자연계열 I 2번

경북대 2024학년도 수시 자연계열 I 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2024su/jayeon1_2

(가) 미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$ 이고 $\displaystyle x=a$ 의 좌우에서(ⅰ) $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극대이다.(ⅱ) $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극소이다.

(나) 좌표평면 위를 움직이는 점 $\displaystyle \mathrm P$ 의 시각 $\displaystyle t$ 에서의 위치가 $\displaystyle x=f(t)$ , $\displaystyle y=g(t)$ 일 때, 점 $\displaystyle \mathrm P$ 의 시각 $\displaystyle t$ 에서의 속력 $\displaystyle h(t)$ 는 $\displaystyle h(t)=\sqrt{\{f^{\prime}(t)\}^2+\{g^{\prime}(t)\}^2}$ 이고, 시각 $\displaystyle t=a$ 에서 $\displaystyle t=b$ 까지 점 $\displaystyle \mathrm P$ 가 움직인 거리 $\displaystyle s$ 는 $\displaystyle s=\int_a^bh(t)\,dt$ 이다.

※ 모든 문항에서 풀이 과정을 반드시 기술하시오.

좌표평면에서 우주선으로 이동하는 수학이와 폭탄의 이동 경로를 나타낸 원본 삽화

수학이가 좌표평면 위에서 진행되는 혹성탈출게임을 한다. 수학이는 점 $\displaystyle \mathrm A(18,0)$ 에서 아래의 단서를 찾았다.

(ㄱ) 폭탄의 위치는 점 $\displaystyle \mathrm B(0,24)$ 이다.(ㄴ) 탈출을 위한 우주선의 위치는 제1사분면 위의 점 $\displaystyle \mathrm C$ 이다.(ㄷ) 점 $\displaystyle \mathrm C$ 에서 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 에 내린 수선의 발은 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 를 $\displaystyle 1:3$ 으로 내분한다.(ㄹ) 네 점 $\displaystyle \mathrm O,A,B,C$ 가 한 원 위에 있다. (단, $\displaystyle \mathrm O$ 는 원점이다.)

【2-1】 선분 $\displaystyle \mathrm{AC}$ 와 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$ 의 길이를 각각 구하시오. (30점)

아래 규칙에 따라 수학이가 우주선의 위치로 이동한다.

(ㄱ) 수학이는 $\displaystyle 10$ 보다 작은 자연수 $\displaystyle n$ 을 선택한다.(ㄴ) 선택이 끝난 후, 시각 $\displaystyle t=0$ 일 때 수학이와 폭탄이 각각 점 $\displaystyle \mathrm A$ 와 점 $\displaystyle \mathrm B$ 에서 출발하여 점 $\displaystyle \mathrm C$ 를 향한 방향으로 선분 $\displaystyle \mathrm{AC}$ 와 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$ 를 따라 이동한다.(단, 수학이와 폭탄의 운동 방향은 바뀌지 않는다.)(ㄷ) 수학이가 선택한 $\displaystyle n$ 에 대하여, 시각 $\displaystyle t$ ( $\displaystyle t\ge0$ )에서의 폭탄의 속력은 $\displaystyle n$ 이고, 수학이의 속력은 $\displaystyle \dfrac{n^3p(t)}{(t^2+n^2)^2}$ 이다.(ㄹ) 함수 $\displaystyle p(x)$ 는 최고차항의 계수가 양수인 다항함수이고,모든 실수 $\displaystyle t$ 에 대하여 $\displaystyle p(t^2p(2t))=p(tp(t^2))+121t^3$ 이다.

다음 물음에 답하시오.

【2-2】 $\displaystyle p(x)$ 를 구하시오. (40점)

【2-3】 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $\displaystyle f(x)=\dfrac{p(x)}{(x^2+1)^2}$ 는 $\displaystyle x=c_1$ 에서 극소이고 $\displaystyle x=c_2$ 에서 극대이다. 두 실수 $\displaystyle c_1$ 과 $\displaystyle c_2$ 를 각각 구하시오. (20점)

【2-4】 수학이가 폭탄보다 먼저 점 $\displaystyle \mathrm C$ 에 도착하였다. 수학이가 선택한 $\displaystyle n$ 의 값을 구하시오. (50점)

해설강의 준비중

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+15점 · 답

\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}=15

가 맞으면

+15점 · 답

\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=15\sqrt3

가 맞으면

【2-1】점 $\displaystyle \mathrm A(18,0)$ 과 점 $\displaystyle \mathrm B(0,24)$ 의 좌표를 이용하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=30$ 이다. 점 $\displaystyle \mathrm C$ 에서 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 로 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm H$ 라 하자. 조건에 따라 $\displaystyle \overline{\mathrm{AH}}:\overline{\mathrm{BH}}=1:3$ 이므로, $\displaystyle \overline{\mathrm{AH}}=\dfrac{15}2$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{BH}}=\dfrac{45}2$ 이다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$ 는 각 $\displaystyle \angle\mathrm{AOB}$ 가 직각인 직각삼각형이므로 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$ 의 외접원의 지름이다. 한편 조건에 따라 점 $\displaystyle \mathrm C$ 도 같은 원 위에 있으므로 $\displaystyle \angle\mathrm{ACB}$ 또한 직각이다. 따라서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{CAH}$ , 삼각형 $\displaystyle \mathrm{BCH}$ , 삼각형 $\displaystyle \mathrm{BAC}$ 가 닮음이다. 삼각형의 닮음, $\displaystyle \overline{\mathrm{AH}}=\dfrac{15}2$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{BH}}=\dfrac{45}2$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{AH}}:\overline{\mathrm{BH}}=1:3$ 을 이용하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}=15$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=15\sqrt3$ 이다.답: $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}=15$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=15\sqrt3$

