자연계열 I 1번

【1-1】삼각형 $\displaystyle \mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n$의 꼭지점의 좌표를 $\displaystyle \mathrm A_n(p_n,u_n)$, $\displaystyle \mathrm B_n(q_n,v_n)$, $\displaystyle \mathrm C_n(r_n,w_n)$라 하면 조건에 의해$\displaystyle p_{n+1}=\dfrac{mp_n+q_n}{m+1}$, $\displaystyle q_{n+1}=\dfrac{mq_n+r_n}{m+1}$, $\displaystyle r_{n+1}=\dfrac{mr_n+p_n}{m+1}$, $\displaystyle u_{n+1}=\dfrac{mu_n+v_n}{m+1}$, $\displaystyle v_{n+1}=\dfrac{mv_n+w_n}{m+1}$, $\displaystyle w_{n+1}=\dfrac{mw_n+u_n}{m+1}$이다. 각 자연수 $\displaystyle n$에 대해 $\displaystyle \dfrac{p_{n+1}+q_{n+1}+r_{n+1}}3=\dfrac{p_n+q_n+r_n}3$, $\displaystyle \dfrac{u_{n+1}+v_{n+1}+w_{n+1}}3=\dfrac{u_n+v_n+w_n}3$이므로 삼각형 $\displaystyle \mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n$과 $\displaystyle \mathrm A_{n+1}\mathrm B_{n+1}\mathrm C_{n+1}$의 무게중심이 일치한다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm A_1\mathrm B_1\mathrm C_1$의 무게중심은 원점이므로 삼각형 $\displaystyle \mathrm A_{2024}\mathrm B_{2024}\mathrm C_{2024}$의 무게중심의 좌표도 $\displaystyle (0,0)$이다.

【1-2】명제 “$\displaystyle p(n)$ : 삼각형 $\displaystyle \mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n$은 정삼각형이다.”을 증명하자.$\displaystyle n=1$일 때, $\displaystyle p(1)$은 주어진 조건에 의해 자명하다.$\displaystyle n=k$일 때, $\displaystyle p(n)$이 성립한다고 가정하자. 즉, 삼각형 $\displaystyle \mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n$은 정삼각형이다. 정삼각형 $\displaystyle \mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n$의 변의 길이를 $\displaystyle L_n$이라 하면, 조건에 의해$\displaystyle \overline{\mathrm A_n\mathrm A_{n+1}}=\overline{\mathrm B_n\mathrm B_{n+1}}=\overline{\mathrm C_n\mathrm C_{n+1}}=\dfrac{L_n}{m+1},\quad\overline{\mathrm A_n\mathrm C_{n+1}}=\overline{\mathrm B_n\mathrm A_{n+1}}=\overline{\mathrm C_n\mathrm B_{n+1}}=\dfrac{mL_n}{m+1}$,$\displaystyle \angle\mathrm C_{n+1}\mathrm A_n\mathrm A_{n+1}=\angle\mathrm A_{n+1}\mathrm B_n\mathrm B_{n+1}=\angle\mathrm B_{n+1}\mathrm C_n\mathrm C_{n+1}=\dfrac\pi3$.따라서 삼각형 $\displaystyle \mathrm C_{n+1}\mathrm A_n\mathrm A_{n+1}$, $\displaystyle \mathrm A_{n+1}\mathrm B_n\mathrm B_{n+1}$, $\displaystyle \mathrm B_{n+1}\mathrm C_n\mathrm C_{n+1}$는 모두 SAS합동이다. 따라서$\displaystyle \overline{\mathrm A_{n+1}\mathrm B_{n+1}}=\overline{\mathrm B_{n+1}\mathrm C_{n+1}}=\overline{\mathrm C_{n+1}\mathrm A_{n+1}}$이고 삼각형 $\displaystyle \mathrm A_{n+1}\mathrm B_{n+1}\mathrm C_{n+1}$은 정삼각형이다. 따라서 $\displaystyle n=k+1$일 때, $\displaystyle p(n)$이 성립한다.

【1-3】(1) 정삼각형 $\displaystyle \mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n$의 변의 길이를 $\displaystyle L_n$이라 하면, 넓이 $\displaystyle s_n=\dfrac{\sqrt3L_n^2}4$이다. 정삼각형 $\displaystyle \mathrm A_1\mathrm B_1\mathrm C_1$은 변의 길이가 $\displaystyle 1$이므로, $\displaystyle s_1=\dfrac{\sqrt3}4$이다. 한편 $\displaystyle m=2$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm A_n\mathrm A_{n+1}}=\dfrac{L_n}3$, $\displaystyle \overline{\mathrm A_n\mathrm C_{n+1}}=\dfrac{2L_n}3$이다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm C_{n+1}\mathrm A_n\mathrm A_{n+1}$에 코사인 제2법칙을 사용하면$\displaystyle L_{n+1}^2=\overline{\mathrm A_{n+1}\mathrm C_{n+1}}^2=\overline{\mathrm A_n\mathrm A_{n+1}}^2+\overline{\mathrm A_n\mathrm C_{n+1}}^2-2\overline{\mathrm A_n\mathrm A_{n+1}}\overline{\mathrm A_n\mathrm C_{n+1}}\cos\left(\dfrac\pi3\right)=\dfrac{L_n^2}9+\dfrac{4L_n^2}9-\dfrac{2L_n^2}9=\dfrac{L_n^2}3$이다. 따라서 $\displaystyle s_{n+1}=\dfrac{\sqrt3L_{n+1}^2}4=\dfrac{\sqrt3L_n^2}{12}=\dfrac{s_n}3$이므로 수열 $\displaystyle s_n$은 초항이 $\displaystyle \dfrac{\sqrt3}4$이고 공비가 $\displaystyle \dfrac13$인 등비수열이다. 공비가 $\displaystyle 1$보다 작으므로 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty s_n$은 수렴하고 급수의 합은 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty s_n=\dfrac{3\sqrt3}8$이다.

(2) 삼각형 $\displaystyle \mathrm O\mathrm A_n\mathrm A_{n+1}$은 한 밑각이 $\displaystyle \dfrac\pi6$인 이등변 삼각형이므로 시초선 $\displaystyle \mathrm{OA}_1$과 동경 $\displaystyle \mathrm{OA}_n$가 나타내는 각은 $\displaystyle n$이 $\displaystyle 1$씩 커질 때마다 $\displaystyle \dfrac\pi6$만큼 증가한다. 또한 $\displaystyle \mathrm A_1$이 $\displaystyle y$축 위의 점이므로, 각 자연수 $\displaystyle d$에 대하여 $\displaystyle \mathrm A_{6d-2}$가 $\displaystyle x$축 위의 점이다. $\displaystyle 1\le6d-2\le2024$일 때 $\displaystyle \mathrm A_{6d-2}$가 $\displaystyle M$의 원소가 되므로 $\displaystyle 1\le d\le337$. 따라서 $\displaystyle k=337$.시초선 $\displaystyle \mathrm{OA}_1$과 동경 $\displaystyle \mathrm{OA}_{2024}$가 나타내는 각은 $\displaystyle 2023\times\dfrac\pi6=168\times2\pi+\dfrac{7\pi}6$이므로 $\displaystyle \mathrm A_{2024}$는 제4사분면의 점이다.따라서 $\displaystyle \ell=4$.