자연계열 I 1번

경북대 2024학년도 수시 자연계열 I 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2024su/jayeon1_1

(가) 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm P$ 에 대하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}:\overline{\mathrm{PB}}=m:n\quad(m>0,\ n>0)$ 일 때, 점 $\displaystyle \mathrm P$ 는 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 를 $\displaystyle m:n$ 으로 내분한다고 하고, 점 $\displaystyle \mathrm P$ 를 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 의 내분점이라고 한다.

(나) 세 점 $\displaystyle \mathrm A(x_1,y_1)$ , $\displaystyle \mathrm B(x_2,y_2)$ , $\displaystyle \mathrm C(x_3,y_3)$ 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 의 세 중선은 한 점에서 만나고 이 점을 무게중심이라고 한다. 무게중심의 좌표는 $\displaystyle \left(\dfrac{x_1+x_2+x_3}3,\dfrac{y_1+y_2+y_3}3\right)$ 이다.

(다) 자연수 $\displaystyle n$ 에 대한 명제 $\displaystyle p(n)$ 이 모든 자연수에 대하여 성립함을 증명하려면 다음 두 가지를 보이면 된다.(ⅰ) $\displaystyle n=1$ 일 때 명제 $\displaystyle p(1)$ 이 성립한다.(ⅱ) $\displaystyle n=k$ 일 때 명제 $\displaystyle p(k)$ 가 성립한다고 가정하면 $\displaystyle n=k+1$ 일 때에도 명제 $\displaystyle p(k+1)$ 이 성립한다.

(라) 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 에서 $\displaystyle a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ $\displaystyle b^2=c^2+a^2-2ca\cos B$ $\displaystyle c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ 이다.

좌표평면 위에 한 변의 길이가 $\displaystyle 1$ 이고 무게중심이 원점인 정삼각형 $\displaystyle \mathrm A_1\mathrm B_1\mathrm C_1$ 이 있다. 꼭짓점 $\displaystyle \mathrm A_1$ 은 $\displaystyle y$ 축 위의 점이고 $\displaystyle y$ 좌표는 양수이다. 꼭짓점 $\displaystyle \mathrm B_1$ 은 제3사분면 위의 점이고, 꼭짓점 $\displaystyle \mathrm C_1$ 은 제4사분면 위의 점이다. 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 좌표평면 위의 점 $\displaystyle \mathrm A_n$ , $\displaystyle \mathrm B_n$ , $\displaystyle \mathrm C_n$ 이 아래의 조건을 만족시킨다. (단, $\displaystyle m$ 은 고정된 자연수이다.)

자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여(ㄱ) 점 $\displaystyle \mathrm A_{n+1}$ 은 선분 $\displaystyle \mathrm A_n\mathrm B_n$ 을 $\displaystyle 1:m$ 으로 내분하는 점이다.(ㄴ) 점 $\displaystyle \mathrm B_{n+1}$ 은 선분 $\displaystyle \mathrm B_n\mathrm C_n$ 을 $\displaystyle 1:m$ 으로 내분하는 점이다.(ㄷ) 점 $\displaystyle \mathrm C_{n+1}$ 은 선분 $\displaystyle \mathrm C_n\mathrm A_n$ 을 $\displaystyle 1:m$ 으로 내분하는 점이다.

【1-1】 삼각형 $\displaystyle \mathrm A_{2024}\mathrm B_{2024}\mathrm C_{2024}$ 의 무게중심의 좌표를 구하시오. (30점)

【1-2】 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 삼각형 $\displaystyle \mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n$ 은 정삼각형임을 수학적 귀납법으로 증명하시오. (30점)

【1-3】 $\displaystyle m=2$ 일 때 아래 물음에 답하시오.

