수리논술, 이게 다다.

자연계열 I 2번

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경북대 2022학년도 모의 자연계열 I 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2022mo/jayeon1_2

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[2] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 실수 a\displaystyle a에 대하여 다음 세 조건을 만족시킬 때, f(x)\displaystyle f(x)는 x=a\displaystyle x=a에서 연속이라고 한다.(i) f(x)\displaystyle f(x)가 x=a\displaystyle x=a에서 정의되어 있다.(ii) 극한값 lim⁡x→af(x)\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)가 존재한다.(iii) lim⁡x→af(x)=f(a)\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)

(나) 함수 f(x)\displaystyle f(x)에 대하여 극한값lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h\displaystyle \lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}h가 존재하면 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 x=a\displaystyle x=a에서 미분가능하다고 한다.

(다) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 어떤 열린구간에서 미분가능하고 이 구간의 모든 x\displaystyle x에서(i) f′(x)>0\displaystyle f^{\prime}(x)>0이면 f(x)\displaystyle f(x)는 이 구간에서 증가한다.(ii) f′(x)<0\displaystyle f^{\prime}(x)<0이면 f(x)\displaystyle f(x)는 이 구간에서 감소한다.

※ 모든 문항에서 풀이 과정을 반드시 기술하시오.

최고차항의 계수가 3\displaystyle 3인 사차함수 f(x)\displaystyle f(x)와 양의 실수 a\displaystyle a, b\displaystyle b에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수g(x)={−af(x)+(a+b)(x<5)bf(x)(x≥5)\displaystyle g(x)=\begin{cases}-af(x)+(a+b)&(x<5)\\bf(x)&(x\ge5)\end{cases}는 x=5\displaystyle x=5에서 미분가능하다.실수 t\displaystyle t에 대하여 함수 k(x)=∣t−g(x)∣\displaystyle k(x)=|t-g(x)|가 미분가능하지 않은 점의 개수를 h(t)\displaystyle h(t)라 하면h(t)={0(t=t1,t2)1(t≠t1,t2)\displaystyle h(t)=\begin{cases}0&(t=t_1,t_2)\\1&(t\ne t_1,t_2)\end{cases}이다. 단, t1<t2\displaystyle t_1<t_2이다.

【2-1】 f(5)\displaystyle f(5)와 f′(5)\displaystyle f^{\prime}(5)를 구하시오. (30점)

【2-2】 방정식 f′(x)=0\displaystyle f^{\prime}(x)=0은 서로 다른 두 실근을 가짐을 보이시오. (40점)

【2-3】 a=2\displaystyle a=2, b=3\displaystyle b=3이고 t1=3\displaystyle t_1=3, t2=6\displaystyle t_2=6일 때, 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 직선 y=2\displaystyle y=2의 모든 교점의 x\displaystyle x좌표들의 합을 구하시오. (50점)

해설강의 준비중

경북대 2022학년도 모의 자연계열 I 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2022mo/jayeon1_2

+15점 · −af(5)+(a+b)=bf(5)\displaystyle -af(5)+(a+b)=bf(5)임을 보이고 f(5)=1\displaystyle f(5)=1임을 보이면
+15점 · −af′(5)=bf′(5)\displaystyle -af^{\prime}(5)=bf^{\prime}(5)임을 보이고 f′(5)=0\displaystyle f^{\prime}(5)=0임을 보이면

【2-1】함수 g(x)\displaystyle g(x)가 x=5\displaystyle x=5에서 미분가능하고 연속이므로 다음이 성립한다.−af(5)+(a+b)=bf(5),−af′(5)=bf′(5)\displaystyle -af(5)+(a+b)=bf(5),\quad-af^{\prime}(5)=bf^{\prime}(5)그러므로 a+b>0\displaystyle a+b>0이므로 f(5)=1\displaystyle f(5)=1, f′(5)=0\displaystyle f^{\prime}(5)=0이다.

【2-2】y=∣t−g(x)∣=∣g(x)−t∣\displaystyle y=|t-g(x)|=|g(x)-t|는 y=g(x)\displaystyle y=g(x)를 y=t\displaystyle y=t의 윗부분은 그대로 y=t\displaystyle y=t의 아랫부분은 y=t\displaystyle y=t에 대하여 대칭시킨 그래프이다. 그러므로 다음의 두 가지를 가짐을 알 수 있다.

