자연계열 I 2번

【2-1】 조건 (1)에서 $\displaystyle n(A_n)=n+2$이므로 제시문 (가)에 의해 원소의 개수가 $\displaystyle n$인 부분집합의 개수는$\displaystyle \begin{aligned}S_n&={}_{n+2}\mathrm C_n\\&={}_{n+2}\mathrm C_2\\&=\dfrac{(n+2)(n+1)}2\\&=\dfrac12(n^2+3n+2)\end{aligned}$이다. 따라서 $\displaystyle S_5=21$이다. 또한 조건 (2)와 제시문 (나)에 의해 $\displaystyle b_1=S_1=3$이고 $\displaystyle n\ge2$일 때,$\displaystyle \begin{aligned}b_n&=S_n-S_{n-1}\\&=\dfrac12(n^2+3n+2)-\dfrac12\{(n-1)^2+3(n-1)+2\}\\&=n+1\end{aligned}$이다.

【2-2】 문제 1-1에 의해 $\displaystyle b_1=3$이고 $\displaystyle n\ge2$일 때, $\displaystyle b_n=n+1$이므로 조건 (3)에 의해Comment. 2-2 풀이에서 두 번 나오는 “문제 1-1”은 “문제 2-1”의 오기이다. 여기서 사용하는 $\displaystyle b_1=3$, $\displaystyle b_n=n+1\;(n\ge2)$는 2-1에서 구한 결과이다.또한 2-3 풀이의 “문제 1-2”는 “문제 2-2”의 오기이다. $\displaystyle a_1=\frac38$, $\displaystyle a_2=\frac3{64}$, $\displaystyle a_3=\frac{15}{512}$는 2-2에서 구한 값이다. 원문 표기는 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{aligned}a_1&=\dfrac1{b_1b_3}+\sum_{n=2}^\infty\dfrac1{b_nb_{n+2}}\\&=\dfrac1{3\cdot4}+\sum_{n=2}^\infty\dfrac1{(n+1)(n+3)}\\&=\dfrac1{12}+\dfrac12\sum_{n=2}^\infty\left(\dfrac1{n+1}-\dfrac1{n+3}\right)\\&=\dfrac1{12}+\dfrac12\lim_{n\to\infty}\sum_{k=2}^n\left(\dfrac1{k+1}-\dfrac1{k+3}\right)\\&=\dfrac1{12}+\dfrac12\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac13+\dfrac14-\dfrac1{n+2}-\dfrac1{n+3}\right)\\&=\dfrac38\end{aligned}$이다. 조건 (4)와 문제 1-1로부터 $\displaystyle n\ge2$일 때,$\displaystyle \dfrac3{8(n+1)}<\dfrac{a_{n+1}}{a_n}<\dfrac{n+2}{2(n+1)}$이다. 조건 (5)에서 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle t_n=\left(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}-\dfrac38\right)\pi$라 두면 제시문 (다)에 의해$\displaystyle \begin{aligned}&\sqrt2\cos^2\left(\dfrac{8a_{n+1}+a_n}{8a_n}\pi\right)+3\cos\left(\dfrac{8a_{n+1}-3a_n}{8a_n}\pi\right)-2\sqrt2\\&=\sqrt2\cos^2\left(\left(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}+\dfrac18\right)\pi\right)+3\cos\left(\left(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}-\dfrac38\right)\pi\right)-2\sqrt2\\&=\sqrt2\cos^2\left(t_n+\dfrac\pi2\right)+3\cos t_n-2\sqrt2\\&=\sqrt2\sin^2t_n+3\cos t_n-2\sqrt2\\&=\sqrt2(1-\cos^2t_n)+3\cos t_n-2\sqrt2\\&=-\sqrt2\cos^2t_n+3\cos t_n-\sqrt2\\&=-(\sqrt2\cos t_n-1)(\cos t_n-\sqrt2)=0\end{aligned}$이므로 $\displaystyle \cos t_n=\dfrac1{\sqrt2}$이다. 