(1) 삼각형 $\displaystyle \mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n$ 의 넓이를 $\displaystyle s_n$ 이라 하자. 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty s_n$ 의 수렴과 발산을 조사하고, 수렴하면 그 합을 구하시오. (40점)

(2) 집합 $\displaystyle M=\{\mathrm A_n\mid1\le n\le2024,\ n\text{은 자연수}\}$ 일 때, $\displaystyle M$ 의 원소 중 $\displaystyle x$ 축 위에 있는 점의 개수는 $\displaystyle k$ 이고, 점 $\displaystyle \mathrm A_{2024}$ 는 제 $\displaystyle \ell$ 사분면 위에 있다. 두 자연수 $\displaystyle k$ 와 $\displaystyle \ell$ 의 값을 각각 구하시오. (40점)

해설강의 준비중

경북대 2024학년도 수시 자연계열 I 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2024su/jayeon1_1

+5점 · 삼각형의 무게중심의 좌표를 올바르게 나타낸 경우

+20점 ·

\displaystyle \mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n

과

\displaystyle \mathrm A_{n+1}\mathrm B_{n+1}\mathrm C_{n+1}

의 무게중심이 일치함을 보인 경우 (“각 변을 같은 비율로 내분하므로 무게중심이 같다”는 논리는 인정하지 않음)

【1-1】삼각형 $\displaystyle \mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n$ 의 꼭지점의 좌표를 $\displaystyle \mathrm A_n(p_n,u_n)$ , $\displaystyle \mathrm B_n(q_n,v_n)$ , $\displaystyle \mathrm C_n(r_n,w_n)$ 라 하면 조건에 의해 $\displaystyle p_{n+1}=\dfrac{mp_n+q_n}{m+1}$ , $\displaystyle q_{n+1}=\dfrac{mq_n+r_n}{m+1}$ , $\displaystyle r_{n+1}=\dfrac{mr_n+p_n}{m+1}$ , $\displaystyle u_{n+1}=\dfrac{mu_n+v_n}{m+1}$ , $\displaystyle v_{n+1}=\dfrac{mv_n+w_n}{m+1}$ , $\displaystyle w_{n+1}=\dfrac{mw_n+u_n}{m+1}$ 이다. 각 자연수 $\displaystyle n$ 에 대해 $\displaystyle \dfrac{p_{n+1}+q_{n+1}+r_{n+1}}3=\dfrac{p_n+q_n+r_n}3$ , $\displaystyle \dfrac{u_{n+1}+v_{n+1}+w_{n+1}}3=\dfrac{u_n+v_n+w_n}3$ 이므로 삼각형 $\displaystyle \mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n$ 과 $\displaystyle \mathrm A_{n+1}\mathrm B_{n+1}\mathrm C_{n+1}$ 의 무게중심이 일치한다.

+5점 ·

\displaystyle \mathrm A_{2024}\mathrm B_{2024}\mathrm C_{2024}

의 무게중심이 원점

\displaystyle (0,0)

임을 보인 경우

삼각형 $\displaystyle \mathrm A_1\mathrm B_1\mathrm C_1$ 의 무게중심은 원점이므로 삼각형 $\displaystyle \mathrm A_{2024}\mathrm B_{2024}\mathrm C_{2024}$ 의 무게중심의 좌표도 $\displaystyle (0,0)$ 이다.

+10점 · 수학적귀납법을 올바르게 제시한 경우

【1-2】명제 “ $\displaystyle p(n)$ : 삼각형 $\displaystyle \mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n$ 은 정삼각형이다.”을 증명하자.

+5점 · 수학적귀납법의 초기 조건을 확인한 경우

$\displaystyle n=1$ 일 때, $\displaystyle p(1)$ 은 주어진 조건에 의해 자명하다.

