자연계열 1-2번

[문제1-2] (단답형) 정답: $\displaystyle 2\sqrt3$

$\displaystyle \overline{PM}=\overline{PA}$이므로 $\displaystyle \overline{OP}+\overline{PM}=\overline{OP}+\overline{PA}=4$로 거리의 합이 일정하다.

따라서 $\displaystyle P$가 만드는 곡선은 $\displaystyle O$와 $\displaystyle M$을 초점으로 하고 장축의 길이가 4인 타원이다.

장축의 길이를 $\displaystyle 2a$, 단축의 길이를 $\displaystyle 2b$, 초점사이의 거리를 $\displaystyle 2c$라 하자.

$\displaystyle 2a=4$이므로 $\displaystyle a=2$이다.

$\displaystyle 2c=\overline{OM}=2$이므로 $\displaystyle c=1$이다.

$\displaystyle b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt3$이다.

$\displaystyle OM$의 수직이등분선과 타원의 두 교점 사이의 거리는 단축의 길이이므로 $\displaystyle 2b=2\sqrt3$이다.

[문제1-2] (서술형 1) 정답: $\displaystyle \frac12$

$\displaystyle O$를 원점이라 $\displaystyle M$의 좌표를 $\displaystyle (2,0)$이라 하자.

타원의 중심은 $\displaystyle OM$의 중점인 $\displaystyle (1,0)$이다. 따라서 방정식은 $\displaystyle \frac{(x-1)^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$.

$\displaystyle x=2$일 때의 $\displaystyle y$좌표를 구하면 $\displaystyle \frac14+\frac{y^2}{3}=1$에서 $\displaystyle y^2=\frac94$, 즉 $\displaystyle y=\pm\frac32$이다.

$\displaystyle \left(2,\frac32\right)$에서의 접선의 방정식을 구하면 $\displaystyle \frac{(2-1)(x-1)}4+\frac{\frac32y}3=1$에서 $\displaystyle \frac{x-1}4+\frac y2=1$.

따라서 $\displaystyle y=-\frac12x+\frac52$이다.

같은 방법으로 $\displaystyle \left(2,-\frac32\right)$에서의 접선은 $\displaystyle y=\frac12x+\frac52$이다.Correction. 접선 식 $\displaystyle y=\frac12x+\frac52$는 $\displaystyle y=\frac12x-\frac52$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

이 접선들의 기울기가 $\displaystyle \tan\theta$이고, $\displaystyle θ$가 예각이므로 $\displaystyle \tan\theta=\frac12$이다.

[문제1-2] (서술형 2) 정답: 12

그림에서와 같이 $\displaystyle \overline{QA}=\overline{QN}$이므로 $\displaystyle |\overline{OQ}-\overline{QN}|=|\overline{OA}+\overline{AQ}-\overline{AQ}|=\overline{OA}=4$이다.

따라서 $\displaystyle Q$가 이루는 곡선은 $\displaystyle O$와 $\displaystyle N$을 초점으로 하고 두 꼭지점 사이의 거리가 4인 쌍곡선이다.

$\displaystyle O$를 원점이라 하고 $\displaystyle N$의 좌표를 $\displaystyle (8,0)$이라 하자.

이 쌍곡선의 중심은 $\displaystyle ON$의 중점인 $\displaystyle (4,0)$이므로

방정식은 $\displaystyle \frac{(x-4)^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 꼴이다.

$\displaystyle 2a=4$에서 $\displaystyle a=2$.

$\displaystyle 2c=8$에서 $\displaystyle c=4$.

$\displaystyle b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}=2\sqrt3$.

따라서 쌍곡선의 방정식은

$\displaystyle \frac{(x-4)^2}4-\frac{y^2}{12}=1$

$\displaystyle ON$과 $\displaystyle 45°$를 이루는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=x$.

이를 쌍곡선의 방정식에 대입하면, $\displaystyle \frac{(x-4)^2}4-\frac{x^2}{12}=1$에서 $\displaystyle 3(x-4)^2-x^2=12$.

즉 $\displaystyle 2x^2-24x+36=0$, $\displaystyle x^2-12x+18=0$이므로 $\displaystyle x=6\pm3\sqrt2$.

따라서 두 교점의 $\displaystyle x$좌표 사이의 거리는 $\displaystyle 6\sqrt2$이다.

이 두 점이 $\displaystyle y=x$인 직선 위에 있으므로 두 교점사이의 거리는 $\displaystyle 6\sqrt2\cdot\sqrt2=12$.