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자연계열 I 2번

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경북대 2026학년도 모의 자연계열 I 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2026mo/jayeon1_2

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문제

(가) 서로 다른 n\displaystyle n개에서 순서를 생각하지 않고 r\displaystyle r (0≤r≤n\displaystyle 0\le r\le n)개를 택하는 것을 n\displaystyle n개에서 r\displaystyle r개를 택하는 조합이라고 하고, 이 조합의 수를 기호로 nCr\displaystyle {}_{n}\mathrm C_r이라 나타내며nCr=n!r!(n−r)!\displaystyle {}_{n}\mathrm C_r=\dfrac{n!}{r!(n-r)!} (단, 0≤r≤n\displaystyle 0\le r\le n)

(나) 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}의 첫째항부터 제n\displaystyle n항까지의 합을 Sn\displaystyle S_n이라고 하면a1=S1\displaystyle a_1=S_1, an=Sn−Sn−1\displaystyle a_n=S_n-S_{n-1} (단, n≥2\displaystyle n\ge2)

(다) 삼각함수 사이의 관계(1) sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\displaystyle \sin^2\theta+\cos^2\theta=1(2) sin⁡(π2+θ)=cos⁡θ\displaystyle \sin\left(\dfrac\pi2+\theta\right)=\cos\theta(3) cos⁡(π2+θ)=−sin⁡θ\displaystyle \cos\left(\dfrac\pi2+\theta\right)=-\sin\theta(4) sin⁡(−θ)=−sin⁡θ\displaystyle \sin(-\theta)=-\sin\theta(5) cos⁡(−θ)=cos⁡θ\displaystyle \cos(-\theta)=\cos\theta

(라) 첫째항이 a\displaystyle a이고 공비가 r\displaystyle r (r≠0\displaystyle r\ne0)인 등비수열의 첫째항부터 제n\displaystyle n항까지의 합 Sn\displaystyle S_n은(1) r≠1\displaystyle r\ne1일 때, Sn=a(1−rn)1−r=a(rn−1)r−1\displaystyle S_n=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}(2) r=1\displaystyle r=1일 때, Sn=na\displaystyle S_n=na

(마) 함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 x=a\displaystyle x=a에서의 미분계수는f′(a)=lim⁡x→af(x)−f(a)x−a\displaystyle f^{\prime}(a)=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}

(바) 미분가능한 두 함수 f(x)\displaystyle f(x), g(x)\displaystyle g(x) (g(x)≠0\displaystyle g(x)\ne0)에 대하여y=f(x)g(x)\displaystyle y=\dfrac{f(x)}{g(x)}이면 y′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x){g(x)}2\displaystyle y^{\prime}=\dfrac{f^{\prime}(x)g(x)-f(x)g^{\prime}(x)}{\{g(x)\}^2}

(사) 미분가능한 두 함수 y=f(u)\displaystyle y=f(u), u=g(x)\displaystyle u=g(x)에 대하여, 합성함수 y=f(g(x))\displaystyle y=f(g(x))의 도함수는y′=f′(g(x))g′(x)\displaystyle y^{\prime}=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)

※ 모든 문항에서 풀이 과정을 반드시 기술하시오.

세 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}, {bn}\displaystyle \{b_n\}, {Sn}\displaystyle \{S_n\}이 다음 조건을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 자연수 n\displaystyle n에 대하여 집합An={x∣x는 n 이상 2n+1 이하의 자연수}\displaystyle A_n=\{x\mid x\text{는 }n\text{ 이상 }2n+1\text{ 이하의 자연수}\}라고 할 때, 집합 An\displaystyle A_n의 부분집합 중에서 원소의 개수가 n\displaystyle n인 부분집합의 개수를 Sn\displaystyle S_n이라 한다.

(2) 수열 {bn}\displaystyle \{b_n\}은 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 Sn=∑k=1nbk\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^nb_k를 만족시킨다.

(3) a1=∑n=1∞1bnbn+2\displaystyle a_1=\sum_{n=1}^\infty\dfrac1{b_nb_{n+2}}이고 0<∑n=1∞an<12\displaystyle 0<\sum_{n=1}^\infty a_n<\dfrac12이다.

