건국대 2015학년도 모의 인문사회계 Ⅱ 2번 해설

[문제 2] : 다음 제시문을 읽고 문제에 답하시오. (60점)

[가]

미분 가능한 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 극값을 가지면 $\displaystyle x=a$ 의 좌우에서 함수의 증가상태와 감소상태가 바뀌므로 도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 의 부호가 바뀐다. 따라서 미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 극값을 가지면 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$ 이 된다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 곧, 미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$ 일 때, $\displaystyle x=a$ 에서 반드시 극값을 갖지는 않는다.

- 고등학교 ‘미적분과 통계기본’ 교과서

[나]

일반적으로 1회의 시행에서 사건 $\displaystyle A$ 가 일어날 확률이 $\displaystyle p$ 이고, 이러한 시행을 독립적으로 $\displaystyle n$ 회할 때, 사건 $\displaystyle A$ 가 일어나는 횟수를 확률변수 $\displaystyle X$ 라고 하면 $\displaystyle X$ 는 $\displaystyle 0,1,2,\ldots,n$ 의 값을 가진다. 이 때, $\displaystyle X$ 의 확률분포는

$\displaystyle P(X=x)={}_{n}\mathrm{C}_{x}p^x(1-p)^{n-x}$ (단, $\displaystyle x=0,1,2,\ldots,n$ )

이와 같은 확률분포를 이항분포라 하고, 기호로 $\displaystyle B(n,p)$ 와 같이 나타낸다.

- 고등학교 ‘미적분과 통계기본’ 교과서

[다]

전체집합 $\displaystyle S$ 의 두 부분집합 $\displaystyle A_1$ , $\displaystyle A_2$ 이 있을 때, 합집합의 원소개수는 다음과 같이 구할 수 있다.

$\displaystyle n(A_1\cup A_2)=n(A_1)+n(A_2)-n(A_1\cap A_2)$

또한 각 집합의 여집합으로 만든 교집합의 원소개수는 다음과 같이 구할 수 있다.

$\displaystyle \begin{aligned}n(A_1^c\cap A_2^c)&=n\left((A_1\cup A_2)^c\right)\\&=n(S)-n(A_1\cup A_2)\\&=n(S)-\{n(A_1)+n(A_2)-n(A_1\cap A_2)\}\\&=n(S)-n(A_1)-n(A_2)+n(A_1\cap A_2)\end{aligned}$

이상의 성질은 세 개 이상의 부분집합에 대하여 쉽게 확장할 수 있다.

[문제 2-1] 제시문 [가]에 설명된 원리를 기업의 이윤극대화 문제에 적용할 수 있다. 기업은 이윤이 극대화 되도록 생산량( $\displaystyle Q$ )을 결정하는데, 이윤은 수익( $\displaystyle R$ )에서 비용( $\displaystyle C$ )을 뺀 값이다. 어떤 기업의 수입과 비용이 각각 $\displaystyle R=2000Q-Q^2$ , $\displaystyle C=1000+Q^2$ 로 주어졌을 때, 이윤 극대화의 필요조건을 만족시키는 생산량 $\displaystyle Q$ 를 구하라. (15점)

