자연계열 II 1번

[1-1]타원의 방정식 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$에서 $\displaystyle \mathrm{P}\left(\frac a2,\frac{\sqrt3}2b\right)$이고 접선 $\displaystyle l$의 방정식은$\displaystyle \frac x{2a}+\frac{\sqrt3y}{2b}=1$이다.

$\displaystyle \sin\theta=\frac{\text{점 F에서 접선 }l\text{까지의 거리}}{\text{선분 PF의 길이}}$이므로 점 F에서 접선 $\displaystyle l$까지의 거리와 선분 PF의 길이를 구해보자.

점 F에서 접선 $\displaystyle l$까지의 거리는 $\displaystyle \frac{\left|\frac c{2a}-1\right|}{\sqrt{\frac1{4a^2}+\frac3{4b^2}}}=\frac{a-\frac c2}{\sqrt{\frac14+\frac{3a^2}{4b^2}}}$이고선분 PF의 길이는$\displaystyle \sqrt{\left(\frac a2-c\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}2b\right)^2}=\sqrt{\frac{a^2}4-ac+c^2+\frac34a^2-\frac34c^2}=a-\frac c2$이다.그래서 $\displaystyle \sin\theta=\frac{\text{점 F에서 접선 }l\text{까지의 거리}}{\text{선분 PF의 길이}}=\frac1{\sqrt{\frac14+\frac{3a^2}{4b^2}}}$이다.

$\displaystyle \theta$가 $\displaystyle \frac\pi3$이므로 $\displaystyle \sin\theta=\frac{\sqrt3}2$이고 $\displaystyle k=\frac{a^2}{b^2}$라 하면,$\displaystyle \frac{\sqrt3}2=\frac1{\sqrt{\frac14+\frac34k}}$이고 $\displaystyle k=\frac{13}9$이다. $\displaystyle \frac{a^2}{b^2}=\frac{13}9$이므로 $\displaystyle s=13$이고 $\displaystyle t=9$이다.

[1-2](1) 점 P의 좌표를 $\displaystyle (x,y,z)$로 놓자.직선 CD의 방정식은 $\displaystyle \frac Xa=\frac Yb,\ Z=1$이고 점 P는 선분 CD위에 있으므로$\displaystyle ay=bx,z=1$ ----㉠

두 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{CD}$와 $\displaystyle \overrightarrow{AP}$의 내적은 0이 되므로$\displaystyle a(x-a)+by=0$ ----㉡

㉠과 ㉡을 연립하면, $\displaystyle x=\frac{a^3}{a^2+b^2},\ y=\frac{a^2b}{a^2+b^2},z=1$따라서 $\displaystyle \mathrm{P}\left(\frac{a^3}{a^2+b^2},\frac{a^2b}{a^2+b^2},1\right)$이다.

(2) 삼각형 ACD의 넓이를 S라 할 때, 선분 AP의 길이를 삼수선의 정리 또는 두 점 사이의 거리를 이용하여 구하면,$\displaystyle S=\frac12\times\overline{CD}\times\overline{AP}=\frac12\times\sqrt{a^2+b^2}\times\sqrt{1+\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}}=\frac12\sqrt{a^2+b^2+a^2b^2}$이다.

삼각형 ACD의 $\displaystyle xy$평면 위로의 정사영의 넓이는 $\displaystyle \frac12\sqrt{a^2+b^2+a^2b^2}\cos\theta=\frac12ab$이다.따라서 $\displaystyle \cos\theta=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2+a^2b^2}}$이다.(별해) 두 평면의 법선벡터를 구하고 그 내적을 이용하여 costheta를 구할 수 있음.

(3) $\displaystyle a=1,b=3$일 때, 점 B의 좌표는 $\displaystyle (0,3,0)$, 점 P의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac1{10},\frac3{10},1\right)$이고점 Q의 좌표는 $\displaystyle \left(1,\frac{3m}{m+n},\frac m{m+n}\right)$이다.두 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{BP}=\left(\frac1{10},-\frac{27}{10},1\right),\ \overrightarrow{BQ}=\left(1,-\frac{3n}{m+n},\frac m{m+n}\right)$에 수직인 벡터를 $\displaystyle \vec n=(\alpha,\beta,\gamma)$로 놓으면,$\displaystyle \frac\alpha{10}-\frac{27}{10}\beta+\gamma=0$ ----㉠$\displaystyle \alpha-\frac{3n}{m+n}\beta+\frac m{m+n}\gamma=0$ ----㉡㉠과 ㉡을 연립하여 평면 BPQ의 법선벡터 $\displaystyle \vec n$을 구하면, $\displaystyle \vec n=\left(\frac{-27m+30n}{9m+10n},1,\frac{27m+24n}{9m+10n}\right)$(평면의 방정식을 $\displaystyle \alpha x+\beta y+\gamma z+1=0$으로 놓고 평면의 방정식을 구할 수도 있음.)

직선 AC의 방정식은 $\displaystyle -x=z-1,y=0$이고 방향벡터는 $\displaystyle (-1,0,1)$이다.

직선과 평면이 만나지 않기 위해서는 평면의 법선벡터와 직선의 방향벡터가 수직이어야 하므로 $\displaystyle 27m-30n+27m+24n=0$이다.따라서 $\displaystyle m:n=1:9$이므로 $\displaystyle m=1,n=9$이다.

이때, 평면의 방정식은 $\displaystyle 27x+11y+27z-33=0$이므로 $\displaystyle y=0$에서 $\displaystyle x+z=\frac{11}9$이 되어 직선 AC와 만나지 않는다.(별해)점 P는 선분 CD를 $\displaystyle a^2:b^2$의 비로 내분하는 점이므로 직선 AC와 직선 PQ가 평행하기 위한 내분점 Q의 비는 $\displaystyle a=1,b=3$일 때 $\displaystyle 1:9$가 된다. 이때, 평면 ACD와 점 B가 한 평면 위에 존재하지 않기 때문에 직선 AC와 평면 BPQ는 만나지 않는다.