(4) 2\displaystyle 2 이상의 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여a1bn<an+1an<bn+12bn\displaystyle \dfrac{a_1}{b_n}<\dfrac{a_{n+1}}{a_n}<\dfrac{b_{n+1}}{2b_n}이다.

(5) 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여2cos⁡2(8an+1+an8anπ)+3cos⁡(8an+1−3an8anπ)−22=0\displaystyle \sqrt2\cos^2\left(\dfrac{8a_{n+1}+a_n}{8a_n}\pi\right)+3\cos\left(\dfrac{8a_{n+1}-3a_n}{8a_n}\pi\right)-2\sqrt2=0이다.

【2-1】 S5+b1\displaystyle S_5+b_1의 값을 구하시오. 또한 bn=pn+q\displaystyle b_n=pn+q (n≥2\displaystyle n\ge2)일 때, 상수 p\displaystyle p와 q\displaystyle q의 값을 구하시오. (30점)

【2-2】 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}에 대하여 a1+a2\displaystyle a_1+a_2의 값을 구하시오. 또한 an=15×αn\displaystyle a_n=15\times\alpha^n (n≥3\displaystyle n\ge3)일 때, α\displaystyle \alpha의 값을 구하시오. (60점)

【2-3】 두 다항함수 f(x)\displaystyle f(x), g(x)\displaystyle g(x)에 대하여 f(x)\displaystyle f(x)와 g(x)−3\displaystyle g(x)-3은 x−2\displaystyle x-2로 나누어떨어지고 f(x)\displaystyle f(x)를 (x−2)2\displaystyle (x-2)^2으로 나누었을 때의 나머지가 8x−16\displaystyle 8x-16일 때, lim⁡x→∞∑n=13xf(2+anx)eg(2+anx)\displaystyle \lim_{x\to\infty}\sum_{n=1}^3\dfrac{xf\left(2+\dfrac{a_n}x\right)}{e^{g\left(2+\frac{a_n}x\right)}}의 값을 구하시오. (40점)

해설강의 준비중

경북대 2026학년도 모의 자연계열 I 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2026mo/jayeon1_2

+10점 · S5=21\displaystyle S_5=21을 구한 경우

【2-1】 조건 (1)에서 n(An)=n+2\displaystyle n(A_n)=n+2이므로 제시문 (가)에 의해 원소의 개수가 n\displaystyle n인 부분집합의 개수는Sn=n+2Cn=n+2C2=(n+2)(n+1)2=12(n2+3n+2)\displaystyle \begin{aligned}S_n&={}_{n+2}\mathrm C_n\\&={}_{n+2}\mathrm C_2\\&=\dfrac{(n+2)(n+1)}2\\&=\dfrac12(n^2+3n+2)\end{aligned}이다. 따라서 S5=21\displaystyle S_5=21이다.

+6점 · b1=3\displaystyle b_1=3을 구한 경우 (단, S5\displaystyle S_5와 b1\displaystyle b_1을 정확하게 구하였으나 S5+b1=24\displaystyle S_5+b_1=24를 틀린 경우 2점 감점하고, S5\displaystyle S_5 또는 b1\displaystyle b_1의 값을 정확하게 구하지 못한 경우 S5+b1=24\displaystyle S_5+b_1=24를 적었더라도 S5\displaystyle S_5 또는 b1\displaystyle b_1의 값에 대한 점수만 부여함)

또한 조건 (2)와 제시문 (나)에 의해 b1=S1=3\displaystyle b_1=S_1=3

+14점 · p=1\displaystyle p=1, q=1\displaystyle q=1을 구한 경우 (각 7점)

이고 n≥2\displaystyle n\ge2일 때,bn=Sn−Sn−1=12(n2+3n+2)−12{(n−1)2+3(n−1)+2}=n+1\displaystyle \begin{aligned}b_n&=S_n-S_{n-1}\\&=\dfrac12(n^2+3n+2)-\dfrac12\{(n-1)^2+3(n-1)+2\}\\&=n+1\end{aligned}이다.