[문제 2-2] 제시문 [나]에 설명된 이항분포를 주식 가격의 분석에 적용할 수 있다. 주식 가격은 여러 가지 요인에 의해서 정해지지만, 설명의 편의를 위해서 “주가결정자”라고 불리는 사람이 동전을 던져 그 결과에 따라서 주가를 정한다고 하자. 동전을 던져서 앞면이 나오면 주가를 5% 높이고, 뒷면이 나오면 주가를 5% 떨어뜨린다고 하자. 동전의 앞면이 나올 확률과 뒷면이 나올 확률은 동일하다. 현재 주식 가격이 $\displaystyle S_0=10{,}000$ 원이라면, 동전을 한 번 던져서 앞면이 나오면 주가는 $\displaystyle S_1=10{,}500$ 원이 되고 뒷면이 나오면 주가는 $\displaystyle S_1=9{,}500$ 원이 된다. “주가결정자”가 동전을 $\displaystyle n$ 번 던지면, 주가는 $\displaystyle n$ 번의 상승 혹은 하락을 거쳐서 최종가치 $\displaystyle S_n$ 이 정해진다. $\displaystyle S_n$ 과 $\displaystyle S_0$ 의 비율에 로그를 취한 값을 로그수익률이라 부르는데, 이를 $\displaystyle Y_n$ 으로 표시하자. 즉 $\displaystyle Y_n=\log(S_n/S_0)$ . 이때 로그는 10을 밑으로 하는 상용로그이다. $\displaystyle Y_n$ 의 평균과 분산을 $\displaystyle \mu_n$ 과 $\displaystyle \sigma_n^2$ 로 표시하자. $\displaystyle n=100$ 일 때, 평균과 분산의 비율 $\displaystyle \mu_{100}/\sigma_{100}^2$ 을 구하라. $\displaystyle \log1.05\approx0.21$ , $\displaystyle \log0.95\approx-0.22$ 를 이용하고, 답은 기약분수로 표시하라. (20점)Correction. $\displaystyle \log1.05\approx0.02119$ , $\displaystyle \log0.95\approx-0.02228$ 이므로 원문의 $\displaystyle 0.21$ , $\displaystyle -0.22$ 는 소수점의 위치가 잘못되었다. 대학 답안은 문제에 제시된 근삿값으로 계산한 것이다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[문제 2-3] 제시문 [다]에 설명된 집합의 기본성질을 다음 상황에 적용해 보자. 무한도전 프로그램의 출연자 중 세 사람--유재석, 하하, 노홍철--의 인기도를 알아보려고 한다. 20대 남녀 100명을 임의로 선정하여 세 사람 중 누구를 좋아하는지를 물어 보았다. (복수 선택 허용.) 그 결과, 유재석을 좋아하는 사람의 수는 90명, 하하를 좋아하는 사람의 수는 70명, 노홍철을 좋아하는 사람의 수는 50명이었다. 이 세 사람 어느 누구도 좋아하지 않는 사람의 수를 $\displaystyle X$ 라 하고, 세 사람을 모두 좋아하는 사람의 수를 $\displaystyle Y$ 라 하자. $\displaystyle X$ 가 가질 수 있는 값의 최대값을 $\displaystyle p$ , $\displaystyle Y$ 가 가질 수 있는 값의 최소값을 $\displaystyle q$ 라고 할 때 $\displaystyle p+q$ 의 값을 구하라. (25점)

건국대 2015학년도 모의 인문사회계 Ⅱ 2번 · mathesis.kr/archive/konkuk/2015mo/inmun2_2

[문제 2-1]

이윤 $\displaystyle f(Q)=R(Q)-C(Q)$ 이 최대가 되는 것의 필요조건은 $\displaystyle f^{\prime}(Q)=R^{\prime}(Q)-C^{\prime}(Q)=0$ , 즉 $\displaystyle R^{\prime}(Q)=C^{\prime}(Q)$ 이다. $\displaystyle R^{\prime}(Q)=2000-2Q$ 이고 $\displaystyle C^{\prime}(Q)=2Q$ 이므로, $\displaystyle Q=500$ 이다.

$\displaystyle f(Q)$ 는 $\displaystyle Q$ 의 이차식이므로, 미분을 하지 않고 식을 정리하여 $\displaystyle Q$ 값을 찾아내는 것도 가능하다.

[문제 2-2]

동전을 $\displaystyle n$ 번 던졌을 때 앞면이 나오는 횟수를 $\displaystyle X$ 라 하자. 그러면 $\displaystyle S_n=S_0\cdot1.05^X\cdot0.95^{n-X}$ 이므로

$\displaystyle Y_n=\log(S_n/S_0)=X\log1.05+(n-X)\log0.95=X\log1.05/0.95+n\log0.95$

따라서

$\displaystyle \mu_n=E(Y_n)=E(X)\log1.05/0.95+n\log0.95$

$\displaystyle \sigma_n^2=V(Y_n)=V(X)(\log1.05/0.95)^2$

여기서 $\displaystyle X$ 는 이항분포 $\displaystyle B(n,0.5)$ 를 따른다.

이항분포의 평균은 $\displaystyle 0.5n$ 이고, 분산은 $\displaystyle 0.5^2n$ 이므로

$\displaystyle \mu_n=0.5n(\log1.05+\log0.95)$

$\displaystyle \sigma_n^2=0.5^2n(\log1.05-\log0.95)^2$

$\displaystyle \log1.05\approx0.21$ , $\displaystyle \log0.95\approx-0.22$ 를 이용하면 ( $\displaystyle n$ 의 값에 관계없이) $\displaystyle \mu_n$ 와 $\displaystyle \sigma_n^2$ 의 비율은 아래와 같다.