+15점 · 기하적 증명(SAS합동 등)이나 제2코사인 법칙을 이용하여 귀납법을 증명한 경우 (“각 변을 같은 비율로 내분하므로 정삼각형이다”는 논리는 인정하지 않음)

$\displaystyle n=k$ 일 때, $\displaystyle p(n)$ 이 성립한다고 가정하자. 즉, 삼각형 $\displaystyle \mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n$ 은 정삼각형이다. 정삼각형 $\displaystyle \mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n$ 의 변의 길이를 $\displaystyle L_n$ 이라 하면, 조건에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm A_n\mathrm A_{n+1}}=\overline{\mathrm B_n\mathrm B_{n+1}}=\overline{\mathrm C_n\mathrm C_{n+1}}=\dfrac{L_n}{m+1},\quad\overline{\mathrm A_n\mathrm C_{n+1}}=\overline{\mathrm B_n\mathrm A_{n+1}}=\overline{\mathrm C_n\mathrm B_{n+1}}=\dfrac{mL_n}{m+1}$ , $\displaystyle \angle\mathrm C_{n+1}\mathrm A_n\mathrm A_{n+1}=\angle\mathrm A_{n+1}\mathrm B_n\mathrm B_{n+1}=\angle\mathrm B_{n+1}\mathrm C_n\mathrm C_{n+1}=\dfrac\pi3$ .따라서 삼각형 $\displaystyle \mathrm C_{n+1}\mathrm A_n\mathrm A_{n+1}$ , $\displaystyle \mathrm A_{n+1}\mathrm B_n\mathrm B_{n+1}$ , $\displaystyle \mathrm B_{n+1}\mathrm C_n\mathrm C_{n+1}$ 는 모두 SAS합동이다. 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm A_{n+1}\mathrm B_{n+1}}=\overline{\mathrm B_{n+1}\mathrm C_{n+1}}=\overline{\mathrm C_{n+1}\mathrm A_{n+1}}$ 이고 삼각형 $\displaystyle \mathrm A_{n+1}\mathrm B_{n+1}\mathrm C_{n+1}$ 은 정삼각형이다. 따라서 $\displaystyle n=k+1$ 일 때, $\displaystyle p(n)$ 이 성립한다.

[별해]명제 “ $\displaystyle p(n)$ : 삼각형 $\displaystyle \mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n$ 은 정삼각형이다.”을 증명하자. $\displaystyle n=1$ 일 때, $\displaystyle p(1)$ 은 주어진 조건에 의해 자명하다. $\displaystyle n=k$ 일 때, $\displaystyle p(n)$ 이 성립한다고 가정하자. 즉, 삼각형 $\displaystyle \mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n$ 은 정삼각형이다. 정삼각형 $\displaystyle \mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n$ 의 변의 길이를 $\displaystyle L_n$ 이라 하면, 조건에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm A_n\mathrm A_{n+1}}=\overline{\mathrm B_n\mathrm B_{n+1}}=\overline{\mathrm C_n\mathrm C_{n+1}}=\dfrac{L_n}{m+1},\quad\overline{\mathrm A_n\mathrm C_{n+1}}=\overline{\mathrm B_n\mathrm A_{n+1}}=\overline{\mathrm C_n\mathrm B_{n+1}}=\dfrac{mL_n}{m+1}$ ,삼각형 $\displaystyle \mathrm C_{n+1}\mathrm A_n\mathrm A_{n+1}$ , $\displaystyle \mathrm A_{n+1}\mathrm B_n\mathrm B_{n+1}$ , $\displaystyle \mathrm B_{n+1}\mathrm C_n\mathrm C_{n+1}$ 에 제2코사인법칙을 사용하면, $\displaystyle \overline{\mathrm C_{n+1}\mathrm A_{n+1}}^2=\overline{\mathrm A_n\mathrm A_{n+1}}^2+\overline{\mathrm A_n\mathrm C_{n+1}}^2-2\overline{\mathrm A_n\mathrm A_{n+1}}\overline{\mathrm A_n\mathrm C_{n+1}}\cos\left(\dfrac\pi3\right)=\dfrac{1-m+m^2}{(1+m)^2}L_n^2$ $\displaystyle \overline{\mathrm A_{n+1}\mathrm B_{n+1}}^2=\overline{\mathrm B_n\mathrm B_{n+1}}^2+\overline{\mathrm B_n\mathrm A_{n+1}}^2-2\overline{\mathrm B_n\mathrm B_{n+1}}\overline{\mathrm B_n\mathrm A_{n+1}}\cos\left(\dfrac\pi3\right)=\dfrac{1-m+m^2}{(1+m)^2}L_n^2$ $\displaystyle \overline{\mathrm B_{n+1}\mathrm C_{n+1}}^2=\overline{\mathrm C_n\mathrm C_{n+1}}^2+\overline{\mathrm C_n\mathrm B_{n+1}}^2-2\overline{\mathrm C_n\mathrm C_{n+1}}\overline{\mathrm C_n\mathrm B_{n+1}}\cos\left(\dfrac\pi3\right)=\dfrac{1-m+m^2}{(1+m)^2}L_n^2$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm A_{n+1}\mathrm B_{n+1}}=\overline{\mathrm B_{n+1}\mathrm C_{n+1}}=\overline{\mathrm C_{n+1}\mathrm A_{n+1}}=\dfrac{\sqrt{1-m+m^2}}{1+m}L_n$ 이고 삼각형 $\displaystyle \mathrm A_{n+1}\mathrm B_{n+1}\mathrm C_{n+1}$ 은 정삼각형이므로 $\displaystyle n=k+1$ 일 때, $\displaystyle p(n)$ 이 성립한다.