+10점 · a1=38\displaystyle a_1=\dfrac38을 구하면

【2-2】 문제 1-1에 의해 b1=3\displaystyle b_1=3이고 n≥2\displaystyle n\ge2일 때, bn=n+1\displaystyle b_n=n+1이므로 조건 (3)에 의해a1=1b1b3+∑n=2∞1bnbn+2=13⋅4+∑n=2∞1(n+1)(n+3)=112+12∑n=2∞(1n+1−1n+3)=112+12lim⁡n→∞∑k=2n(1k+1−1k+3)=112+12lim⁡n→∞(13+14−1n+2−1n+3)=38\displaystyle \begin{aligned}a_1&=\dfrac1{b_1b_3}+\sum_{n=2}^\infty\dfrac1{b_nb_{n+2}}\\&=\dfrac1{3\cdot4}+\sum_{n=2}^\infty\dfrac1{(n+1)(n+3)}\\&=\dfrac1{12}+\dfrac12\sum_{n=2}^\infty\left(\dfrac1{n+1}-\dfrac1{n+3}\right)\\&=\dfrac1{12}+\dfrac12\lim_{n\to\infty}\sum_{k=2}^n\left(\dfrac1{k+1}-\dfrac1{k+3}\right)\\&=\dfrac1{12}+\dfrac12\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac13+\dfrac14-\dfrac1{n+2}-\dfrac1{n+3}\right)\\&=\dfrac38\end{aligned}Correction. 2-2 풀이의 “문제 1-1”은 “문제 2-1”의 오기이다. 여기서 사용하는 b1=3\displaystyle b_1=3, bn=n+1  (n≥2)\displaystyle b_n=n+1\;(n\ge2)는 2-1에서 구한 결과이다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다.

+10점 · a2=364\displaystyle a_2=\dfrac3{64}을 구하면
+25점 · α=18\displaystyle \alpha=\dfrac18을 구하면
+15점 · cos⁡((an+1an−38)π)=12\displaystyle \cos\left(\left(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}-\dfrac38\right)\pi\right)=\dfrac1{\sqrt2} (또는 an+1an\displaystyle \dfrac{a_{n+1}}{a_n}의 값을 특정할 수 있도록 하는 식)을 구하면

