자연계열 I 2번

【2-1】점 $\displaystyle \mathrm A(18,0)$과 점 $\displaystyle \mathrm B(0,24)$의 좌표를 이용하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=30$이다. 점 $\displaystyle \mathrm C$에서 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$로 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm H$라 하자. 조건에 따라 $\displaystyle \overline{\mathrm{AH}}:\overline{\mathrm{BH}}=1:3$이므로, $\displaystyle \overline{\mathrm{AH}}=\dfrac{15}2$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BH}}=\dfrac{45}2$이다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$는 각 $\displaystyle \angle\mathrm{AOB}$가 직각인 직각삼각형이므로 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$의 외접원의 지름이다. 한편 조건에 따라 점 $\displaystyle \mathrm C$도 같은 원 위에 있으므로 $\displaystyle \angle\mathrm{ACB}$ 또한 직각이다. 따라서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{CAH}$, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{BCH}$, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{BAC}$가 닮음이다. 삼각형의 닮음, $\displaystyle \overline{\mathrm{AH}}=\dfrac{15}2$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BH}}=\dfrac{45}2$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AH}}:\overline{\mathrm{BH}}=1:3$을 이용하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}=15$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=15\sqrt3$이다.답: $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}=15$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=15\sqrt3$

【2-2】$\displaystyle p(t)$의 차수를 $\displaystyle m$이라 하면 $\displaystyle p(t^2p(2t))$는 $\displaystyle t$에 대한 $\displaystyle m(m+2)$차식, $\displaystyle p(tp(t^2))$은 $\displaystyle m(2m+1)$차식, $\displaystyle 121t^3$은 $\displaystyle 3$차식이다. $\displaystyle m=0$이라면 모든 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle 121t^3$이 상수여야 하므로 모순이다. 따라서 $\displaystyle m\ge1$이고, 따라서 $\displaystyle m=1$이다. $\displaystyle p(t)=\beta t+C$라고 하자. 조건에 따라 $\displaystyle \beta>0$이다. 모든 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle p(t^2p(2t))-p(tp(t^2))-121t^3=(\beta^2-121)t^3+\beta Ct^2-\beta Ct=0$이고 $\displaystyle \beta>0$이므로 $\displaystyle C=0$이고 $\displaystyle \beta=11$이다. 따라서 $\displaystyle p(x)=11x$이다.답: $\displaystyle p(x)=11x$

【2-3】$\displaystyle f^{\prime}(x)=\dfrac{11(-3x^2+1)}{(x^2+1)^3}$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$인 $\displaystyle x$는 $\displaystyle -\dfrac1{\sqrt3}$, $\displaystyle \dfrac1{\sqrt3}$뿐이다. $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 부호가 $\displaystyle -\dfrac1{\sqrt3}$좌우에서 음에서 양으로 바뀌므로 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=-\dfrac1{\sqrt3}$에서 극소이다. $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 부호가 $\displaystyle \dfrac1{\sqrt3}$좌우에서 양에서 음으로 바뀌므로 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=\dfrac1{\sqrt3}$에서 극대이다.답: $\displaystyle c_1=-\dfrac1{\sqrt3}=-\dfrac{\sqrt3}3$, $\displaystyle c_2=\dfrac1{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}3$

【2-4】 수학이가 선택한 $\displaystyle n$에 대하여 방해꾼이 점 $\displaystyle \mathrm C$에 도착한 시각을 $\displaystyle T_1$, 수학이가 점 $\displaystyle \mathrm C$에 도착한 시각을 $\displaystyle T$라 하면 $\displaystyle T_1=\dfrac{15\sqrt3}n$이고 등식 $\displaystyle 15=\int_0^T\dfrac{11n^3t}{(t^2+n^2)^2}\,dt$이 성립한다. 치환적분을 활용하면, $\displaystyle 15=\dfrac{11n^3}2\left(\dfrac1{n^2}-\dfrac1{n^2+T^2}\right)=\dfrac{11nT^2}{2(n^2+T^2)}$이다. 등식으로부터 $\displaystyle (11n-30)T^2=30n^2$이다.$\displaystyle T^2>0$이므로 수학이가 선택한 $\displaystyle n$은 $\displaystyle 3$이상이다. 수학이가 점 $\displaystyle \mathrm C$에 먼저 도착하였으므로 수학이가 선택한 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle \dfrac{30n^2}{11n-30}<\left(\dfrac{15\sqrt3}n\right)^2$이다. 즉, $\displaystyle 2n^4-495n+1350<0$이다.$\displaystyle h(x)=2x^4-495x+1350$이라고 하면 $\displaystyle h(3)\ge0$, $\displaystyle h(4)<0$, $\displaystyle h(5)\ge0$이다. 모든 $\displaystyle x\ge5$에 대하여 $\displaystyle h^{\prime}(x)=8x^3-495\ge0$이므로, $\displaystyle h(n)<0$을 만족하는 자연수 $\displaystyle n$은 $\displaystyle 4$뿐이다.답: $\displaystyle n=4$