수리논술, 이게 다다.

자연계열 I 1번

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경북대 2026학년도 모의 자연계열 I 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2026mo/jayeon1_1

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다음 문제

문제

(가) 2\displaystyle 2 이상의 자연수 k\displaystyle k에 대하여 부등식12+13+⋯+1k≤∫1k1x dx≤1+12+13+⋯+1k−1\displaystyle \dfrac12+\dfrac13+\cdots+\dfrac1k\le\int_1^k\dfrac1x\,dx\le1+\dfrac12+\dfrac13+\cdots+\dfrac1{k-1}이 성립한다.

(나) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속이고 f(x)≥0\displaystyle f(x)\ge0일 때, 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 x\displaystyle x축 및 두 직선 x=a\displaystyle x=a, x=b\displaystyle x=b로 둘러싸인 도형의 넓이 S\displaystyle S는S=∫abf(x) dx\displaystyle S=\int_a^bf(x)\,dx

(다) 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여 1+x≤ex\displaystyle 1+x\le e^x

(라) a>0\displaystyle a>0이고 x\displaystyle x, y\displaystyle y가 실수일 때 axay=ax+y\displaystyle a^xa^y=a^{x+y}

(마) 실수 p\displaystyle p와 r\displaystyle r에 대하여 r>1\displaystyle r>1일 때,lim⁡n→∞nprn=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{n^p}{r^n}=0

※ 모든 문항에서 풀이 과정을 반드시 기술하시오.

실수 r>1\displaystyle r>1에 대하여 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}과 {bn}\displaystyle \{b_n\}이 다음을 만족시킨다.

(ⅰ) a1=1\displaystyle a_1=1이고, 자연수 n\displaystyle n에 대하여 an+1=(r−1n)an\displaystyle a_{n+1}=\left(r-\dfrac1n\right)a_n

(ⅱ) 자연수 n\displaystyle n에 대하여 an+1=rnbnbn−1bn−2⋯b2b1\displaystyle a_{n+1}=r^nb_nb_{n-1}b_{n-2}\cdots b_2b_1

다음 물음에 답하시오.

【1-1】 수열 {bn}\displaystyle \{b_n\}의 일반항을 구하시오. (20점)

【1-2】 2\displaystyle 2 이상의 자연수 n\displaystyle n에 대하여 부등식 bn≥(1+1r(n−1))−1\displaystyle b_n\ge\left(1+\dfrac1{r(n-1)}\right)^{-1}이 성립함을 보이시오. (20점)

【1-3】 제시문 (가)의 두 부등식이 성립하는 이유를 제시문 (나)를 이용하여 설명하고, 수열 {rnan+1}\displaystyle \left\{\dfrac{r^n}{a_{n+1}}\right\}의 수렴과 발산을 조사하시오. (40점)

【1-4】 r=3\displaystyle r=3일 때 lim⁡n→∞an+1np3n=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}n^p}{3^n}=0이 성립하도록 하는 실수 p\displaystyle p의 범위를 구하시오. (40점)

해설강의 준비중

경북대 2026학년도 모의 자연계열 I 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2026mo/jayeon1_1

+20점 · bn=1−1rn\displaystyle b_n=1-\dfrac1{rn}을 맞게 구하였으면

【1-1】 a1=1\displaystyle a_1=1이고, 자연수 n\displaystyle n에 대하여 an>0\displaystyle a_n>0이면 an+1=(r−1n)an≥(r−1)an>0\displaystyle a_{n+1}=\left(r-\dfrac1n\right)a_n\ge(r-1)a_n>0이므로, 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 an>0\displaystyle a_n>0이다. 조건 (ⅰ)로부터 an+1an=(r−1n)\displaystyle \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\left(r-\dfrac1n\right)이고, 조건 (ⅱ)로부터 an+1an=rbn\displaystyle \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=rb_n이므로 bn=1−1rn\displaystyle b_n=1-\dfrac1{rn}이다.

+20점 · 부등식 bn≥(1+1r(n−1))−1\displaystyle b_n\ge\left(1+\dfrac1{r(n-1)}\right)^{-1} n≥2\displaystyle n\ge2의 유도과정이 맞았으면

【1-2】 n≥2\displaystyle n\ge2일 때, bn=rn−1rn=(rnrn−1)−1=(1+1rn−1)−1\displaystyle b_n=\dfrac{rn-1}{rn}=\left(\dfrac{rn}{rn-1}\right)^{-1}=\left(1+\dfrac1{rn-1}\right)^{-1}이고 r>1\displaystyle r>1이므로 bn≥(1+1r(n−1))−1\displaystyle b_n\ge\left(1+\dfrac1{r(n-1)}\right)^{-1}이다.