조건 (4)와 문제 1-1로부터 n≥2\displaystyle n\ge2일 때,38(n+1)<an+1an<n+22(n+1)\displaystyle \dfrac3{8(n+1)}<\dfrac{a_{n+1}}{a_n}<\dfrac{n+2}{2(n+1)}Correction. “조건 (4)와 문제 1-1”의 “문제 1-1”은 “문제 2-1”의 오기이다. 여기서 사용하는 bn=n+1  (n≥2)\displaystyle b_n=n+1\;(n\ge2)는 2-1에서 구한 결과이다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다. 조건 (5)에서 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 tn=(an+1an−38)π\displaystyle t_n=\left(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}-\dfrac38\right)\pi라 두면 제시문 (다)에 의해2cos⁡2(8an+1+an8anπ)+3cos⁡(8an+1−3an8anπ)−22=2cos⁡2((an+1an+18)π)+3cos⁡((an+1an−38)π)−22=2cos⁡2(tn+π2)+3cos⁡tn−22=2sin⁡2tn+3cos⁡tn−22=2(1−cos⁡2tn)+3cos⁡tn−22=−2cos⁡2tn+3cos⁡tn−2=−(2cos⁡tn−1)(cos⁡tn−2)=0\displaystyle \begin{aligned}&\sqrt2\cos^2\left(\dfrac{8a_{n+1}+a_n}{8a_n}\pi\right)+3\cos\left(\dfrac{8a_{n+1}-3a_n}{8a_n}\pi\right)-2\sqrt2\\&=\sqrt2\cos^2\left(\left(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}+\dfrac18\right)\pi\right)+3\cos\left(\left(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}-\dfrac38\right)\pi\right)-2\sqrt2\\&=\sqrt2\cos^2\left(t_n+\dfrac\pi2\right)+3\cos t_n-2\sqrt2\\&=\sqrt2\sin^2t_n+3\cos t_n-2\sqrt2\\&=\sqrt2(1-\cos^2t_n)+3\cos t_n-2\sqrt2\\&=-\sqrt2\cos^2t_n+3\cos t_n-\sqrt2\\&=-(\sqrt2\cos t_n-1)(\cos t_n-\sqrt2)=0\end{aligned}이므로 cos⁡tn=12\displaystyle \cos t_n=\dfrac1{\sqrt2}이다. 즉, cos⁡((an+1an−38)π)=12\displaystyle \cos\left(\left(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}-\dfrac38\right)\pi\right)=\dfrac1{\sqrt2}이다. n=2\displaystyle n=2일 때, 18<a3a2<23\displaystyle \dfrac18<\dfrac{a_3}{a_2}<\dfrac23이므로 −14<a3a2−38<724\displaystyle -\dfrac14<\dfrac{a_3}{a_2}-\dfrac38<\dfrac7{24}이다. 그러므로 a3a2=58\displaystyle \dfrac{a_3}{a_2}=\dfrac58이다. 또한 n≥3\displaystyle n\ge3일 때,−3n8(n+1)<an+1an−38<n+58(n+1)\displaystyle -\dfrac{3n}{8(n+1)}<\dfrac{a_{n+1}}{a_n}-\dfrac38<\dfrac{n+5}{8(n+1)}이다. −38<−3n8(n+1)≤−932\displaystyle -\dfrac38<-\dfrac{3n}{8(n+1)}\le-\dfrac9{32}이고 18<n+58(n+1)≤14\displaystyle \dfrac18<\dfrac{n+5}{8(n+1)}\le\dfrac14이므로 an+1an=18\displaystyle \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac18이다. a2a1=α\displaystyle \dfrac{a_2}{a_1}=\alpha라고 두면 제시문 (라)에 의해∑n=1∞an=38+38α+(38α)×58+(38α)×58×18+(38α)×58×(18)2+⋯=21+36α56\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty a_n&=\dfrac38+\dfrac38\alpha+\left(\dfrac38\alpha\right)\times\dfrac58+\left(\dfrac38\alpha\right)\times\dfrac58\times\dfrac18+\left(\dfrac38\alpha\right)\times\dfrac58\times\left(\dfrac18\right)^2+\cdots\\&=\dfrac{21+36\alpha}{56}\end{aligned}이고 조건 (3)에 의해 0<21+36α56<12\displaystyle 0<\dfrac{21+36\alpha}{56}<\dfrac12이고, 이 부등식을 풀면 −712<α<736\displaystyle -\dfrac7{12}<\alpha<\dfrac7{36}이다. −2324<α−38<−1372\displaystyle -\dfrac{23}{24}<\alpha-\dfrac38<-\dfrac{13}{72}이므로 α=18\displaystyle \alpha=\dfrac18이다. 따라서 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}의 일반항은an={38(n=1)364(n=2)158n(n≥3)\displaystyle a_n=\begin{cases}\dfrac38&(n=1)\\\dfrac3{64}&(n=2)\\\dfrac{15}{8^n}&(n\ge3)\end{cases}이다.

+15점 · f(2)=0\displaystyle f(2)=0, f′(2)=8\displaystyle f^{\prime}(2)=8, g(2)=3\displaystyle g(2)=3을 구한 경우 (각 5점)

【2-3】 f(x)\displaystyle f(x)와 g(x)−3\displaystyle g(x)-3이 x−2\displaystyle x-2로 나누어떨어지므로 f(2)=0\displaystyle f(2)=0이고 g(2)=3\displaystyle g(2)=3이다. f(x)\displaystyle f(x)를 (x−2)2\displaystyle (x-2)^2으로 나누었을 때의 나머지가 8x−16\displaystyle 8x-16이므로 f(x)=(x−2)2Q(x)+8x−16\displaystyle f(x)=(x-2)^2Q(x)+8x-16이다. 양변을 미분한 후 x=2\displaystyle x=2를 대입하면 f′(2)=8\displaystyle f^{\prime}(2)=8이다.