① 모든 x\displaystyle x에 대하여 g′(x)≥0\displaystyle g^{\prime}(x)\ge0이다.

② g′(x)=0\displaystyle g^{\prime}(x)=0는 오직 2\displaystyle 2개의 실근을 가진다.

+10점 · g(x)\displaystyle g(x)가 증가함수임을 증명하면

함수 f(x)\displaystyle f(x)의 최고차항 계수가 양수이므로 lim⁡x→∞g(x)=∞\displaystyle \lim_{x\to\infty}g(x)=\infty이고 lim⁡x→−∞g(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}g(x)=-\infty이다.만일 어떤 x=m\displaystyle x=m에서 g′(x)<0\displaystyle g^{\prime}(x)<0이면 y=g(x)\displaystyle y=g(x)와 직선 y=g(m)\displaystyle y=g(m)이 만나는 교점이 3\displaystyle 3개 이상이다. 즉, t=g(m)\displaystyle t=g(m)에서 h(t)≥3\displaystyle h(t)\ge3이므로 h(t)\displaystyle h(t)의 함숫값이 1\displaystyle 1이하인 조건에 모순이다. 그러므로 ①이 성립한다.

+10점 · g′(x)=0\displaystyle g^{\prime}(x)=0가 서로 다른 두 실근을 가짐을 증명하면

t=t1\displaystyle t=t_1와 t=t2\displaystyle t=t_2에서 h(t)=0\displaystyle h(t)=0이고 두 점을 제외한 모든 점에서 h(t)=1\displaystyle h(t)=1를 만족하기 위해서는 ②를 만족해야 한다. 그때 함수 g(x)\displaystyle g(x)의 그래프의 개형은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

두 점에서 접선이 수평인 증가함수 g(x)의 개형

g(x)\displaystyle g(x)의 개형에 따라 g′(x)=0\displaystyle g^{\prime}(x)=0는 오직 2\displaystyle 2개의 서로 다른 실근인 해를 가진다.g′(5)=bf′(5)=0\displaystyle g^{\prime}(5)=bf^{\prime}(5)=0이므로 x=5\displaystyle x=5는 g′(x)=0\displaystyle g^{\prime}(x)=0의 해이다. x=5\displaystyle x=5가 아닌 다른 해를 p\displaystyle p라고 하자. 그러면 (i) p<5\displaystyle p<5 와 (ii) p>5\displaystyle p>5인 두 가지 경우가 존재한다.(i) p<5\displaystyle p<5인 경우g′(p)=−af′(p)=0\displaystyle g^{\prime}(p)=-af^{\prime}(p)=0이고 다음이 성립한다.

x⋯x=p⋯x=5⋯\hlinef′(x)−0−0+\displaystyle \begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & x=p & \cdots & x=5 & \cdots\\\hlinef^{\prime}(x) & - & 0 & - & 0 & +\end{array}

그러므로 x=p\displaystyle x=p는 f′(x)=0\displaystyle f^{\prime}(x)=0의 중근이다.(ii) p>5\displaystyle p>5인 경우g′(p)=bf′(p)=0\displaystyle g^{\prime}(p)=bf^{\prime}(p)=0이고 다음이 성립한다.

x⋯x=5⋯x=p⋯\hlinef′(x)−0+0+\displaystyle \begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & x=5 & \cdots & x=p & \cdots\\\hlinef^{\prime}(x) & - & 0 & + & 0 & +\end{array}

그러므로 x=p\displaystyle x=p는 f′(x)=0\displaystyle f^{\prime}(x)=0의 중근이다.

+20점 · f′(x)=0\displaystyle f^{\prime}(x)=0가 x=p (p≠5)\displaystyle x=p\ (p\ne5)인 중근을 가짐을 증명하면

(i)와 (ii)에 의해서 f′(x)=0\displaystyle f^{\prime}(x)=0의 해는 x=5\displaystyle x=5, x=p≠5\displaystyle x=p\ne5(중근)이다.

