자연계열 II 2번

[2-1]$\displaystyle 1<k<3$을 만족하지 않는 $\displaystyle k$에 대하여 함수 $\displaystyle g(x)$는(a) $\displaystyle k\le1$인 경우 $\displaystyle g(x)\le0$ ($\displaystyle 1<x<3$)(b) $\displaystyle k\ge3$인 경우 $\displaystyle g(x)\ge0$ ($\displaystyle 1<x<3$)이다.

따라서 제시문 (가)에 의하여 곡선 $\displaystyle y=g(x)$와 $\displaystyle x$축 및 두 직선 $\displaystyle x=1,\ x=3$으로 둘러싸인 도형의 넓이는 (a)와 (b) 두 가지 경우 모두$\displaystyle \beta=\int_1^3|g(x)|dx=\left|\int_1^3 g(x)dx\right|=|\alpha|$이다. 이는 조건 $\displaystyle |\alpha|\ne\beta$를 만족하지 않는다. 그러므로 $\displaystyle 1<k<3$이다.

[2-2]$\displaystyle h(x)=(x-1)(x-3)$이라 하면 조건으로부터 삼차함수 $\displaystyle g(x)$는$\displaystyle g(x)=(x-1)(x-3)(x-k)=xh(x)-kh(x)$이다. 제시문 (가)에 의하여$\displaystyle \beta=\begin{cases}k\int_1^3h(x)dx-\int_1^3xh(x)dx&(k<1)\\\int_1^kxh(x)dx-k\int_1^kh(x)dx-\int_k^3xh(x)dx+k\int_k^3h(x)dx&(1\le k\le3)\\-k\int_1^3h(x)dx+\int_1^3xh(x)dx&(k>3)\end{cases}$이다.

(i) $\displaystyle \int_1^3h(x)dx<0$이고 $\displaystyle \int_1^3xh(x)dx<0$이므로 구간 $\displaystyle (-\infty,1)$에서 $\displaystyle \beta$는 감소하고 구간 $\displaystyle (3,\infty)$에서 $\displaystyle \beta$는 증가한다.

(ii) $\displaystyle 1\le k\le3$인 경우, 제시문 (나)에 의하여$\displaystyle \frac{d\beta}{dk}=-\int_1^kh(x)dx+\int_k^3h(x)dx$이다. 함수 $\displaystyle h(x)$는 직선 $\displaystyle x=2$를 대칭축으로 하는 이차함수이므로$\displaystyle k=2$일 때, $\displaystyle \frac{d\beta}{dk}=0$이다.

또한, $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle \beta$의 이계도함수를 구하면$\displaystyle \frac{d^2\beta}{dk^2}=-2(k-1)(k-3)>0\quad(1<k<3)$이다. 따라서 제시문 (다)에 의하여 $\displaystyle \beta$는 구간 $\displaystyle (1,3)$에서 아래로 볼록하고 $\displaystyle k=2$에서 극소이다.그러므로 (i)과 (ii)를 종합해보면 $\displaystyle \beta$는 $\displaystyle k=2$일 때, 최솟값을 가진다.

한편, $\displaystyle k=2$일 때, $\displaystyle \beta$를 계산하면$\displaystyle \begin{aligned}\beta&=2\int_1^2(x^3-6x^2+11x-6)dx\\&=2\Biggl[\frac14x^4-2x^2+\frac{11}2x^2-6x\Biggr]_1^2\\&=\frac12\end{aligned}$Correction. 채점기준과 예시답안에 적힌 원시함수의 둘째 항 $\displaystyle -2x^2$은 $\displaystyle -2x^3$의 오기이다. 피적분함수의 둘째 항 $\displaystyle -6x^2$을 적분하면 $\displaystyle -2x^3$이 된다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다. 따라서 $\displaystyle \beta$의 최솟값은 $\displaystyle \frac12$이다.

[2-3]$\displaystyle 1<k<3$이므로, [2-2]의 풀이에 의하여 $\displaystyle \beta$는 $\displaystyle k$에 대한 사차함수이고 $\displaystyle \beta(2)=\frac12,\ \beta^{\prime}(2)=0$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\beta&=\int_1^kxh(x)dx-k\int_1^kh(x)dx-\int_k^3xh(x)dx+k\int_k^3h(x)dx\quad\text{---- (a)}\\&=\frac12+a(k-2)^2+b(k-2)^3+c(k-2)^4\end{aligned}$와 같이 쓸 수 있다.

식 (a)의 양변을 미분하면$\displaystyle \int_k^3h(x)dx-\int_1^kh(x)dx=2a(k-2)+3b(k-2)^2+4c(k-2)^3\quad\text{---- (b)}$(b)의 양변을 미분하면$\displaystyle -2(k-1)(k-3)=2a+6b(k-2)+12c(k-2)^2\quad\text{---- (c)}$(c)의 양변을 미분하면$\displaystyle -4(k-2)=6b+24c(k-2)\quad\text{---- (d)}$이다. (c)와 (d)에 $\displaystyle k=2$를 대입하여 풀면$\displaystyle a=1,\quad b=0$이다. (d)로부터$\displaystyle c=-\frac16$이다.

그러므로 $\displaystyle \beta=\frac23$를 만족하는 $\displaystyle k$는 사차방정식$\displaystyle \frac23=\frac12+(k-2)^2-\frac16(k-2)^4$의 근이다. $\displaystyle X=(k-2)^2$이라 두고 위의 사차방정식을 정리하면$\displaystyle X^2-6X+1=0$이 된다. $\displaystyle 1<k<3$이므로 $\displaystyle 0<X<1$이다. 따라서 $\displaystyle X^2-6X+1=0$의 근은$\displaystyle X=3-2\sqrt2=(\sqrt2-1)^2>0$이다.$\displaystyle (k-2)^2=3-2\sqrt2$$\displaystyle k^2-4k+1+2\sqrt2=0$이므로 근과 계수의 관계에 의해 $\displaystyle k$의 모든 값의 곱은 $\displaystyle 1+2\sqrt2$이다.$\displaystyle p=1,q=2$이므로 정답은 3이다.