+5점 · lim⁡x→∞∑n=13xf(2+anx)eg(2+anx)\displaystyle \lim_{x\to\infty}\sum_{n=1}^3\dfrac{xf\left(2+\dfrac{a_n}x\right)}{e^{g\left(2+\frac{a_n}x\right)}}을 미분계수의 정의에 대한 식으로 변형한 경우
+20점 · lim⁡x→∞∑n=13xf(2+anx)eg(2+anx)=23164e3\displaystyle \lim_{x\to\infty}\sum_{n=1}^3\dfrac{xf\left(2+\dfrac{a_n}x\right)}{e^{g\left(2+\frac{a_n}x\right)}}=\dfrac{231}{64e^3}을 구한 경우 (단, f(x)\displaystyle f(x), g(x)\displaystyle g(x)에 특정한 다항함수를 대입하여 문제를 푼 경우 5점만 부여하고, 로피탈의 정리 등 고등학교 교육과정 밖의 내용을 활용하여 문제를 푼 경우 0점 처리함)

문제 1-2에 의해 a1=38\displaystyle a_1=\dfrac38, a2=364\displaystyle a_2=\dfrac3{64}, a3=15512\displaystyle a_3=\dfrac{15}{512}이다. h(x)=f(x)eg(x)\displaystyle h(x)=\dfrac{f(x)}{e^{g(x)}}라고 하면 제시문 (바)와 (사)에 의해 h′(x)=f′(x)−f(x)g′(x)eg(x)\displaystyle h^{\prime}(x)=\dfrac{f^{\prime}(x)-f(x)g^{\prime}(x)}{e^{g(x)}}이므로 h′(2)=8e3\displaystyle h^{\prime}(2)=\dfrac8{e^3}이다. 따라서 t=1x\displaystyle t=\dfrac1x로 치환하면 제시문 (마)에 의해lim⁡x→∞∑n=13xf(2+anx)eg(2+anx)=lim⁡x→∞{xf(2+a1x)eg(2+a1x)+xf(2+a2x)eg(2+a2x)+xf(2+a3x)eg(2+a3x)}=lim⁡t→0+{f(2+38t)teg(2+38t)+f(2+364t)teg(2+364t)+f(2+15512t)teg(2+15512t)}=lim⁡t→0+{38×f(2+38t)eg(2+38t)38t+364×f(2+364t)eg(2+364t)164t+15512×f(2+15512t)eg(2+15512t)15512t}=38lim⁡t→0+f(2+38t)eg(2+38t)38t+364lim⁡t→0+f(2+364t)eg(2+364t)164t+15512lim⁡t→0+f(2+15512t)eg(2+15512t)15512t=38lim⁡t→0+f(2+38t)eg(2+38t)−f(2)eg(2)38t+364lim⁡t→0+f(2+364t)eg(2+364t)−f(2)eg(2)164t+15512lim⁡t→0+f(2+15512t)eg(2+15512t)−f(2)eg(2)15512t=38×h′(2)+364×h′(2)+15512×h′(2)=231512×h′(2)=23164e3\displaystyle \begin{aligned}\lim_{x\to\infty}\sum_{n=1}^3\dfrac{xf\left(2+\dfrac{a_n}x\right)}{e^{g\left(2+\frac{a_n}x\right)}}=\lim_{x\to\infty}\left\{\dfrac{xf\left(2+\dfrac{a_1}x\right)}{e^{g\left(2+\frac{a_1}x\right)}}+\dfrac{xf\left(2+\dfrac{a_2}x\right)}{e^{g\left(2+\frac{a_2}x\right)}}+\dfrac{xf\left(2+\dfrac{a_3}x\right)}{e^{g\left(2+\frac{a_3}x\right)}}\right\}\\&=\lim_{t\to0^+}\left\{\dfrac{f\left(2+\dfrac38t\right)}{te^{g\left(2+\dfrac38t\right)}}+\dfrac{f\left(2+\dfrac3{64}t\right)}{te^{g\left(2+\dfrac3{64}t\right)}}+\dfrac{f\left(2+\dfrac{15}{512}t\right)}{te^{g\left(2+\dfrac