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자연계열 I 1번

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경북대 2022학년도 모의 자연계열 I 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2022mo/jayeon1_1

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문제

[1] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 좌표평면 위의 두 점 A(x1,y1)\displaystyle \mathrm A(x_1,y_1)과 B(x2,y2)\displaystyle \mathrm B(x_2,y_2) 사이의 거리는AB‾=(x1−x2)2+(y1−y2)2\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}

(나) 중심이 (a,b)\displaystyle (a,b)이고 반지름의 길이가 r\displaystyle r인 원의 방정식은(x−a)2+(y−b)2=r2\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2=r^2

(다) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]를 포함하는 열린구간에서 연속일 때, 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 x\displaystyle x축 및 두 직선 x=a\displaystyle x=a, x=b\displaystyle x=b로 둘러싸인 도형의 넓이 S\displaystyle S는S=∫ab∣f(x)∣ dx\displaystyle S=\int_a^b|f(x)|\,dx

(라) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 x=a\displaystyle x=a에서 미분가능할 때, 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x) 위의 점 P(a,f(a))\displaystyle \mathrm P(a,f(a))에서의 접선의 방정식은y−f(a)=f′(a)(x−a)\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)

※ 모든 문항에서 풀이 과정을 반드시 기술하시오.

양의 실수 t\displaystyle t에 대하여 중심이 C(f(t),g(t))\displaystyle \mathrm C(f(t),g(t))인 원 R\displaystyle R는 점 P(t,t2)\displaystyle \mathrm P(t,t^2)에서 곡선 y=x2\displaystyle y=x^2과 접하고 동시에 x\displaystyle x축과 접한다. 점 P\displaystyle \mathrm P에서 x\displaystyle x축에 내린 수선과 원 R\displaystyle R가 만나는 점 중에서 P\displaystyle \mathrm P가 아닌 점을 Q\displaystyle \mathrm Q라 하고 ∠PCQ\displaystyle \angle\mathrm{PCQ}를 θ\displaystyle \theta라 하자. 단, f(t)>0\displaystyle f(t)>0, g(t)>0\displaystyle g(t)>0이다.

【1-1】 lim⁡t→0+f(t)g(t)t3\displaystyle \lim_{t\to0+}\dfrac{f(t)g(t)}{t^3}의 값을 구하시오. (50점)

【1-2】 t=1\displaystyle t=1일 때, ddt(1sin⁡2(θ2))\displaystyle \dfrac d{dt}\left(\dfrac1{\sin^2\left(\frac\theta2\right)}\right)의 값을 구하시오. (30점)

【1-3】 점 A(f(t),0)\displaystyle \mathrm A(f(t),0)에 대하여 곡선 y=x2\displaystyle y=x^2과 x\displaystyle x축 및 부채꼴 CPA\displaystyle \mathrm{CPA}의 호 AP\displaystyle \mathrm{AP}로 둘러싸인 부분의 넓이를 S(t)\displaystyle S(t)라고 할 때, lim⁡t→0+S(t)t3\displaystyle \lim_{t\to0+}\dfrac{S(t)}{t^3}의 값을 구하시오. (단, 0<∠PCA<π\displaystyle 0<\angle\mathrm{PCA}<\pi) (30점)

해설강의 준비중

경북대 2022학년도 모의 자연계열 I 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2022mo/jayeon1_1

+10점 · (t−f(a))2+(t2−g(t))2=g(t)2\displaystyle (t-f(a))^2+(t^2-g(t))^2=g(t)^2식을 구하면

Correction. 1-1 첫 채점기준의 f(a)\displaystyle f(a)는 f(t)\displaystyle f(t)의 오기이다. 중심이 C(f(t),g(t))\displaystyle C(f(t),g(t))인 원 위에 점 P(t,t2)\displaystyle P(t,t^2)가 있으므로 다음 식을 얻는다.(t−f(t))2+(t2−g(t))2=g(t)2\displaystyle (t-f(t))^2+(t^2-g(t))^2=g(t)^2예시답안에는 f(t)\displaystyle f(t)로 올바르게 적혀 있다. 원문 표기는 그대로 실었다.

