자연계열 I 2번

【제시문 1】첫째항이 $\displaystyle a$, 공비가 $\displaystyle r$인 등비수열의 첫째항부터 제 $\displaystyle n$항까지의 합 $\displaystyle S$는$\displaystyle S=a+ar+\cdots+ar^{n-1}=\begin{cases}\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}&(r\ne1)\\n&(r=1)\end{cases}$Correction. $\displaystyle r=1$일 때의 합 $\displaystyle n$은 $\displaystyle na$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다.

【제시문 2】닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속인 함수 $\displaystyle f(x),g(x)$가 $\displaystyle f(x)\le g(x)$를 만족하면 $\displaystyle \int_a^b f(x)dx\le\int_a^b g(x)dx$가 성립한다.

【제시문 3】구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속인 함수 $\displaystyle f$에 대하여$\displaystyle \int_a^b f(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f\left(a+\frac{k(b-a)}n\right)\frac{b-a}n$

【제시문 4】수열 $\displaystyle {a_n},{b_n},{c_n}$이 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_n\le c_n\le b_n$을 만족하고 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha$이면 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_n=\alpha$이다.

【제시문 5】수열 $\displaystyle {a_n},{b_n}$이 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_n\le b_n$을 만족하고 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha,\ \lim_{n\to\infty}b_n=\beta$이면 $\displaystyle \alpha\le\beta$이다.

모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle S_n=\int_0^1\left(a\sum_{k=1}^n x^{2k-2}+b\sum_{k=1}^n x^{2k-1}\right)dx$를 만족시키는 상수 $\displaystyle a,b$가 존재한다. 그러므로 【제시문 1】에 의하여$\displaystyle S_n=\int_0^1\frac{a(1-x^{2n})+b(x-x^{2n+1})}{1-x^2}dx$이다. 【제시문 2】에 의하여$\displaystyle 0\le\int_0^1\frac1{1+x}dx-S_n=\int_0^1\frac{x^{\boxed{\text{(가)}}}}{1+x}dx\le\frac1{4n}$이므로 【제시문 4】에 의하여$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n-1)2n}=\int_0^1\frac1{1+x}dx$이다. 함수 $\displaystyle f(x)=\frac1{1+x}$은 구간 $\displaystyle [0,1]$에서 연속이므로 우변의 적분값이 존재한다.