+5점 · 초항

\displaystyle s_1

을 올바르게 계산한 경우

【1-3】(1) 정삼각형 $\displaystyle \mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n$ 의 변의 길이를 $\displaystyle L_n$ 이라 하면, 넓이 $\displaystyle s_n=\dfrac{\sqrt3L_n^2}4$ 이다. 정삼각형 $\displaystyle \mathrm A_1\mathrm B_1\mathrm C_1$ 은 변의 길이가 $\displaystyle 1$ 이므로, $\displaystyle s_1=\dfrac{\sqrt3}4$ 이다.

+20점 ·

\displaystyle s_n

이 등비수열임을 올바르게 보인 경우

한편 $\displaystyle m=2$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm A_n\mathrm A_{n+1}}=\dfrac{L_n}3$ , $\displaystyle \overline{\mathrm A_n\mathrm C_{n+1}}=\dfrac{2L_n}3$ 이다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm C_{n+1}\mathrm A_n\mathrm A_{n+1}$ 에 코사인 제2법칙을 사용하면 $\displaystyle L_{n+1}^2=\overline{\mathrm A_{n+1}\mathrm C_{n+1}}^2=\overline{\mathrm A_n\mathrm A_{n+1}}^2+\overline{\mathrm A_n\mathrm C_{n+1}}^2-2\overline{\mathrm A_n\mathrm A_{n+1}}\overline{\mathrm A_n\mathrm C_{n+1}}\cos\left(\dfrac\pi3\right)=\dfrac{L_n^2}9+\dfrac{4L_n^2}9-\dfrac{2L_n^2}9=\dfrac{L_n^2}3$ 이다. 따라서 $\displaystyle s_{n+1}=\dfrac{\sqrt3L_{n+1}^2}4=\dfrac{\sqrt3L_n^2}{12}=\dfrac{s_n}3$ 이므로 수열 $\displaystyle s_n$ 은 초항이 $\displaystyle \dfrac{\sqrt3}4$ 이고 공비가 $\displaystyle \dfrac13$ 인 등비수열이다.

+10점 · 공비를 올바르게 계산하고 수렴성을 확인한 경우

공비가 $\displaystyle 1$ 보다 작으므로 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty s_n$ 은 수렴하고

+10점 · 수의 합을 올바르게 계산한 경우

Correction. [1-3](1)의 배점은 40점이나 채점기준의 세부 배점은 $\displaystyle 5+20+10+10=45$ 점으로 제시되어 있다. 다른 소문항의 배점은 모두 일치하므로 [1-3](1)의 세부 배점에 오기가 있다. 어느 채점 항목의 배점을 몇 점으로 고쳐야 하는지는 제시된 자료만으로 확정할 수 없다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

급수의 합은 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty s_n=\dfrac{3\sqrt3}8$ 이다.

