자연계열 1-1번

[문제1-1] (단답형) 정답: $\displaystyle \frac12\,\mathrm{m}$

그림에서 $\displaystyle \tan\alpha=\frac ax$, $\displaystyle \tan\beta=\frac bx$이므로

$\displaystyle \tan\theta=\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}=\frac{\frac ax-\frac bx}{1+\frac ax\frac bx}=\frac{(a-b)x}{x^2+ab}$.

$\displaystyle x=2,3$일 때의 $\displaystyle \tan\theta$ 값이 $\displaystyle \frac2{11}$, $\displaystyle \frac17$이므로 $\displaystyle \tan A=\frac2{11}=\frac{2(a-b)}{4+ab}$, $\displaystyle \tan B=\frac17=\frac{3(a-b)}{9+ab}$. 따라서

$\displaystyle 11(a-b)=4+ab\quad\cdots$ ①

$\displaystyle 21(a-b)=9+ab\quad\cdots$ ②

②-①에서 $\displaystyle 10(a-b)=5$이므로 $\displaystyle a-b=\frac12$이다.

따라서 막대의 길이는 $\displaystyle a-b=\frac32-1=\frac12$이 된다.

21①-11②에서 $\displaystyle 21(4+ab)-11(9+ab)=0$이므로 $\displaystyle 10ab=99-84=15$, 즉 $\displaystyle ab=\frac32$.

위 두 식을 연립하여 풀면 $\displaystyle a=\frac32$, $\displaystyle b=1$.

[문제1-1] (서술형) 정답: 2

앞의 풀이에 의해 건국이의 경우 $\displaystyle a=\frac32$, $\displaystyle b=1$이므로

$\displaystyle \tan f(x)=\frac{(a-b)x}{x^2+ab}=\frac{\frac12x}{x^2+\frac32}=\frac{x}{2x^2+3}$

조카의 경우, 대응되는 길이를 $\displaystyle a^{\prime}$, $\displaystyle b^{\prime}$이라 하면 $\displaystyle a^{\prime}=a+\frac12=2$, $\displaystyle b^{\prime}=b+\frac12=\frac32$이므로

$\displaystyle \tan g(x)=\frac{(a^{\prime}-b^{\prime})x}{x^2+a^{\prime} b^{\prime}}=\frac{\frac12x}{x^2+2\cdot\frac32}=\frac{x}{2x^2+6}$

$\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}g(x)=0$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\tan f(x)}{f(x)}=\lim_{x\to0}\frac{\tan g(x)}{g(x)}=1$.

또한 $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\tan f(x)}{\tan g(x)}=\lim_{x\to0}\frac{2x^2+6}{2x^2+3}=2$이므로

$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{\tan f(x)}\frac{\tan g(x)}{g(x)}\frac{\tan f(x)}{\tan g(x)}=1\cdot1\cdot2=2$.