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자연계열 I 3번

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경북대 2018학년도 수시 자연계열 I 3번 · mathesis.kr/archive/knu/2018su/jayeon1_3

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[3] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) (1) 서로 다른 n\displaystyle n개에서 r\displaystyle r (0<r≤n\displaystyle 0<r\le n)개를 택하는 순열의 수는nPr=n(n−1)(n−2)⋯(n−r+1)\displaystyle {}_n\mathrm{P}_r=n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)이다.(2) 서로 다른 n\displaystyle n개에서 r\displaystyle r (0≤r≤n\displaystyle 0\le r\le n)개를 택하는 조합의 수는nCr=nPrr!=n!r!(n−r)!\displaystyle {}_n\mathrm{C}_r=\frac{{}_n\mathrm{P}_r}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!}이다. 단, nC0=1\displaystyle {}_n\mathrm{C}_0=1이다.(3) 서로 다른 n\displaystyle n개에서 r\displaystyle r개를 택하는 중복순열의 수는nΠr=nr\displaystyle {}_n\Pi_r=n^r이다.

(나) (1) 어떤 시행에서 원소가 유한개인 표본공간 S\displaystyle S에 대하여 각 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같을 때, 사건 A\displaystyle A가 일어날 확률 P(A)\displaystyle \mathrm{P}(A)는P(A)=n(A)n(S)\displaystyle \mathrm{P}(A)=\frac{n(A)}{n(S)}로 정의한다. (단, n(A)\displaystyle n(A)는 사건 A\displaystyle A의 원소의 개수이다.)(2) 두 사건 A,B\displaystyle A,B에 대하여P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)\displaystyle \mathrm{P}(A\cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)-\mathrm{P}(A\cap B)가 성립한다. A∪B\displaystyle A\cup B는 A\displaystyle A 또는 B\displaystyle B가 일어나는 사건이고, A∩B\displaystyle A\cap B는 A\displaystyle A와 B\displaystyle B가 동시에 일어나는 사건이다.(3) 확률이 0이 아닌 사건 A\displaystyle A가 일어났다는 조건 아래에서 사건 B\displaystyle B가 일어날 확률을 사건 A\displaystyle A가 일어났을 때의 사건 B\displaystyle B의 조건부확률이라 하고, 기호 P(B∣A)\displaystyle \mathrm{P}(B\mid A)로 나타내며 다음과 같이 정의한다.P(B∣A)=P(A∩B)P(A)\displaystyle \mathrm{P}(B\mid A)=\frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(A)} (단, P(A)≠0\displaystyle \mathrm{P}(A)\ne0)

※ 모든 문항에서 풀이 과정을 반드시 기술하시오.

【3-1】 1부터 4까지의 자연수가 하나씩 적힌 4개의 공이 들어 있는 상자가 있다. 다음 물음에 답하시오.(1) 세 학생 A, B, C가 순서대로 상자에서 공을 한 개씩 꺼내어 숫자를 확인한 후 다시 상자에 넣는 시행을 하려고 한다. 세 학생 A, B, C가 공을 꺼내는 경우의 수와 각 학생이 서로 다른 숫자가 적힌 공을 꺼내는 경우의 수를 각각 구하시오. (20점)(2) 상자에 들어 있는 4개의 공을 꺼내어 세 학생 A, B, C에게 남김없이 나누어 주려고 한다. 한 개의 공도 받지 못하는 학생이 있을 수 있고, 세 학생 A, B, C가 각 공을 받을 확률은 모두 같다. 세 학생 A, B, C 모두 적어도 한 개의 공을 받을 확률을 구하시오. (20점)(3) 【3-1】(2)에서 세 학생 A, B, C 모두 적어도 한 개의 공을 받았다고 할 때, 학생 A가 가진 공에 적힌 수가 모두 짝수일 확률을 구하시오. (20점)

【3-2】 두 사건 A,B\displaystyle A,B가 다음 조건을 만족시킨다.

(a) 12<P(A)<1,0<P(B)<1\displaystyle \frac12<\mathrm{P}(A)<1,\quad0<\mathrm{P}(B)<1(b) P(A)+P(B)=P(A∣B)\displaystyle \mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)=\mathrm{P}(A\mid B)

P(A)=c\displaystyle \mathrm{P}(A)=c일 때, 다음 물음에 답하시오.(1) P(B)=p\displaystyle \mathrm{P}(B)=p일 때 P(A∪B)\displaystyle \mathrm{P}(A\cup B)가 최댓값 q\displaystyle q를 가진다. p+q\displaystyle p+\sqrt q의 값을 구하시오. (20점)(2) P(A∪B)\displaystyle \mathrm{P}(A\cup B)가 최대일 때, cP(B∣A)\displaystyle c\mathrm{P}(B\mid A)의 값은 αc2+βc+γ\displaystyle \alpha c^2+\beta c+\gamma이다. 2α+β+γ\displaystyle 2\alpha+\beta+\gamma의 값을 구하시오. (단, α,β,γ\displaystyle \alpha,\beta,\gamma는 유리수이다.) (20점)

해설강의 준비중

경북대 2018학년도 수시 자연계열 I 3번 · mathesis.kr/archive/knu/2018su/jayeon1_3

+20점 · 1. 학생 A,B,C가 공을 꺼내는 경우의 수를 구하면 10점 2. 각 학생이 서로 다른 공을 꺼내는 경우의 수를 구하면 10점

[3-1](1) 세 학생 A,B,C가 상자에서 한 개의 공을 꺼내어 숫자를 확인한 후 다시 상자에 넣는 시행을 순서대로 한 번씩 하였을 때 세 학생 A,B,C가 공을 꺼내는 경우의 수는 4Π3=43=64\displaystyle {}_4\Pi_3=4^3=64이고, 각 학생이 서로 다른 숫자가 적힌 공을 꺼내는 경우의 수는 4P3=4C3×3!=24\displaystyle {}_4\mathrm{P}_3={}_4\mathrm{C}_3\times3!=24이다.