+10점 · 넓이를 이용하여 12+13+⋯+1k≤∫1k1x dx\displaystyle \dfrac12+\dfrac13+\cdots+\dfrac1k\le\int_1^k\dfrac1x\,dx를 설명하였으면

【1-3】 k≥2\displaystyle k\ge2일 때, 함수 f(x)=1x\displaystyle f(x)=\dfrac1x(단, x≥1\displaystyle x\ge1)의 그래프와 x\displaystyle x축 및 두 직선 x=1\displaystyle x=1, x=k\displaystyle x=k로 둘러싸인 도형의 넓이 S\displaystyle S는 구간 [m,m+1]\displaystyle [m,m+1], (m=1,2,⋯ ,k−1\displaystyle m=1,2,\cdots,k-1)에서 함수의 최솟값 1m+1\displaystyle \dfrac1{m+1}을 높이로 하는 직사각형들을 만들었을 때 이 직사각형들의 넓이의 합인 12+13+⋯+1k\displaystyle \dfrac12+\dfrac13+\cdots+\dfrac1k보다 크거나 같다.

+10점 · 넓이를 이용하여 ∫1k1x dx≤1+12+13+⋯+1k−1\displaystyle \int_1^k\dfrac1x\,dx\le1+\dfrac12+\dfrac13+\cdots+\dfrac1{k-1}를 설명하였으면

마찬가지로 도형의 넓이 S\displaystyle S는 구간 [m,m+1]\displaystyle [m,m+1], (m=1,2,⋯ ,k−1\displaystyle m=1,2,\cdots,k-1)에서 함수의 최댓값 1m\displaystyle \dfrac1m을 높이로 하는 직사각형들을 만들었을 때 이 직사각형들의 넓이의 합인 1+12+13+⋯+1k−1\displaystyle 1+\dfrac12+\dfrac13+\cdots+\dfrac1{k-1}보다 작거나 같다.

+15점 · an+1≤C0rnn−1r\displaystyle a_{n+1}\le C_0r^nn^{-\frac1r} (단, C0>0\displaystyle C_0>0) 꼴을 맞게 유도하였으면

제시문 (다),(라)를 이용하면, 자연수 n\displaystyle n에 대하여an+1≤rne−1r(1+12+13+⋯+1n)≤rne−1rlog⁡(n+1)=rn(n+1)−1r\displaystyle a_{n+1}\le r^ne^{-\frac1r\left(1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n\right)}\le r^ne^{-\frac1r\log(n+1)}=r^n(n+1)^{-\frac1r}

+5점 · rnan+1\displaystyle \dfrac{r^n}{a_{n+1}}이 발산한다고 하였으면

이고, 따라서 rnan+1≥(n+1)1r\displaystyle \dfrac{r^n}{a_{n+1}}\ge(n+1)^{\frac1r}이다. (n+1)1r\displaystyle (n+1)^{\frac1r}은 발산하므로 수열 {rnan+1}\displaystyle \left\{\dfrac{r^n}{a_{n+1}}\right\}은 발산한다.

+20점 · 반대 방향 부등식 an+1≥C13nn−13\displaystyle a_{n+1}\ge C_13^nn^{-\frac13} (단, C1>0\displaystyle C_1>0) 꼴 또는 양방향 부등식 C2np−13≤an+1np3n≤C3np−13\displaystyle C_2n^{p-\frac13}\le\dfrac{a_{n+1}n^p}{3^n}\le C_3n^{p-\frac13} (단, C2>0\displaystyle C_2>0, C3>0\displaystyle C_3>0) 꼴을 맞게 유도하였으면

【1-4】 제시문 (다),(라)와 문제 【1-2】를 이용하면, 2\displaystyle 2 이상의 자연수 n\displaystyle n에 대하여an+1≥rn−1e−1r(1+12+13+⋯+1n−1)a2≥rn−1e−1re−1r(12+13+⋯+1n−1)a2≥rn−1e−1r(n−1)−1ra2\displaystyle a_{n+1}\ge r^{n-1}e^{-\frac1r\left(1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{n-1}\right)}a_2\ge r^{n-1}e^{-\frac1r}e^{-\frac1r\left(\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{n-1}\right)}a_2\ge r^{n-1}e^{-\frac1r}(n-1)^{-\frac1r}a_2이다.r=3\displaystyle r=3일 때, 조건에 따라 a2=2\displaystyle a_2=2이고, 문제 【1-3】풀이와 이 부등식을 이용하면, 2\displaystyle 2 이상의 자연수에 대하여23e13×np(n−1)13≤an+1np3n≤np(n+1)13\displaystyle \dfrac2{3e^{\frac13}}\times\dfrac{n^p}{(n-1)^{\frac13}}\le\dfrac{a_{n+1}n^p}{3^n}\le\dfrac{n^p}{(n+1)^{\frac13}}이다.

+20점 · 범위 p<13\displaystyle p<\dfrac13을 맞게 구했으면

lim⁡n→∞an+1np3n=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}n^p}{3^n}=0이므로 p<13\displaystyle p<\dfrac13이다.

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