+40점 ·

\displaystyle p(x)=11x

를 맞게 구했으면

【2-2】 $\displaystyle p(t)$ 의 차수를 $\displaystyle m$ 이라 하면 $\displaystyle p(t^2p(2t))$ 는 $\displaystyle t$ 에 대한 $\displaystyle m(m+2)$ 차식, $\displaystyle p(tp(t^2))$ 은 $\displaystyle m(2m+1)$ 차식, $\displaystyle 121t^3$ 은 $\displaystyle 3$ 차식이다. $\displaystyle m=0$ 이라면 모든 $\displaystyle t$ 에 대하여 $\displaystyle 121t^3$ 이 상수여야 하므로 모순이다. 따라서 $\displaystyle m\ge1$ 이고, 따라서 $\displaystyle m=1$ 이다. $\displaystyle p(t)=\beta t+C$ 라고 하자. 조건에 따라 $\displaystyle \beta>0$ 이다. 모든 $\displaystyle t$ 에 대하여 $\displaystyle p(t^2p(2t))-p(tp(t^2))-121t^3=(\beta^2-121)t^3+\beta Ct^2-\beta Ct=0$ 이고 $\displaystyle \beta>0$ 이므로 $\displaystyle C=0$ 이고 $\displaystyle \beta=11$ 이다. 따라서 $\displaystyle p(x)=11x$ 이다.답: $\displaystyle p(x)=11x$

+10점 · 답

\displaystyle c_1=-\dfrac1{\sqrt3}=-\dfrac{\sqrt3}3

이 맞으면

+10점 · 답

\displaystyle c_2=\dfrac1{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}3

이 맞으면 (

\displaystyle c_1

과

\displaystyle c_2

의 부호를 바꾸어 구했으면 5점)

【2-3】 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\dfrac{11(-3x^2+1)}{(x^2+1)^3}$ 이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$ 인 $\displaystyle x$ 는 $\displaystyle -\dfrac1{\sqrt3}$ , $\displaystyle \dfrac1{\sqrt3}$ 뿐이다. $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 의 부호가 $\displaystyle -\dfrac1{\sqrt3}$ 좌우에서 음에서 양으로 바뀌므로 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=-\dfrac1{\sqrt3}$ 에서 극소이다. $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 의 부호가 $\displaystyle \dfrac1{\sqrt3}$ 좌우에서 양에서 음으로 바뀌므로 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=\dfrac1{\sqrt3}$ 에서 극대이다.답: $\displaystyle c_1=-\dfrac1{\sqrt3}=-\dfrac{\sqrt3}3$ , $\displaystyle c_2=\dfrac1{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}3$

+5점 · 치환적분법을 활용하기 위하여

\displaystyle t^2+n^2=g(t)

꼴로 치환했으면

+10점 · 치환적분법을 활용하여

\displaystyle \int_0^T\dfrac{11n^3t}{(t^2+n^2)^2}\,dt=\dfrac{11nT^2}{2(n^2+T^2)}=-\dfrac{11}2\dfrac{n^3}{n^2+T^2}+\dfrac{11n}2

임을 맞게 구했으면

【2-4】 수학이가 선택한 $\displaystyle n$ 에 대하여 방해꾼이 점 $\displaystyle \mathrm C$ 에 도착한 시각을 $\displaystyle T_1$ , 수학이가 점 $\displaystyle \mathrm C$ 에 도착한 시각을 $\displaystyle T$ 라 하면 $\displaystyle T_1=\dfrac{15\sqrt3}n$ 이고 등식 $\displaystyle 15=\int_0^T\dfrac{11n^3t}{(t^2+n^2)^2}\,dt$ 이 성립한다. 치환적분을 활용하면, $\displaystyle 15=\dfrac{11n^3}2\left(\dfrac1{n^2}-\dfrac1{n^2+T^2}\right)=\dfrac{11nT^2}{2(n^2+T^2)}$ 이다. 등식으로부터 $\displaystyle (11n-30)T^2=30n^2$ 이다.

+15점 · 부등식

\displaystyle 2n^4-3^2\times5\times11\times n+2\times3^3\times5^2<0

또는 동등한 부등식을 유도하였으면

+15점 · 답

\displaystyle n=4

가 맞으면

+5점 ·

\displaystyle n\ge5

에서 답이 없음을 확인하였으면

$\displaystyle T^2>0$ 이므로 수학이가 선택한 $\displaystyle n$ 은 $\displaystyle 3$ 이상이다. 수학이가 점 $\displaystyle \mathrm C$ 에 먼저 도착하였으므로 수학이가 선택한 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle \dfrac{30n^2}{11n-30}<\left(\dfrac{15\sqrt3}n\right)^2$ 이다. 즉, $\displaystyle 2n^4-495n+1350<0$ 이다. $\displaystyle h(x)=2x^4-495x+1350$ 이라고 하면 $\displaystyle h(3)\ge0$ , $\displaystyle h(4)<0$ , $\displaystyle h(5)\ge0$ 이다. 모든 $\displaystyle x\ge5$ 에 대하여 $\displaystyle h^{\prime}(x)=8x^3-495\ge0$ 이므로, $\displaystyle h(n)<0$ 을 만족하는 자연수 $\displaystyle n$ 은 $\displaystyle 4$ 뿐이다.답: $\displaystyle n=4$

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