자연계열 I 1번

【1-1】 $\displaystyle a_1=1$이고, 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_n>0$이면 $\displaystyle a_{n+1}=\left(r-\dfrac1n\right)a_n\ge(r-1)a_n>0$이므로, 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_n>0$이다. 조건 (ⅰ)로부터 $\displaystyle \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\left(r-\dfrac1n\right)$이고, 조건 (ⅱ)로부터 $\displaystyle \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=rb_n$이므로 $\displaystyle b_n=1-\dfrac1{rn}$이다.

【1-2】 $\displaystyle n\ge2$일 때, $\displaystyle b_n=\dfrac{rn-1}{rn}=\left(\dfrac{rn}{rn-1}\right)^{-1}=\left(1+\dfrac1{rn-1}\right)^{-1}$이고 $\displaystyle r>1$이므로 $\displaystyle b_n\ge\left(1+\dfrac1{r(n-1)}\right)^{-1}$이다.

【1-3】 $\displaystyle k\ge2$일 때, 함수 $\displaystyle f(x)=\dfrac1x$(단, $\displaystyle x\ge1$)의 그래프와 $\displaystyle x$축 및 두 직선 $\displaystyle x=1$, $\displaystyle x=k$로 둘러싸인 도형의 넓이 $\displaystyle S$는 구간 $\displaystyle [m,m+1]$, ($\displaystyle m=1,2,\cdots,k-1$)에서 함수의 최솟값 $\displaystyle \dfrac1{m+1}$을 높이로 하는 직사각형들을 만들었을 때 이 직사각형들의 넓이의 합인 $\displaystyle \dfrac12+\dfrac13+\cdots+\dfrac1k$보다 크거나 같다. 마찬가지로 도형의 넓이 $\displaystyle S$는 구간 $\displaystyle [m,m+1]$, ($\displaystyle m=1,2,\cdots,k-1$)에서 함수의 최댓값 $\displaystyle \dfrac1m$을 높이로 하는 직사각형들을 만들었을 때 이 직사각형들의 넓이의 합인 $\displaystyle 1+\dfrac12+\dfrac13+\cdots+\dfrac1{k-1}$보다 작거나 같다.제시문 (다),(라)를 이용하면, 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle a_{n+1}\le r^ne^{-\frac1r\left(1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n\right)}\le r^ne^{-\frac1r\log(n+1)}=r^n(n+1)^{-\frac1r}$이고, 따라서 $\displaystyle \dfrac{r^n}{a_{n+1}}\ge(n+1)^{\frac1r}$이다. $\displaystyle (n+1)^{\frac1r}$은 발산하므로 수열 $\displaystyle \left\{\dfrac{r^n}{a_{n+1}}\right\}$은 발산한다.

【1-4】 제시문 (다),(라)와 문제 【1-2】를 이용하면, $\displaystyle 2$ 이상의 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle a_{n+1}\ge r^{n-1}e^{-\frac1r\left(1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{n-1}\right)}a_2\ge r^{n-1}e^{-\frac1r}e^{-\frac1r\left(\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{n-1}\right)}a_2\ge r^{n-1}e^{-\frac1r}(n-1)^{-\frac1r}a_2$이다.$\displaystyle r=3$일 때, 조건에 따라 $\displaystyle a_2=2$이고, 문제 【1-3】풀이와 이 부등식을 이용하면, $\displaystyle 2$ 이상의 자연수에 대하여$\displaystyle \dfrac2{e^{\frac13}}\times\dfrac{n^p}{(n-1)^{\frac13}}\le\dfrac{a_{n+1}n^p}{3^n}\le\dfrac{n^p}{(n+1)^{\frac13}}$이다. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}n^p}{3^n}=0$이므로 $\displaystyle p<\dfrac13$이다.