{15}{512}t\right)}}\right\}\\&=\lim_{t\to0^+}\left\{\dfrac38\times\dfrac{\dfrac{f\left(2+\dfrac38t\right)}{e^{g\left(2+\dfrac38t\right)}}}{\dfrac38t}+\dfrac3{64}\times\dfrac{\dfrac{f\left(2+\dfrac3{64}t\right)}{e^{g\left(2+\dfrac3{64}t\right)}}}{\dfrac1{64}t}+\dfrac{15}{512}\times\dfrac{\dfrac{f\left(2+\dfrac{15}{512}t\right)}{e^{g\left(2+\dfrac{15}{512}t\right)}}}{\dfrac{15}{512}t}\right\}\\&=\dfrac38\lim_{t\to0^+}\dfrac{\dfrac{f\left(2+\dfrac38t\right)}{e^{g\left(2+\dfrac38t\right)}}}{\dfrac38t}+\dfrac3{64}\lim_{t\to0^+}\dfrac{\dfrac{f\left(2+\dfrac3{64}t\right)}{e^{g\left(2+\dfrac3{64}t\right)}}}{\dfrac1{64}t}+\dfrac{15}{512}\lim_{t\to0^+}\dfrac{\dfrac{f\left(2+\dfrac{15}{512}t\right)}{e^{g\left(2+\dfrac{15}{512}t\right)}}}{\dfrac{15}{512}t}\\&=\dfrac38\lim_{t\to0^+}\dfrac{\dfrac{f\left(2+\dfrac38t\right)}{e^{g\left(2+\dfrac38t\right)}}-\dfrac{f(2)}{e^{g(2)}}}{\dfrac38t}+\dfrac3{64}\lim_{t\to0^+}\dfrac{\dfrac{f\left(2+\dfrac3{64}t\right)}{e^{g\left(2+\dfrac3{64}t\right)}}-\dfrac{f(2)}{e^{g(2)}}}{\dfrac1{64}t}+\dfrac{15}{512}\lim_{t\to0^+}\dfrac{\dfrac{f\left(2+\dfrac{15}{512}t\right)}{e^{g\left(2+\dfrac{15}{512}t\right)}}-\dfrac{f(2)}{e^{g(2)}}}{\dfrac{15}{512}t}\\&=\dfrac38\times h^{\prime}(2)+\dfrac3{64}\times h^{\prime}(2)+\dfrac{15}{512}\times h^{\prime}(2)\\&=\dfrac{231}{512}\times h^{\prime}(2)\\&=\dfrac{231}{64e^3}\end{aligned}Correction. 2-3 예시답안에서 두 번째 항을 미분계수로 바꾸는 세 중간식의 분모 164t\displaystyle \frac1{64}t는 364t\displaystyle \frac3{64}t의 오기이다. h(x)=f(x)eg(x)\displaystyle h(x)=\frac{f(x)}{e^{g(x)}}라 하면 h(2)=0\displaystyle h(2)=0이므로 올바른 변형은 다음과 같다.h(2+364t)t=364⋅h(2+364t)−h(2)364t\displaystyle \frac{h(2+\frac3{64}t)}{t}=\frac3{64}\cdot\frac{h(2+\frac3{64}t)-h(2)}{\frac3{64}t}이렇게 읽으면 뒤의 미분계수 계산과 최종답 23164e3\displaystyle \frac{231}{64e^3}이 일치한다. 원문 표기는 그대로 실었다.Correction. 2-3 풀이의 “문제 1-2”는 “문제 2-2”의 오기이다. a1=38\displaystyle a_1=\frac38, a2=364\displaystyle a_2=\frac3{64}, a3=15512\displaystyle a_3=\frac{15}{512}는 2-2에서 구한 값이다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다.

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