즉, $\displaystyle \cos\left(\left(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}-\dfrac38\right)\pi\right)=\dfrac1{\sqrt2}$이다. $\displaystyle n=2$일 때, $\displaystyle \dfrac18<\dfrac{a_3}{a_2}<\dfrac23$이므로 $\displaystyle -\dfrac14<\dfrac{a_3}{a_2}-\dfrac38<\dfrac7{24}$이다. 그러므로 $\displaystyle \dfrac{a_3}{a_2}=\dfrac58$이다. 또한 $\displaystyle n\ge3$일 때,$\displaystyle -\dfrac{3n}{8(n+1)}<\dfrac{a_{n+1}}{a_n}-\dfrac38<\dfrac{n+5}{8(n+1)}$이다. $\displaystyle -\dfrac38<-\dfrac{3n}{8(n+1)}\le-\dfrac9{32}$이고 $\displaystyle \dfrac18<\dfrac{n+5}{8(n+1)}\le\dfrac14$이므로 $\displaystyle \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac18$이다. $\displaystyle \dfrac{a_2}{a_1}=\alpha$라고 두면 제시문 (라)에 의해$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty a_n&=\dfrac38+\dfrac38\alpha+\left(\dfrac38\alpha\right)\times\dfrac58+\left(\dfrac38\alpha\right)\times\dfrac58\times\dfrac18+\left(\dfrac38\alpha\right)\times\dfrac58\times\left(\dfrac18\right)^2+\cdots\\&=\dfrac{21+36\alpha}{56}\end{aligned}$이고 조건 (3)에 의해 $\displaystyle 0<\dfrac{21+36\alpha}{56}<\dfrac12$이고, 이 부등식을 풀면 $\displaystyle -\dfrac7{12}<\alpha<\dfrac7{36}$이다. $\displaystyle -\dfrac{23}{24}<\alpha-\dfrac38<-\dfrac{13}{72}$이므로 $\displaystyle \alpha=\dfrac18$이다. 따라서 수열 $\displaystyle \{a_n\}$의 일반항은$\displaystyle a_n=\begin{cases}\dfrac38&(n=1)\\\dfrac3{64}&(n=2)\\\dfrac{15}{8^n}&(n\ge3)\end{cases}$이다.

【2-3】 $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)-3$이 $\displaystyle x-2$로 나누어떨어지므로 $\displaystyle f(2)=0$이고 $\displaystyle g(2)=3$이다. $\displaystyle f(x)$를 $\displaystyle (x-2)^2$으로 나누었을 때의 나머지가 $\displaystyle 8x-16$이므로 $\displaystyle f(x)=(x-2)^2Q(x)+8x-16$이다. 양변을 미분한 후 $\displaystyle x=2$를 대입하면 $\displaystyle f^{\prime}(2)=8$이다. 문제 1-2에 의해 $\displaystyle a_1=\dfrac38$, $\displaystyle a_2=\dfrac3{64}$, $\displaystyle a_3=\dfrac{15}{512}$이다. $\displaystyle h(x)=\dfrac{f(x)}{e^{g(x)}}$라고 하면 제시문 (바)와 (사)에 의해 $\displaystyle h^{\prime}(x)=\dfrac{f^{\prime}(x)-f(x)g^{\prime}(x)}{e^{g(x)}}$이므로 $\displaystyle h^{\prime}(2)=\dfrac8{e^3}$이다. 