【1-1】 원 R\displaystyle R는 곡선 y=x2\displaystyle y=x^2과 x\displaystyle x축에 동시에 접하기 때문에 원 R\displaystyle R는 방정식(x−f(t))2+(y−g(t))2=g(t)2\displaystyle (x-f(t))^2+(y-g(t))^2=g(t)^2을 만족시킨다. 점 P(t,t2)\displaystyle \mathrm P(t,t^2)은 원 위에 있기 때문에(t−f(t))2+(t2−g(t))2=g(t)2\displaystyle (t-f(t))^2+(t^2-g(t))^2=g(t)^2

+10점 · 2tg(t)−t2f(t)−t=−1\displaystyle 2t\dfrac{g(t)-t^2}{f(t)-t}=-1을 구하면

을 만족시키고 선분 PC‾\displaystyle \overline{\mathrm{PC}}는 점 P(t,t2)\displaystyle \mathrm P(t,t^2)에서의 곡선 y=x2\displaystyle y=x^2의 접선과 수직이기 때문에2tg(t)−t2f(t)−t=−1\displaystyle 2t\dfrac{g(t)-t^2}{f(t)-t}=-1을 만족시킨다. 따라서

+10점 · g(t)=144t2+1(4t2+1−1)\displaystyle g(t)=\dfrac14\sqrt{4t^2+1}\left(\sqrt{4t^2+1}-1\right)을 구하면

g(t)=144t2+1(4t2+1−1),\displaystyle g(t)=\dfrac14\sqrt{4t^2+1}\left(\sqrt{4t^2+1}-1\right),

+10점 · f(t)=t2(4t2+1+1)\displaystyle f(t)=\dfrac t2\left(\sqrt{4t^2+1}+1\right)을 구하면

f(t)=t2(4t2+1+1)\displaystyle f(t)=\dfrac t2\left(\sqrt{4t^2+1}+1\right)

+10점 · lim⁡t→0+f(t)g(t)t3=12\displaystyle \lim_{t\to0+}\dfrac{f(t)g(t)}{t^3}=\dfrac12을 구하면

이고 f(t)g(t)=t324t2+1\displaystyle f(t)g(t)=\dfrac{t^3}2\sqrt{4t^2+1}이므로lim⁡t→0+f(t)g(t)t3=12\displaystyle \lim_{t\to0+}\dfrac{f(t)g(t)}{t^3}=\dfrac12이다.

+15점 · g(t)+g(t)sin⁡(θ2)=t2\displaystyle g(t)+g(t)\sin\left(\dfrac\theta2\right)=t^2임을 보이면

【1-2】 점 P(t,t2)\displaystyle \mathrm P(t,t^2)의 y\displaystyle y축 좌표는 원 R\displaystyle R의 반지름과 g(t)sin⁡(θ2)\displaystyle g(t)\sin\left(\dfrac\theta2\right)의 합이기 때문에b+bsin⁡(θ2)=t2\displaystyle b+b\sin\left(\dfrac\theta2\right)=t^2Correction. 1-2 예시답안의 b+bsin⁡(θ/2)=t2\displaystyle b+b\sin(\theta/2)=t^2에서 b\displaystyle b는 g(t)\displaystyle g(t)의 오기이다. 바로 앞 문장과 채점기준에서 사용한 식은 다음과 같다.g(t)+g(t)sin⁡θ2=t2\displaystyle g(t)+g(t)\sin\frac{\theta}{2}=t^2원문 표기는 그대로 실었다.을 만족시킨다. 따라서

+15점 · ddt1sin⁡2(θ2)=ddt(4t2+1)=8t\displaystyle \dfrac d{dt}\dfrac1{\sin^2\left(\frac\theta2\right)}=\dfrac d{dt}(4t^2+1)=8t이고 t=1\displaystyle t=1일 때 값이 8\displaystyle 8임을 구하면

ddt1sin⁡2(θ2)=ddt(4t2+1)=8t\displaystyle \dfrac d{dt}\dfrac1{\sin^2\left(\frac\theta2\right)}=\dfrac d{dt}(4t^2+1)=8t이고 t=1\displaystyle t=1일 때 값은 8\displaystyle 8이다.

