인문사회계 Ⅱ 2번

[문제 2-1]

(1) 행렬을 이용한 답

표에 주어진 값을 $\displaystyle 4\times4$ 행렬 $\displaystyle A$로 부르자. $\displaystyle i$-번째 원소가 1이고 나머지가 모두 0인 $\displaystyle 1\times4$ 행렬을 $\displaystyle e_i$라 하자. 그러면 $\displaystyle i$-번째 국면이 첫 번째(확장기), 두 번째(후퇴기), 세 번째(수축기), 네 번째(회복기) 국면으로 전환될 확률은 $\displaystyle e_iA$로 나타낼 수 있고, 2년 후의 각 국면의 확률은 $\displaystyle e_iA^2$으로 나타낼 수 있다. 현재의 국면은 확장기이므로 $\displaystyle e_i$대신 $\displaystyle e_1$을 써 주면 $\displaystyle e_1A^2$이므로 $\displaystyle A^2$의 첫 번째 행이 되고, 후퇴기와 수축기의 확률을 더하려면 이 행의 두 번째와 세 번째 원소를 더해주면 된다.

$\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}.7&.25&.03&.02\\.02&.5&.4&.08\\.08&.03&.6&.29\\.2&.04&.01&.75\end{pmatrix}\begin{pmatrix}.7&.25&.03&.02\\.02&.5&.4&.08\\.08&.03&.6&.29\\.2&.04&.01&.75\end{pmatrix}$

$\displaystyle =\begin{pmatrix}\cdot&.175+.125+.0009+.0008&+.021+.1+.018+.0002&\cdot\\\cdot&\cdot&\cdot&\cdot\\\cdot&\cdot&\cdot&\cdot\\\cdot&\cdot&\cdot&\cdot\end{pmatrix}\quad(1)$

이므로 $\displaystyle .175+.125+.0009+.0008+.021+.1+.018+.0002=.4409$가 답이다.

[문제 2-2]

지문 [라]로부터 현재가치와 미래가치의 관계식을 유도하면

$\displaystyle \text{현재가치}=\text{미래가치}\times\frac1{(1+i)^n}\quad(3)$

유효이자율이 10%일 때, 현재 가지고 있는 10,000원의 12년 후 미래가치는

$\displaystyle \text{미래가치}=\text{현재가치}\times(1+i)^n=10{,}000\times(1.10)^{12}\quad(4)$

미래가치 계수인 $\displaystyle (1.10)^{12}$을 구하기 위해 문제에서 주어진 힌트를 활용하면

$\displaystyle \log_{10}1.1=0.0414\quad(5)$

$\displaystyle n\log_{10}1.1=n\times0.0414$

$\displaystyle \log_{10}(1.1)^n=n\times(0.0414)$

$\displaystyle (1.1)^n=10^{n\times(0.0414)}$

$\displaystyle (1.1)^{12}=10^{12\times(0.0414)}$

따라서 미래가치는

$\displaystyle \text{미래가치}=10{,}000\times(1.1)^{12}=10{,}000\times10^{12\times(0.0414)}\quad(6)$

문제의 힌트에서 주어진 $\displaystyle 10^{12\times0.0414}$의 값을 활용하면

$\displaystyle \text{미래가치}=10{,}000\times10^{12\times(0.0414)}=10{,}000\times3.1384\quad(7)$

즉, 문제가 요구하는 미래가치는

$\displaystyle \text{미래가치}=31{,}384\quad(8)$

[문제 2-3]

지문의 마지막 문장 “경제성장효용체감의 법칙은 1인당 국민소득이 높아질 때 행복지수는 계속 상승하지만 행복지수의 증가속도는 낮아진다는 것이다”이 담고 있는 조건을 수식으로 표현하는 능력을 평가하는 게 이 문제의 출제의도다.

$\displaystyle Z$를 $\displaystyle Y$에 대해 미분하여 얻는 도함수를 $\displaystyle f(Y)$라 하면,

$\displaystyle f(Y)=-1+10Y-9Y^2=-9Y^2+10Y-1=-(9Y-1)(Y-1)\quad(9)$

이다. $\displaystyle f(Y)=0$의 해는 $\displaystyle \frac19$, $\displaystyle 1$이 되고 $\displaystyle f(Y)$는 $\displaystyle \left(\frac19,0\right)$과 $\displaystyle (1,0)$을 지난다. 또한

$\displaystyle f(Y)=-1+10Y-9Y^2=-9\left(Y-\frac59\right)^2+\frac{25}9-1=-9\left(Y-\frac59\right)^2+\frac{16}9\quad(10)$

이므로 $\displaystyle f(Y)$는 꼭지점 $\displaystyle \left(\frac59,\frac{16}9\right)$를 갖는 포물선이다. 이를 그림으로 그리면 아래와 같다.

그림으로부터 다음을 알 수 있다.

(i) $\displaystyle Y$가 $\displaystyle \left(\frac19,\frac59\right)$ 구간에 있을 때:

$\displaystyle f(Y)$는 0보다 크고 증가함수이다. 따라서 행복지수 $\displaystyle Z$는 증가하고, 증가속도도 증가한다.

(ii) $\displaystyle Y$가 $\displaystyle \left(\frac59,1\right)$ 구간에 있을 때:

$\displaystyle f(Y)$는 0보다 크고 감소함수이다. 따라서 행복지수 $\displaystyle Z$는 증가하고, 증가속도는 감소한다.

(iii) 그 외의 구간에서는:

$\displaystyle f(Y)$는 0보다 작다. 따라서 행복지수 $\displaystyle Z$는 감소한다.

그러므로 행복지수 $\displaystyle Z$가 증가하고 증가속도가 감소하는 구간은 $\displaystyle \left(\frac59,1\right)$이다. 따라서 열린구간 $\displaystyle (a,b)$가 $\displaystyle \left(\frac59,1\right)$에 포함되어야 하고, $\displaystyle b-a$의 최대값은 $\displaystyle 1-\frac59=\frac49$가 된다.