따라서 $\displaystyle t=\dfrac1x$로 치환하면 제시문 (마)에 의해$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{x\to\infty}\sum_{n=1}^3\dfrac{xf\left(2+\dfrac{a_n}x\right)}{e^{g\left(2+\frac{a_n}x\right)}}=\lim_{x\to\infty}\left\{\dfrac{xf\left(2+\dfrac{a_1}x\right)}{e^{g\left(2+\frac{a_1}x\right)}}+\dfrac{xf\left(2+\dfrac{a_2}x\right)}{e^{g\left(2+\frac{a_2}x\right)}}+\dfrac{xf\left(2+\dfrac{a_3}x\right)}{e^{g\left(2+\frac{a_3}x\right)}}\right\}\\&=\lim_{t\to0^+}\left\{\dfrac{f\left(2+\dfrac38t\right)}{te^{g\left(2+\dfrac38t\right)}}+\dfrac{f\left(2+\dfrac3{64}t\right)}{te^{g\left(2+\dfrac3{64}t\right)}}+\dfrac{f\left(2+\dfrac{15}{512}t\right)}{te^{g\left(2+\dfrac{15}{512}t\right)}}\right\}\\&=\lim_{t\to0^+}\left\{\dfrac38\times\dfrac{\dfrac{f\left(2+\dfrac38t\right)}{e^{g\left(2+\dfrac38t\right)}}}{\dfrac38t}+\dfrac3{64}\times\dfrac{\dfrac{f\left(2+\dfrac3{64}t\right)}{e^{g\left(2+\dfrac3{64}t\right)}}}{\dfrac1{64}t}+\dfrac{15}{512}\times\dfrac{\dfrac{f\left(2+\dfrac{15}{512}t\right)}{e^{g\left(2+\dfrac{15}{512}t\right)}}}{\dfrac{15}{512}t}\right\}\\&=\dfrac38\lim_{t\to0^+}\dfrac{\dfrac{f\left(2+\dfrac38t\right)}{e^{g\left(2+\dfrac38t\right)}}}{\dfrac38t}+\dfrac3{64}\lim_{t\to0^+}\dfrac{\dfrac{f\left(2+\dfrac3{64}t\right)}{e^{g\left(2+\dfrac3{64}t\right)}}}{\dfrac1{64}t}+\dfrac{15}{512}\lim_{t\to0^+}\dfrac{\dfrac{f\left(2+\dfrac{15}{512}t\right)}{e^{g\left(2+\dfrac{15}{512}t\right)}}}{\dfrac{15}{512}t}\\&=\dfrac38\lim_{t\to0^+}\dfrac{\dfrac{f\left(2+\dfrac38t\right)}{e^{g\left(2+\dfrac38t\right)}}-\dfrac{f(2)}{e^{g(2)}}}{\dfrac38t}+\dfrac3{64}\lim_{t\to0^+}\dfrac{\dfrac{f\left(2+\dfrac3{64}t\right)}{e^{g\left(2+\dfrac3{64}t\right)}}-\dfrac{f(2)}{e^{g(2)}}}{\dfrac1{64}t}+\dfrac{15}{512}\lim_{t\to0^+}\dfrac{\dfrac{f\left(2+\dfrac{15}{512}t\right)}{e^{g\left(2+\dfrac{15}{512}t\right)}}-\dfrac{f(2)}{e^{g(2)}}}{\dfrac{15}{512}t}\\&=\dfrac38\times h^{\prime}(2)+\dfrac3{64}\times h^{\prime}(2)+\dfrac{15}{512}\times h^{\prime}(2)\\&=\dfrac{231}{512}\times h^{\prime}(2)\\&=\dfrac{231}{64e^3}\end{aligned}$Comment. 2-3 예시답안에서 두 번째 항을 미분계수로 바꾸는 세 중간식의 분모 $\displaystyle \frac1{64}t$는 $\displaystyle \frac3{64}t$의 오기이다. $\displaystyle h(x)=\frac{f(x)}{e^{g(x)}}$라 하면 $\displaystyle h(2)=0$이므로 올바른 변형은 다음과 같다.$\displaystyle \frac{h(2+\frac3{64}t)}{t}=\frac3{64}\cdot\frac{h(2+\frac3{64}t)-h(2)}{\frac3{64}t}$이렇게 읽으면 뒤의 미분계수 계산과 최종답 $\displaystyle \frac{231}{64e^3}$이 일치한다. 원문 표기는 그대로 실었다.이다.