+20점 · 1. 4개의 공을 세 학생 A,B,C에게 임의로 나누어 주는 경우의 수를 구하면 5점 2. 모든 학생이 적어도 한 개의 공을 받을 경우의 수를 구하면 각 10점 3. 모든 학생이 적어도 한 개의 공을 가질 확률을 구하면 5점

(2) 4개의 공을 세 학생 A,B,C에게 임의로 나누어 주는 경우의 수는 3Π4=34=81\displaystyle {}_3\Pi_4=3^4=81이고, 이 중 모든 학생이 적어도 한 개의 공을 받을 경우의 수는 4C1×3C1×2C22!×3!=36\displaystyle \frac{{}_4\mathrm{C}_1\times{}_3\mathrm{C}_1\times{}_2\mathrm{C}_2}{2!}\times3!=36이다. 따라서 모든 학생이 적어도 한 개의 공을 받을 확률은 3681\displaystyle \frac{36}{81} 즉 49\displaystyle \frac49이다.

+20점 · 1. 조건에 해당하는 경우의 수를 구하였을 경우 10점 2. 조건부확률을 구하면 10점

(3) 모든 학생이 적어도 한 개의 공을 받았다는 조건 하에서 학생 A가 받는 공이 모두 짝수일 경우는(i) 학생 A가 2와 4가 적힌 공을 받을 경우의 수: 2(ii) 학생 A가 2가 적힌 공만을 받은 경우의 수: 6(iii) 학생 A가 4가 적힌 공만을 받은 경우의 수: 6이므로 총 14가지이다. 따라서 모든 학생이 적어도 한 개의 공을 받았다는 조건 하에서 A학생이 받은 공에 적힌 수가 모두 짝수일 확률은 1436\displaystyle \frac{14}{36} 즉 718\displaystyle \frac7{18}이다.

+20점 · 1. 주어진 관계식을 이용하여 p\displaystyle p와 q\displaystyle q를 구하면 각각 5점 2. p+q\displaystyle p+\sqrt q의 값을 구하면 10점

[3-2](1) 주어진 조건으로부터 P(A)+P(B)=P(A∩B)P(B)\displaystyle \mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)=\frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(B)}이고P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)\displaystyle \mathrm{P}(A\cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)-\mathrm{P}(A\cap B)이므로P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(B){P(A)+P(B)}\displaystyle \mathrm{P}(A\cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)-\mathrm{P}(B)\{\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)\}이다. P(A)=c\displaystyle \mathrm{P}(A)=c라고 하면P(A∪B)=c+P(B)−cP(B)−{P(B)}2=−{P(B)−1−c2}2+c+(1−c)24=−{P(B)−1−c2}2+(1+c)24\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{P}(A\cup B)&=c+\mathrm{P}(B)-c\mathrm{P}(B)-\{\mathrm{P}(B)\}^2\\&=-\left\{\mathrm{P}(B)-\frac{1-c}2\right\}^2+c+\frac{(1-c)^2}4\\&=-\left\{\mathrm{P}(B)-\frac{1-c}2\right\}^2+\frac{(1+c)^2}4\end{aligned}이다. 따라서, P(B)=1−c2\displaystyle \mathrm{P}(B)=\frac{1-c}2일 때, P(A∪B)\displaystyle \mathrm{P}(A\cup B)의 최댓값은 (1+c)24\displaystyle \frac{(1+c)^2}4이므로p+q=1−c2+(1+c)24=1−c2+1+c2=1\displaystyle p+\sqrt q=\frac{1-c}2+\sqrt{\frac{(1+c)^2}4}=\frac{1-c}2+\frac{1+c}2=1이다.

+20점 · 1. 주어진 관계식을 이용하여 α,β,γ\displaystyle \alpha,\beta,\gamma의 값을 구하면 각각 5점 2. 2α+β+γ\displaystyle 2\alpha+\beta+\gamma를 구하면 5점

(2) 주어진 조건으로부터P(B∣A)=P(A∣B)P(B)P(A)={P(A)+P(B)}P(B)P(A)=(c+1−c2)1−c2c=(1+c2)1−c2c\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{P}(B\mid A)&=\frac{\mathrm{P}(A\mid B)\mathrm{P}(B)}{\mathrm{P}(A)}=\frac{\{\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)\}\mathrm{P}(B)}{\mathrm{P}(A)}\\&=\frac{\left(c+\frac{1-c}2\right)\frac{1-c}2}c=\frac{\left(\frac{1+c}2\right)\frac{1-c}2}c\end{aligned}이므로 cP(B∣A)=1−c24\displaystyle c\mathrm{P}(B\mid A)=\frac{1-c^2}4이다. 따라서 α=−14,β=0,γ=14\displaystyle \alpha=-\frac14,\beta=0,\gamma=\frac14이고 2α+β+γ=−14\displaystyle 2\alpha+\beta+\gamma=-\frac14이다.

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