[별해]정삼각형 $\displaystyle \mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n$ 의 변의 길이를 $\displaystyle L_n$ 이라 하면, 넓이 $\displaystyle s_n=\dfrac{\sqrt3L_n^2}4$ 이다. 정삼각형 $\displaystyle \mathrm A_1\mathrm B_1\mathrm C_1$ 은 변의 길이가 $\displaystyle 1$ 이므로, $\displaystyle s_1=\dfrac{\sqrt3}4$ 이다. 한편 $\displaystyle m=2$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm A_n\mathrm A_{n+1}}=\dfrac{L_n}3$ , $\displaystyle \overline{\mathrm A_n\mathrm C_{n+1}}=\dfrac{2L_n}3$ 이다. 각 $\displaystyle \mathrm C_{n+1}\mathrm A_n\mathrm A_{n+1}$ 이 $\displaystyle \dfrac\pi3$ 이므로 삼각형 $\displaystyle \mathrm C_{n+1}\mathrm A_n\mathrm A_{n+1}$ 는 직각삼각형이고 $\displaystyle \overline{\mathrm B_{n+1}\mathrm C_{n+1}}=\dfrac{\sqrt3}3L_n$ 이다. 따라서 $\displaystyle s_{n+1}=\dfrac{\sqrt3L_{n+1}^2}4=\dfrac{\sqrt3L_n^2}{12}=\dfrac{s_n}3$ 이므로 수열 $\displaystyle s_n$ 은 초항이 $\displaystyle \dfrac{\sqrt3}4$ 이고 공비가 $\displaystyle \dfrac13$ 인 등비수열이다. 공비가 $\displaystyle 1$ 보다 작으므로 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty s_n$ 은 수렴하고 급수의 합은 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty s_n=\dfrac{3\sqrt3}8$ 이다.

+15점 · 각

\displaystyle \mathrm A_n\mathrm O\mathrm A_{n+1}

이

\displaystyle \dfrac\pi6

임을 보인경우

(2) 삼각형 $\displaystyle \mathrm O\mathrm A_n\mathrm A_{n+1}$ 은 한 밑각이 $\displaystyle \dfrac\pi6$ 인 이등변 삼각형이므로 시초선 $\displaystyle \mathrm{OA}_1$ 과 동경 $\displaystyle \mathrm{OA}_n$ 가 나타내는 각은 $\displaystyle n$ 이 $\displaystyle 1$ 씩 커질 때마다 $\displaystyle \dfrac\pi6$ 만큼 증가한다.

+15점 ·

\displaystyle \mathrm A_n

이

\displaystyle x

축 위에 있을 조건을 올바르게 찾거나

\displaystyle \mathrm A_4,\mathrm A_{10},\mathrm A_{16},\cdots

과 같이 나열한 경우

또한 $\displaystyle \mathrm A_1$ 이 $\displaystyle y$ 축 위의 점이므로, 각 자연수 $\displaystyle d$ 에 대하여 $\displaystyle \mathrm A_{6d-2}$ 가 $\displaystyle x$ 축 위의 점이다.

+10점 · 답이 맞은 경우

$\displaystyle 1\le6d-2\le2024$ 일 때 $\displaystyle \mathrm A_{6d-2}$ 가 $\displaystyle M$ 의 원소가 되므로 $\displaystyle 1\le d\le337$ . 따라서 $\displaystyle k=337$ .시초선 $\displaystyle \mathrm{OA}_1$ 과 동경 $\displaystyle \mathrm{OA}_{2024}$ 가 나타내는 각은 $\displaystyle 2023\times\dfrac\pi6=168\times2\pi+\dfrac{7\pi}6$ 이므로 $\displaystyle \mathrm A_{2024}$ 는 제4사분면의 점이다.따라서 $\displaystyle \ell=4$ .

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