+10점 · S(t)=t33+12(t2+g(t))(f(t)−t)−g(t)24(π+θ)\displaystyle S(t)=\dfrac{t^3}3+\dfrac12(t^2+g(t))(f(t)-t)-\dfrac{g(t)^2}4(\pi+\theta)임을 보이면

【1-3】 넓이 S\displaystyle S는 곡선 y=x2\displaystyle y=x^2과 x\displaystyle x축 및 점 P\displaystyle \mathrm P와 점 B(t,0)\displaystyle \mathrm B(t,0)을 연결하는 선분으로 둘러싸인 영역의 넓이와 사다리꼴 PBAC\displaystyle \mathrm{PBAC}의 넓이에 부채꼴 CPA\displaystyle \mathrm{CPA}의 넓이를 뺀 값이다. 따라서 넓이 S(t)\displaystyle S(t)는S(t)=∫0tx2 dx+12(t2+g(t))(f(t)−t)−g(t)24(π+θ)=t33+12(t2+g(t))(f(t)−t)−g(t)24(π+θ)\displaystyle \begin{aligned}S(t)&=\int_0^t x^2\,dx+\dfrac12(t^2+g(t))(f(t)-t)-\dfrac{g(t)^2}4(\pi+\theta)\\&=\dfrac{t^3}3+\dfrac12(t^2+g(t))(f(t)-t)-\dfrac{g(t)^2}4(\pi+\theta)\end{aligned}이다.

+5점 · lim⁡t→0+g(t)t2=12\displaystyle \lim_{t\to0+}\dfrac{g(t)}{t^2}=\dfrac12임을 구하면

lim⁡t→0+g(t)t2=lim⁡t→0+4t2+1(4t2+1−1)4t2=lim⁡t→0+4t2+14t2+1+1=12,\displaystyle \lim_{t\to0+}\dfrac{g(t)}{t^2}=\lim_{t\to0+}\dfrac{\sqrt{4t^2+1}\left(\sqrt{4t^2+1}-1\right)}{4t^2}=\lim_{t\to0+}\dfrac{\sqrt{4t^2+1}}{\sqrt{4t^2+1}+1}=\dfrac12,

+5점 · lim⁡t→0+f(t)t=1\displaystyle \lim_{t\to0+}\dfrac{f(t)}t=1임을 구하면

lim⁡t→0+f(t)t=lim⁡t→0+12(4t2+1+1)=1,\displaystyle \lim_{t\to0+}\dfrac{f(t)}t=\lim_{t\to0+}\dfrac12\left(\sqrt{4t^2+1}+1\right)=1,π≤π+θ≤2π\displaystyle \pi\le\pi+\theta\le2\pi이므로

+10점 · lim⁡t→0+S(t)t3=13\displaystyle \lim_{t\to0+}\dfrac{S(t)}{t^3}=\dfrac13임을 구하면

lim⁡t→0+S(t)t3=lim⁡t→0+(13+12(1+g(t)t2)(f(t)t−1)−g(t)24t3(π+θ))=13+12(1+12)(1−1)=13\displaystyle \begin{aligned}\lim_{t\to0+}\dfrac{S(t)}{t^3}&=\lim_{t\to0+}\left(\dfrac13+\dfrac12\left(1+\dfrac{g(t)}{t^2}\right)\left(\dfrac{f(t)}t-1\right)-\dfrac{g(t)^2}{4t^3}(\pi+\theta)\right)\\&=\dfrac13+\dfrac12\left(1+\dfrac12\right)(1-1)=\dfrac13\end{aligned}이다.

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