수리논술, 이게 다다.

자연계열 1-1번

오류 제보

건국대 2015학년도 모의 자연계열 1-1번 · mathesis.kr/archive/konkuk/2015mo/jayeon_1_1

배점25점
예상 소요 시간미공개
다음 문제

문제

[제시문-가]

행렬 계산을 이용하여 2음절 문자에 대한 암호를 만들 수 있다. 우선, 다음 [표 1]과 같이 각 한글 자모에 정수를 대응시키되, 음절 단위로 행을 바꾸어 행렬을 만든다. (단, 음절이 자음 1개와 모음 1개만으로 이루어진 경우, 행의 마지막에 숫자 0을 추가한다.)

[표 46]
ㄱㄴㄷㄹㅁㅂㅅㅇㅈㅊㅋㅌㅍㅎ
1234567891011121314
ㅏㅑㅓㅕㅗㅛㅜㅠㅡㅣ    
−1−2−3−4−5−6−7−8−9−10    

Correction. 그림의 [표 46]은 본문과 답안에서 가리키는 [표 1]이다. 같은 표의 번호가 다르게 적혀 있으므로 혼동하지 않도록 주의해야 한다. 원본 그림은 그대로 실었다.

예를 들어, 문자 ‘수학’은 행렬 M=(7−7014−11)\displaystyle M=\begin{pmatrix}7&-7&0\\14&-1&1\end{pmatrix}에 대응된다. 이 정보를 암호화하기 위한 암호 열쇠로 행렬 A=(−1111)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix}을 사용할 경우, 암호화된 행렬 N=AM=(76121−81)\displaystyle N=AM=\begin{pmatrix}7&6&1\\21&-8&1\end{pmatrix}을 얻는다. 암호문 행렬 N\displaystyle N을 전달받은 사람이 암호를 해독하려면 A\displaystyle A의 역행렬을 곱하여 처음 행렬 M=A−1N\displaystyle M=A^{-1}N을 얻고, 위 표를 이용하여 최종적으로 문자 ‘수학’을 복원할 수 있다.

[문제 1-1] [제시문-가]를 읽고, 다음 물음에 답하시오. (25점)

(단답형) 암호 열쇠 행렬 B=(2−11−1)\displaystyle B=\begin{pmatrix}2&-1\\1&-1\end{pmatrix}을 사용하여 암호화한 암호문 행렬 (113041)\displaystyle \begin{pmatrix}1&1&3\\0&4&1\end{pmatrix}을 전달받았다고 한다. 원래의 문자가 무엇이었는지 쓰시오.

(서술형) 문자 ‘수학’을 어떤 암호 열쇠 행렬 P\displaystyle P를 사용하여 암호화하였을 때, (7x−121y1)\displaystyle \begin{pmatrix}7&x&-1\\21&y&1\end{pmatrix}이 얻어졌다고 하자. 2열에 들어갈 정수 x\displaystyle x와 y\displaystyle y를 구하되, 풀이과정을 명시하시오.

해설강의 준비중

건국대 2015학년도 모의 자연계열 1-1번 · mathesis.kr/archive/konkuk/2015mo/jayeon_1_1

[문제1-1] (단답형) 정답: 건국

원래의 문자에 대응하는 행렬을 M\displaystyle M이라 하자. BM=(113041)\displaystyle BM=\begin{pmatrix}1&1&3\\0&4&1\end{pmatrix}라는 식으로부터

M=B−1(113041)=(1−11−2)(113041)=(1−321−71)\displaystyle M=B^{-1}\begin{pmatrix}1&1&3\\0&4&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\1&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&3\\0&4&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-3&2\\1&-7&1\end{pmatrix}을 얻고, [표 1]을 이용하면 원래의 문자가 ‘건국’임을 알 수 있다.

(서술형) 문제에 주어진 조건으로부터 다음과 같은 등식을 얻는다.

P(7−7014−11)=(7x−121y1)\displaystyle P\begin{pmatrix}7&-7&0\\14&-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&x&-1\\21&y&1\end{pmatrix}

2열을 제외한 연립방정식을 행렬로 표현하면 다음과 같다.

P(70141)=(7−1211)\displaystyle P\begin{pmatrix}7&0\\14&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&-1\\21&1\end{pmatrix}

따라서, P=(7−1211)(70141)−1=(3−111)\displaystyle P=\begin{pmatrix}7&-1\\21&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}7&0\\14&1\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1\\1&1\end{pmatrix}.Comment. 대학 답안에서 구한 P\displaystyle P를 문자 행렬의 둘째 열에 곱하면 (xy)=(3−111)(−7−1)=(−20−8)\displaystyle \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-7\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-20\\-8\end{pmatrix}이다. 따라서 문제에서 요구한 값은 x=−20\displaystyle x=-20, y=−8\displaystyle y=-8이다.

문항평가평가 내용
서술형 1최상풀이의 모든 과정이 맞은 경우
상풀이가 맞았지만 계산 실수로 답이 틀린 경우
중행렬곱을 이용한 암호화 과정과 역행렬을 이용하여 암호를 찾는 과정이 표현되었으나 설명이 미흡한 경우
하행렬곱을 이용한 암호화 과정만 표현된 경우
최하위의 경우의 어디에도 해당되지 않는 경우

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.