인문사회계 Ⅱ 2번

[문제 2-1]

이윤 $\displaystyle f(Q)=R(Q)-C(Q)$이 최대가 되는 것의 필요조건은 $\displaystyle f^{\prime}(Q)=R^{\prime}(Q)-C^{\prime}(Q)=0$, 즉 $\displaystyle R^{\prime}(Q)=C^{\prime}(Q)$이다. $\displaystyle R^{\prime}(Q)=2000-2Q$이고 $\displaystyle C^{\prime}(Q)=2Q$이므로, $\displaystyle Q=500$이다.

$\displaystyle f(Q)$는 $\displaystyle Q$의 이차식이므로, 미분을 하지 않고 식을 정리하여 $\displaystyle Q$값을 찾아내는 것도 가능하다.

[문제 2-2]

동전을 $\displaystyle n$번 던졌을 때 앞면이 나오는 횟수를 $\displaystyle X$라 하자. 그러면 $\displaystyle S_n=S_0\cdot1.05^X\cdot0.95^{n-X}$이므로

$\displaystyle Y_n=\log(S_n/S_0)=X\log1.05+(n-X)\log0.95=X\log1.05/0.95+n\log0.95$

따라서

$\displaystyle \mu_n=E(Y_n)=E(X)\log1.05/0.95+n\log0.95$

$\displaystyle \sigma_n^2=V(Y_n)=V(X)(\log1.05/0.95)^2$

여기서 $\displaystyle X$는 이항분포 $\displaystyle B(n,0.5)$를 따른다.

이항분포의 평균은 $\displaystyle 0.5n$이고, 분산은 $\displaystyle 0.5^2n$이므로

$\displaystyle \mu_n=0.5n(\log1.05+\log0.95)$

$\displaystyle \sigma_n^2=0.5^2n(\log1.05-\log0.95)^2$

$\displaystyle \log1.05\approx0.21$, $\displaystyle \log0.95\approx-0.22$를 이용하면 ($\displaystyle n$의 값에 관계없이) $\displaystyle \mu_n$와 $\displaystyle \sigma_n^2$의 비율은 아래와 같다.

$\displaystyle \frac{\mu_n}{\sigma_n^2}=\frac{\log1.05+\log0.95}{0.5(\log1.05-\log0.95)^2}\approx-\frac{0.01}{0.5\cdot0.43^2}=-\frac{200}{1849}$

[문제 2-3]

유재석, 하하, 노홍철을 좋아하는 사람들의 집합을 각각 $\displaystyle A$, $\displaystyle B$, $\displaystyle C$라 하고, 그 여집합을 $\displaystyle A^c$, $\displaystyle B^c$, $\displaystyle C^c$라 하자. 세 사람을 좋아하는 사람의 수는 각각 $\displaystyle n(A)=90$, $\displaystyle n(B)=70$, $\displaystyle n(C)=50$명이므로 각각의 연예인을 좋아하지 않는 사람은 각각 $\displaystyle n(A^c)=10$, $\displaystyle n(B^c)=30$, $\displaystyle n(C^c)=50$명이다. “세 사람 어느 누구도 좋아하지 않는 사람”은 유재석도 좋아하지 않고, 하하도 좋아하지 않고, 노홍철도 좋아하지 않으므로 $\displaystyle A^c\cap B^c\cap C^c$의 원소이다. 이 집합의 크기는 $\displaystyle A^c$의 크기보다 작아야 하므로

$\displaystyle n(A^c\cap B^c\cap C^c)\le10$

10이 최대값이라는 걸 보여주기 위해서는 $\displaystyle n(A^c\cap B^c\cap C^c)=10$이 되는 경우가 있음을 확인하면 된다. 아래 그림과 같이 되는 경우 $\displaystyle n(A^c\cap B^c\cap C^c)=10$이 된다.

따라서 $\displaystyle p=10$이다.

“세 사람을 모두 좋아하는 사람”은 유재석도 좋아하고, 하하도 좋아하고, 노홍철도 좋아하므로 $\displaystyle A\cap B\cap C$의 원소이다. 설명의 편의를 위하여 각 부분집합의 원소수를 아래 그림과 같이 표시하기로 하자.

각 부분집합의 원소의 수는 0보다 작을 수 없으므로:

$\displaystyle \begin{gathered}a+b+d\le90\\a+c+d\le70\\b+c+d\le50\end{gathered}$

모든 부분집합의 원소수를 더한 것이 100보다 클 수 없으므로:

$\displaystyle 210-a-b-c-2d\le100$

마지막 부등식의 좌변과 우변에 2를 곱한 후 앞의 세 개의 부등식과 더해주면 다음을 얻는다.

$\displaystyle 420-d\le410$

따라서

$\displaystyle 10\le d$

이제 10이 최소값이라는 걸 보여주기 위해서는 $\displaystyle n(A\cap B\cap C)=10$이 되는 경우가 있음을 확인하면 된다. “세 사람을 모두 좋아하는 사람”은 $\displaystyle A\cap B\cap C$의 원소이다. $\displaystyle A\cap B\cap C$의 원소를 최소화하기 위해서는 $\displaystyle (A\cap B)-C$, $\displaystyle (B\cap C)-A$, $\displaystyle (A\cap C)-B$에 가능한 많은 원소를 할당해야 한다. 다음과 같은 상황을 고려해 보자.

이 상태에서 $\displaystyle A\cap B\cap C$의 원소수를 그대로 둔 채로 $\displaystyle (A\cap B)-C$, $\displaystyle (B\cap C)-A$, $\displaystyle (A\cap C)-B$ 세 집합의 원소 수를 조정하면 $\displaystyle A\cup B\cup C$의 원소수가 100을 넘게 됨을 확인할 수 있다. 따라서 $\displaystyle A\cap B\cap C$의 원소수의 최소값은 10이 된다. 따라서 $\displaystyle d$의 최소값은 10이다. 즉 $\displaystyle q=10$이다.

그러므로 $\displaystyle p+q=20$이 된다.