\frac1{(2n-1)\cdot2n}인 수열 Sn\displaystyle {S_n}의 극한을 계산하는 과정의 일부이다.

모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여Sn=∫01(a∑k=1nx2k−2+b∑k=1nx2k−1)dx\displaystyle S_n=\int_0^1\left(a\sum_{k=1}^n x^{2k-2}+b\sum_{k=1}^n x^{2k-1}\right)dx를 만족시키는 상수 a,b\displaystyle a,b가 존재한다. 그러므로 【제시문 1】에 의하여Sn=∫01a(1−x2n)+b(x−x2n+1)1−x2dx\displaystyle S_n=\int_0^1\frac{a(1-x^{2n})+b(x-x^{2n+1})}{1-x^2}dx이다. 【제시문 2】에 의하여0≤∫0111+xdx−Sn=∫01x(가)1+xdx≤14n\displaystyle 0\le\int_0^1\frac1{1+x}dx-S_n=\int_0^1\frac{x^{\boxed{\text{(가)}}}}{1+x}dx\le\frac1{4n}이므로 【제시문 4】에 의하여∑n=1∞1(2n−1)2n=∫0111+xdx\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n-1)2n}=\int_0^1\frac1{1+x}dx이다. 함수 f(x)=11+x\displaystyle f(x)=\frac1{1+x}은 구간 [0,1]\displaystyle [0,1]에서 연속이므로 우변의 적분값이 존재한다.

위의 계산 과정에서 상수 a,b\displaystyle a,b의 값과 (가)에 들어갈 알맞은 식을 구하시오. (40점)

【물음 3】적분값 I=∫0111+xdx\displaystyle I=\int_0^1\frac1{1+x}dx에 대하여 다음 물음에 답하시오.(1) 【제시문 3】을 이용하여 I\displaystyle I를 나타내면I=lim⁡n→∞∑k=1n1n+□\displaystyle I=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac1{n+\square}이다. □\displaystyle \square 안에 알맞은 식 또는 값을 구하시오. (10점)(2) 【제시문 5】를 이용하여 12≤I≤1\displaystyle \frac12\le I\le1임을 증명하시오. (20점)

해설강의 준비중

경북대 2017학년도 모의 자연계열 II 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2017mo/jayeon2_1

[물음 1]【제시문 1】에 의하여f(x)=1−x+x2−x3+⋯+x8−x9=1−x101+x\displaystyle f(x)=1-x+x^2-x^3+\cdots+x^8-x^9=\frac{1-x^{10}}{1+x}이다.

(1) x=2\displaystyle x=2를 대입하면 f(2)=13(1−210)=−341\displaystyle f(2)=\frac13(1-2^{10})=-341이다.

(2) F(x)=(1+x)2f(x)=(1+x)(1−x10)\displaystyle F(x)=(1+x)^2f(x)=(1+x)(1-x^{10})이므로(1+x)(1−x10)=(x−2)2Q(x)+ax+b\displaystyle (1+x)(1-x^{10})=(x-2)^2Q(x)+ax+b이다. 이 식에 x=2\displaystyle x=2를 대입하면3(1−210)=2a+b\displaystyle 3(1-2^{10})=2a+b이다. 한편 위 식의 양변을 미분하면1−10x9−11x10=(x−2){2Q(x)+(x−2)Q′(x)}+a\displaystyle 1-10x^9-11x^{10}=(x-2)\{2Q(x)+(x-2)Q^{\prime}(x)\}+a이므로 x=2\displaystyle x=2를 대입하면 a=1−10×29−11×210=1−214\displaystyle a=1-10\times2^9-11\times2^{10}=1-2^{14}이다. 그러므로b=3−3×210−2+215=1+29×210\displaystyle b=3-3\times2^{10}-2+2^{15}=1+29\times2^{10}이다.

[물음 2]풀이 과정에서 a=1, b=−1, (가)=2n\displaystyle a=1,\ b=-1,\ \text{(가)}=2n이다.

[물음 3](1) 【제시문 3】에 의하여I=∫0111+xdx=lim⁡n→∞∑k=1n11+kn1n=lim⁡n→∞∑k=1n1n+k\displaystyle I=\int_0^1\frac1{1+x}dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac1{1+\frac kn}\frac1n=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac1{n+k}이므로 □=k\displaystyle \square=k이다.

(2) Sn=∑k=1n1n+k\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n\frac1{n+k}라 하면 Sn=1n+1+1n+2+⋯+12n\displaystyle S_n=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{2n}이다. 따라서Sn=1n+1+1n+2+⋯+12n≥12n+12n+⋯+12n=n×12n=12\displaystyle S_n=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{2n}\ge\frac1{2n}+\frac1{2n}+\cdots+\frac1{2n}=n\times\frac1{2n}=\frac12이고Sn=1n+1+1n+2+⋯+12n≤1n+1+1n+1+⋯+1n+1=n×1n+1=nn+1\displaystyle S_n=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{2n}\le\frac1{n+1}+\frac1{n+1}+\cdots+\frac1{n+1}=n\times\frac1{n+1}=\frac n{n+1}이다. 즉 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 12≤Sn≤nn+1\displaystyle \frac12\le S_n\le\frac n{n+1}이다. 【제시문 5】에 의하여 12≤lim⁡n→∞Sn≤1\displaystyle \frac12\le\lim_{n\to\infty}S_n\le1이다. (1)에 의하여 I=lim⁡n→∞Sn\displaystyle I=\lim_{n\to\infty}S_n이므로 12≤I≤1\displaystyle \frac12\le I\le1이다.

문항채점기준배점
물음 1 (1)제시문에 의해 함수 f(x)\displaystyle f(x)를 표현하면5점
물음 1 (1)x=2\displaystyle x=2를 대입하여 답을 구하면5점
물음 1 (2)조건으로부터 F(x)=(1+x)2f(x)=(1+x)(1−x10)\displaystyle F(x)=(1+x)^2f(x)=(1+x)(1-x^{10})를 나타내면5점
물음 1 (2)미정계수법을 적용하여 관계식 3(1−210)=2a+b\displaystyle 3(1-2^{10})=2a+b를 구하면5점
물음 1 (2)양변을 미분하여 다항함수의 관계식을 구하면5점
물음 1 (2)관계식으로부터 상수 a,b\displaystyle a,b를 구하면5점
물음 2상수 a=1,b=−1\displaystyle a=1,b=-1 또는 (가)의 식의 2n\displaystyle 2n만 구하면10점
물음 2상수 a=1,b=−1\displaystyle a=1,b=-1, (가)의 식의 2n\displaystyle 2n의 값을 구하고 풀이가 없는 경우는20점
물음 2상수 a,b\displaystyle a,b와 (가)의 식의 2n\displaystyle 2n을 모두 구하였으나 풀이 과정과 다르게 적용한 경우30점
물음 2풀이과정에 따라 a,b\displaystyle a,b와 (가)의 식을 모두 구하면40점
물음 3 (1)정적분의 정의를 이용하여 관계식을 나타내면10점
물음 3 (2)Sn=1n+1+1n+2+⋯+12n\displaystyle S_n=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{2n}을 찾아 12≤Sn≤1\displaystyle \frac12\le S_n\le1을 찾으면10점
물음 3 (2)[제시문 5]를 이용하여 12≤I≤1\displaystyle \frac12\le I\le1을 보이면10점

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