자연계열 I 2번

【2-1】함수 $\displaystyle g(x)$가 $\displaystyle x=5$에서 미분가능하고 연속이므로 다음이 성립한다.$\displaystyle -af(5)+(a+b)=bf(5),\quad-af^{\prime}(5)=bf^{\prime}(5)$그러므로 $\displaystyle a+b>0$이므로 $\displaystyle f(5)=1$, $\displaystyle f^{\prime}(5)=0$이다.

함수 $\displaystyle f(x)$의 최고차항 계수가 양수이므로 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}g(x)=\infty$이고 $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}g(x)=-\infty$이다.만일 어떤 $\displaystyle x=m$에서 $\displaystyle g^{\prime}(x)<0$이면 $\displaystyle y=g(x)$와 직선 $\displaystyle y=g(m)$이 만나는 교점이 $\displaystyle 3$개 이상이다. 즉, $\displaystyle t=g(m)$에서 $\displaystyle h(t)\ge3$이므로 $\displaystyle h(t)$의 함숫값이 $\displaystyle 1$이하인 조건에 모순이다. 그러므로 ①이 성립한다.

$\displaystyle t=t_1$와 $\displaystyle t=t_2$에서 $\displaystyle h(t)=0$이고 두 점을 제외한 모든 점에서 $\displaystyle h(t)=1$를 만족하기 위해서는 ②를 만족해야 한다. 그때 함수 $\displaystyle g(x)$의 그래프의 개형은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

(i)와 (ii)에 의해서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 해는 $\displaystyle x=5$, $\displaystyle x=p\ne5$(중근)이다.

【2-3】문제 2-2 결과에 의해서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$는 $\displaystyle 5$와 $\displaystyle p$(중근)인 해를 가진다. 그러므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(x)&=12(x-p)^2(x-5)\\&=12(x-p)^2(x-p+p-5)\\&=12(x-p)^3+12(p-5)(x-p)^2\end{aligned}$이것을 적분하면 $\displaystyle f(x)=3(x-p)^4+4(p-5)(x-p)^3+C$이다. $\displaystyle x=p$를 대입하면 $\displaystyle C=f(p)$이다.그러므로 $\displaystyle f(x)$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.$\displaystyle f(x)=3(x-p)^4+4(p-5)(x-p)^3+f(p)$즉, $\displaystyle f(x)-f(p)=(x-p)^3(3x+p-20)$이다. $\displaystyle x=5$를 양변에 대입하면 다음이 성립한다.$\displaystyle f(5)-f(p)=-(5-p)^4$------------------------------(*)$\displaystyle f(p)$를 구하기 위해서 $\displaystyle 2$가지 경우를 생각해보자.① $\displaystyle p<5$인 경우$\displaystyle h(t)=\begin{cases}1&(t\le3)\\0&(t=3)\\1&(3<t<6)\\0&(t=6)\\1&(t>6)\end{cases}$ ------------------------------(**)Correction. 2-3 예시답안의 식 (**)에서 첫 줄의 $\displaystyle t\le3$은 $\displaystyle t<3$의 오기이다. 문제에서 $\displaystyle t_1=3$, $\displaystyle t_2=6$이므로$\displaystyle h(t)=\begin{cases}0& (t=3,6),\\1& (t\ne3,6)\end{cases}$이다. 따라서 $\displaystyle h(t)=1$인 첫 구간에는 $\displaystyle t=3$이 포함되지 않는다. 그러나 원문 표기는 그대로 실었다.

이므로 $\displaystyle g(p)=-2f(p)+5=3$, $\displaystyle g(5)=3f(5)=6$이므로 $\displaystyle f(p)=1$, $\displaystyle f(5)=2$이다. 하지만 문제 2-1에 의해 $\displaystyle f(5)=1$이므로 조건을 만족하는 $\displaystyle f(x)$는 존재하지 않는다.

② $\displaystyle 5<p$인 경우(**)에 의해서 $\displaystyle g(p)=3f(p)=6$, $\displaystyle g(5)=3f(5)=3$이므로 $\displaystyle f(p)=2$, $\displaystyle f(5)=1$이다. (*)에 대입 후 $\displaystyle 5<p$이므로 $\displaystyle 5-p=-1$이다. 즉, $\displaystyle p=6$이다. 그러므로 $\displaystyle f(x)=3(x-6)^3\left(x-\dfrac{14}3\right)+2$이다.

곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 직선 $\displaystyle y=2$가 만나는 점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle x=6$과 $\displaystyle x=\dfrac{14}3$이고, 그 합은 $\displaystyle \dfrac{32}3$이다.