+10점 · f(x)−f(p)=(x−p)3(3x+p−20)\displaystyle f(x)-f(p)=(x-p)^3(3x+p-20)을 보이면

【2-3】문제 2-2 결과에 의해서 f′(x)=0\displaystyle f^{\prime}(x)=0는 5\displaystyle 5와 p\displaystyle p(중근)인 해를 가진다. 그러므로 f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)는 다음과 같이 나타낼 수 있다.f′(x)=12(x−p)2(x−5)=12(x−p)2(x−p+p−5)=12(x−p)3+12(p−5)(x−p)2\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(x)&=12(x-p)^2(x-5)\\&=12(x-p)^2(x-p+p-5)\\&=12(x-p)^3+12(p-5)(x-p)^2\end{aligned}이것을 적분하면 f(x)=3(x−p)4+4(p−5)(x−p)3+C\displaystyle f(x)=3(x-p)^4+4(p-5)(x-p)^3+C이다. x=p\displaystyle x=p를 대입하면 C=f(p)\displaystyle C=f(p)이다.그러므로 f(x)\displaystyle f(x)는 다음과 같이 나타낼 수 있다.f(x)=3(x−p)4+4(p−5)(x−p)3+f(p)\displaystyle f(x)=3(x-p)^4+4(p-5)(x-p)^3+f(p)즉, f(x)−f(p)=(x−p)3(3x+p−20)\displaystyle f(x)-f(p)=(x-p)^3(3x+p-20)이다. x=5\displaystyle x=5를 양변에 대입하면 다음이 성립한다.f(5)−f(p)=−(5−p)4\displaystyle f(5)-f(p)=-(5-p)^4------------------------------(*)f(p)\displaystyle f(p)를 구하기 위해서 2\displaystyle 2가지 경우를 생각해보자.① p<5\displaystyle p<5인 경우h(t)={1(t≤3)0(t=3)1(3<t<6)0(t=6)1(t>6)\displaystyle h(t)=\begin{cases}1&(t\le3)\\0&(t=3)\\1&(3<t<6)\\0&(t=6)\\1&(t>6)\end{cases} ------------------------------(**)Caution. 범위의 끝값을 포함하거나 제외할 때는 문제의 조건을 확인해야 한다: 이 문제에서는 h(3)=0\displaystyle h(3)=0이다. 따라서 h(t)=1\displaystyle h(t)=1인 첫 구간에 적힌 t≤3\displaystyle t\le3은 t<3\displaystyle t<3의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+10점 · f(p)=1\displaystyle f(p)=1을 보이면

이므로 g(p)=−2f(p)+5=3\displaystyle g(p)=-2f(p)+5=3, g(5)=3f(5)=6\displaystyle g(5)=3f(5)=6이므로 f(p)=1\displaystyle f(p)=1, f(5)=2\displaystyle f(5)=2이다.

+10점 · p<5\displaystyle p<5이면 f(x)\displaystyle f(x)가 존재하지 않음을 보이면

하지만 문제 2-1에 의해 f(5)=1\displaystyle f(5)=1이므로 조건을 만족하는 f(x)\displaystyle f(x)는 존재하지 않는다.

+10점 · f(x)=3(x−6)3(x−143)+2\displaystyle f(x)=3(x-6)^3\left(x-\dfrac{14}3\right)+2임을 보이면

② 5<p\displaystyle 5<p인 경우(**)에 의해서 g(p)=3f(p)=6\displaystyle g(p)=3f(p)=6, g(5)=3f(5)=3\displaystyle g(5)=3f(5)=3이므로 f(p)=2\displaystyle f(p)=2, f(5)=1\displaystyle f(5)=1이다. (*)에 대입 후 5<p\displaystyle 5<p이므로 5−p=−1\displaystyle 5-p=-1이다. 즉, p=6\displaystyle p=6이다. 그러므로 f(x)=3(x−6)3(x−143)+2\displaystyle f(x)=3(x-6)^3\left(x-\dfrac{14}3\right)+2이다.

+10점 · x=6\displaystyle x=6과 x=143\displaystyle x=\dfrac{14}3임을 보이고 그 합을 구하면

곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 직선 y=2\displaystyle y=2가 만나는 점의 x\displaystyle x좌표는 x=6\displaystyle x=6과 x=143\displaystyle x=\dfrac{14}3이고, 그 합은 323\displaystyle \dfrac{32}3이다.

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