$\displaystyle \frac{\mu_n}{\sigma_n^2}=\frac{\log1.05+\log0.95}{0.5(\log1.05-\log0.95)^2}\approx-\frac{0.01}{0.5\cdot0.43^2}=-\frac{200}{1849}$

[문제 2-3]

유재석, 하하, 노홍철을 좋아하는 사람들의 집합을 각각 $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ , $\displaystyle C$ 라 하고, 그 여집합을 $\displaystyle A^c$ , $\displaystyle B^c$ , $\displaystyle C^c$ 라 하자. 세 사람을 좋아하는 사람의 수는 각각 $\displaystyle n(A)=90$ , $\displaystyle n(B)=70$ , $\displaystyle n(C)=50$ 명이므로 각각의 연예인을 좋아하지 않는 사람은 각각 $\displaystyle n(A^c)=10$ , $\displaystyle n(B^c)=30$ , $\displaystyle n(C^c)=50$ 명이다. “세 사람 어느 누구도 좋아하지 않는 사람”은 유재석도 좋아하지 않고, 하하도 좋아하지 않고, 노홍철도 좋아하지 않으므로 $\displaystyle A^c\cap B^c\cap C^c$ 의 원소이다. 이 집합의 크기는 $\displaystyle A^c$ 의 크기보다 작아야 하므로

$\displaystyle n(A^c\cap B^c\cap C^c)\le10$

10이 최대값이라는 걸 보여주기 위해서는 $\displaystyle n(A^c\cap B^c\cap C^c)=10$ 이 되는 경우가 있음을 확인하면 된다. 아래 그림과 같이 되는 경우 $\displaystyle n(A^c\cap B^c\cap C^c)=10$ 이 된다.

세 사람 어느 누구도 좋아하지 않는 사람의 최댓값 10을 갖는 벤 다이어그램

따라서 $\displaystyle p=10$ 이다.

“세 사람을 모두 좋아하는 사람”은 유재석도 좋아하고, 하하도 좋아하고, 노홍철도 좋아하므로 $\displaystyle A\cap B\cap C$ 의 원소이다. 설명의 편의를 위하여 각 부분집합의 원소수를 아래 그림과 같이 표시하기로 하자.

세 집합의 각 부분집합 원소 수를 a, b, c, d로 나타낸 벤 다이어그램

각 부분집합의 원소의 수는 0보다 작을 수 없으므로:

$\displaystyle \begin{gathered}a+b+d\le90\\a+c+d\le70\\b+c+d\le50\end{gathered}$

모든 부분집합의 원소수를 더한 것이 100보다 클 수 없으므로:

$\displaystyle 210-a-b-c-2d\le100$

마지막 부등식의 좌변과 우변에 2를 곱한 후 앞의 세 개의 부등식과 더해주면 다음을 얻는다.

$\displaystyle 420-d\le410$

따라서

$\displaystyle 10\le d$

이제 10이 최소값이라는 걸 보여주기 위해서는 $\displaystyle n(A\cap B\cap C)=10$ 이 되는 경우가 있음을 확인하면 된다. “세 사람을 모두 좋아하는 사람”은 $\displaystyle A\cap B\cap C$ 의 원소이다. $\displaystyle A\cap B\cap C$ 의 원소를 최소화하기 위해서는 $\displaystyle (A\cap B)-C$ , $\displaystyle (B\cap C)-A$ , $\displaystyle (A\cap C)-B$ 에 가능한 많은 원소를 할당해야 한다. 다음과 같은 상황을 고려해 보자.

이 상태에서 $\displaystyle A\cap B\cap C$ 의 원소수를 그대로 둔 채로 $\displaystyle (A\cap B)-C$ , $\displaystyle (B\cap C)-A$ , $\displaystyle (A\cap C)-B$ 세 집합의 원소 수를 조정하면 $\displaystyle A\cup B\cup C$ 의 원소수가 100을 넘게 됨을 확인할 수 있다. 따라서 $\displaystyle A\cap B\cap C$ 의 원소수의 최소값은 10이 된다. 따라서 $\displaystyle d$ 의 최소값은 10이다. 즉 $\displaystyle q=10$ 이다.

그러므로 $\displaystyle p+q=20$ 이 된다.

