자연계열 I 3번

[3-1](1) 세 학생 A,B,C가 상자에서 한 개의 공을 꺼내어 숫자를 확인한 후 다시 상자에 넣는 시행을 순서대로 한 번씩 하였을 때 세 학생 A,B,C가 공을 꺼내는 경우의 수는 $\displaystyle {}_4\Pi_3=4^3=64$이고, 각 학생이 서로 다른 숫자가 적힌 공을 꺼내는 경우의 수는 $\displaystyle {}_4\mathrm{P}_3={}_4\mathrm{C}_3\times3!=24$이다.

(2) 4개의 공을 세 학생 A,B,C에게 임의로 나누어 주는 경우의 수는 $\displaystyle {}_3\Pi_4=3^4=81$이고, 이 중 모든 학생이 적어도 한 개의 공을 받을 경우의 수는 $\displaystyle \frac{{}_4\mathrm{C}_1\times{}_3\mathrm{C}_1\times{}_2\mathrm{C}_2}{2!}\times3!=36$이다. 따라서 모든 학생이 적어도 한 개의 공을 받을 확률은 $\displaystyle \frac{36}{81}$ 즉 $\displaystyle \frac49$이다.

(3) 모든 학생이 적어도 한 개의 공을 받았다는 조건 하에서 학생 A가 받는 공이 모두 짝수일 경우는(i) 학생 A가 2와 4가 적힌 공을 받을 경우의 수: 2(ii) 학생 A가 2가 적힌 공만을 받은 경우의 수: 6(iii) 학생 A가 4가 적힌 공만을 받은 경우의 수: 6이므로 총 14가지이다. 따라서 모든 학생이 적어도 한 개의 공을 받았다는 조건 하에서 A학생이 받은 공에 적힌 수가 모두 짝수일 확률은 $\displaystyle \frac{14}{36}$ 즉 $\displaystyle \frac7{18}$이다.

[3-2](1) 주어진 조건으로부터 $\displaystyle \mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)=\frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(B)}$이고$\displaystyle \mathrm{P}(A\cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)-\mathrm{P}(A\cap B)$이므로$\displaystyle \mathrm{P}(A\cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)-\mathrm{P}(B)\{\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)\}$이다. $\displaystyle \mathrm{P}(A)=c$라고 하면$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{P}(A\cup B)&=c+\mathrm{P}(B)-c\mathrm{P}(B)-\{\mathrm{P}(B)\}^2\\&=-\left\{\mathrm{P}(B)-\frac{1-c}2\right\}^2+c+\frac{(1-c)^2}4\\&=-\left\{\mathrm{P}(B)-\frac{1-c}2\right\}^2+\frac{(1+c)^2}4\end{aligned}$이다. 따라서, $\displaystyle \mathrm{P}(B)=\frac{1-c}2$일 때, $\displaystyle \mathrm{P}(A\cup B)$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{(1+c)^2}4$이므로$\displaystyle p+\sqrt q=\frac{1-c}2+\sqrt{\frac{(1+c)^2}4}=\frac{1-c}2+\frac{1+c}2=1$이다.

(2) 주어진 조건으로부터$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{P}(B\mid A)&=\frac{\mathrm{P}(A\mid B)\mathrm{P}(B)}{\mathrm{P}(A)}=\frac{\{\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)\}\mathrm{P}(B)}{\mathrm{P}(A)}\\&=\frac{\left(c+\frac{1-c}2\right)\frac{1-c}2}c=\frac{\left(\frac{1+c}2\right)\frac{1-c}2}c\end{aligned}$이므로 $\displaystyle c\mathrm{P}(B\mid A)=\frac{1-c^2}4$이다. 따라서 $\displaystyle \alpha=-\frac14,\beta=0,\gamma=\frac14$이고 $\displaystyle 2\alpha+\beta+\gamma=-\frac14$이다.