문항	평가	평가 내용
2-1	최상	$\displaystyle R$ 과 $\displaystyle C$ 의 도함수를 정확히 구하고, $\displaystyle R$ 과 $\displaystyle C$ 의 도함수가 동일하다는 조건을 이용 $\displaystyle Q$ 의 값을 정확히 찾아내는 경우혹은 $\displaystyle R-C$ 를 이차함수로 표시하여 식이 최소가 되는 $\displaystyle Q$ 의 값을 정확히 찾아내는 경우
Correction. 이윤 $\displaystyle R-C$ 에 대한 “최소”는 “최대”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.
	상	정확한 $\displaystyle Q$ 의 값이 답에 포함되어 있으나 필요조건이라는 표현을 이해하지 못해 부정확, 불필요한 언급이 포함된 경우
	중	필요조건은 이해하고 있으나 $\displaystyle R$ 과 $\displaystyle C$ 의 도함수를 정확히 구하지 못한 경우; 혹은 $\displaystyle R-C$ 를 이차함수로 표시하였으나 최소가 되는 $\displaystyle Q$ 를 정확히 찾아내지 못한 경우
	하	답의 완성도가 위에 제시된 수준에 미치지 못하는 경우
	최하	문제와는 전혀 다른 답안을 제시한 경우 또는 제시 못한 경우
2-2	최상	동전의 앞면이 나오는 횟수 (혹은 뒷면이 나오는 횟수)가 이항분포를 가지는 확률변수 $\displaystyle X$ 임을 설명하고, 로그수익률을 $\displaystyle X$ 의 함수로 정확히 표현하고, 이항분포의 평균과 분산을 정확히 계산하고, 이를 대입하여 로그수익률의 평균과 분산을 정확히 계산하고, 로그수익률의 평균과 분산의 비율까지 실수 없이 계산한 경우
	상	동전의 앞면이 나오는 횟수 (혹은 뒷면이 나오는 횟수)가 이항분포를 가지는 확률변수 $\displaystyle X$ 임을 설명하고, 로그수익률을 $\displaystyle X$ 의 함수로 정확히 표현하고, 이항분포의 평균과 분산을 정확히 계산하고, 이를 대입하여 로그수익률의 평균과 분산을 표현하였으나, 이후 계산과정에서 실수한 경우
	중	동전의 앞면이 나오는 횟수 (혹은 뒷면이 나오는 횟수)가 이항분포를 가지는 확률변수 $\displaystyle X$ 임을 설명하고, 로그수익률을 $\displaystyle X$ 의 함수로 정확히 표현했으나 이후 계산 과정을 제대로 진행하지 못한 경우 (이항분포의 평균과 분산을 몰라서 계산을 진행하지 못한 경우 포함)
	하	동전의 앞면이 나오는 횟수 (혹은 뒷면이 나오는 횟수)가 이항분포를 가지는 확률변수 $\displaystyle X$ 임은 알았으나, 로그수익률을 $\displaystyle X$ 의 함수로 표현하지 못한 경우; 혹은 동전의 앞면이 나오는 횟수 (혹은 뒷면이 나오는 횟수)가 이항분포를 가지는 확률변수 $\displaystyle X$ 임을 알지 못했으나 문제의 다른 부분에서 높은 이해도를 보인 경우
	최하	답의 완성도가 위에 제시하는 수준에 미치지 못하는 경우
2-3	최상	$\displaystyle X$ 의 최대값 $\displaystyle p$ 와 $\displaystyle Y$ 의 최소값 $\displaystyle q$ 를 정확히 계산하고, 논리적으로 빈틈없는 설명을 제시한 경우
	상	$\displaystyle X$ 의 최대값 $\displaystyle p$ 와 $\displaystyle Y$ 의 최소값 $\displaystyle q$ 를 정확히 계산했으나, 설명이 완전하지 못한 경우. 부등식을 얻었으나 등호가 성립함을 보이지 않은 경우 포함; 혹은 $\displaystyle p$ 의 값을 정확히 계산하고 설명도 완전하지만 $\displaystyle q$ 에 대한 답이 틀린 경우 혹은 $\displaystyle q$ 의 값을 정확히 계산하고 설명도 완전하지만 $\displaystyle p$ 에 대한 답이 틀린 경우
	중	$\displaystyle p$ 의 값을 정확히 계산했으나 설명이 완전하지 못한 경우; 혹은 $\displaystyle q$ 의 값을 정확히 계산했으나 설명이 완전하지 못한 경우
	하	$\displaystyle p$ , $\displaystyle q$ 의 값을 정확히 계산하지 못했으나 문제에 대한 높은 이해도를 보인 경우
	최하	답의 완성도가 위에 제시한 수준에 미치지 못하는 경우

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.

인문사회계 Ⅱ 2번

문제

첨삭 사례

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개