건국대 2016학년도 모의 인문사회계 Ⅱ 2번 해설

[다]

효율적 생산은 일정량의 재화를 최소의 비용으로 생산하는 것을 말한다. 따라서 생산이 비효율적이라는 것은 일정량의 재화를 보다 적은 비용으로 생산할 수 있는 여지가 남아 있다는 것을 의미한다. 따라서 효율성은 모든 경제 활동에서 추구되어야 할 공통적인 가치인 동시에 목표라고 할 수 있다.

[라]

이산형 확률변수 $\displaystyle X$ 의 확률분포가 다음과 같을 때

$x$	$x_1$	$x_2$	⋯	$x_n$	합
$P(X=x)$	$p_1$	$p_2$	⋯	$p_n$	1

$\displaystyle E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n$ 을 확률변수 $\displaystyle X$ 의 기댓값 혹은 평균이라고 한다.

[마]

시장가격은 수요와 공급이 일치하는 곳, 즉 수요곡선과 공급곡선이 만나는 곳에서 결정된다. 이 가격에서는 공급자들이 팔고자 하는 양과 수요자들이 사려는 양이 균형을 이룬다고 해서 이를 ‘시장균형가격’이라고 부른다.

[바]

가격이 변함에 따라 수요량이 얼마나 민감하게 변하는가를 측정하기 위한 지표가 바로 수요의 가격탄력성이다. 수요의 가격탄력성은 가격이 변하는 비율에 비해 수요량이 변하는 비율이 얼마나 되는가를 나타내는 지표이며 다음과 같이 정의된다.

수요의 가격탄력성 $\displaystyle =\frac{\text{수요량의 변화율}}{\text{가격의 변화율}}$ ,

가격의 변화율 $\displaystyle =\frac{\text{변화후 가격}-\text{변화전 가격}}{\text{변화전 가격}}$ ,

수요량의 변화율 $\displaystyle =\frac{\text{변화후 수요량}-\text{변화전 수요량}}{\text{변화전 수요량}}$

[문제 2-1] [다]에 근거하여 두 기업 ‘갑’과 ‘을’의 효율성을 비교하고자 한다. 시점 $\displaystyle t$ 에서의 갑의 효율성은 $\displaystyle f(t)=t^3+at$ 이며 을의 효율성은 $\displaystyle g(t)=9t^2+18$ 이고 시점 $\displaystyle t=3$ 에서 두 기업의 효율성은 같다고 한다. 상수 $\displaystyle a$ 의 값을 구하고, 이를 이용하여 시점 $\displaystyle t=1$ 에서 $\displaystyle t=5$ 까지 두 기업의 효율성의 차이 $\displaystyle d(t)=|h(t)|$ 의 그래프를 그려라. 단, $\displaystyle h(t)=f(t)-g(t)$ 이다. (15점)

[문제 2-2] 어느 기업에서 생산하는 한 제품의 올해의 공급곡선은 공급량 $\displaystyle x>0$ 에 대한 함수 $\displaystyle g_0(x)=x+1$ 이고, 올해의 수요곡선은 수요량 $\displaystyle x>0$ 에 대한 함수 $\displaystyle f(x)=\frac1x$ 이다. 내년에는 공급의 증가 현상이 발생하여 공급곡선 $\displaystyle g_0(x)$ 가 5개의 공급곡선 $\displaystyle g_k(x)=x-k+\frac1k$ , $\displaystyle k=1,2,\cdots,5$ 중 하나로 반드시 이동할 것으로 예상되며, 수요곡선은 변하지 않는다고 한다. 공급곡선이 이동할 확률이 $\displaystyle p_k=\frac a{k+1}$ , $\displaystyle k=1,2,\cdots,5$ 일 때, [라]와 [마]를 참고하여 $\displaystyle a$ 의 값과 내년의 시장균형가격의 확률분포를 구하고, 이 표를 활용하여 내년의 시장균형가격의 평균을 구하여라. (20점)

[문제 2-3] 어떤 제품의 $\displaystyle n$ 년도 가격과 수요량은 각각 $\displaystyle a_n$ 과 $\displaystyle b_n$ 이고 $\displaystyle a_n$ 과 $\displaystyle b_n$ 은 각각 $\displaystyle a_{n+1}=xa_n-x+1$ 과 $\displaystyle b_{n+1}=yb_n$ 을 만족한다고 한다. 이 제품의 가격이 $\displaystyle n$ 년도에서 $\displaystyle n+1$ 년도로 변할 때, 이 제품의 수요의 가격탄력성을 $\displaystyle c_n$ 이라고 하자. [바]를 참고하여 $\displaystyle c_n$ 을 $\displaystyle x$ , $\displaystyle y$ , $\displaystyle n$ 의 함수로 나타내고, $\displaystyle c_n$ 의 극한값 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_n$ 이 존재하기 위한 $\displaystyle x$ 의 범위와 이 때의 극한값을 $\displaystyle x$ 와 $\displaystyle y$ 로 표현하라. 단, $\displaystyle a_1=2,b_1\ne0,x>0,x\ne1,y>1$ 이다. (25점)

건국대 2016학년도 모의 인문사회계 Ⅱ 2번 · mathesis.kr/archive/konkuk/2016mo/inmun2_2

[문제 2-1]

시점 $\displaystyle t=3$ 에서 두 기업이 효율성이 같으므로

(식 1-1) $\displaystyle f(3)=27+3a=g(3)=81+18\Leftrightarrow a=24$ 이다. 따라서 $\displaystyle h$ 와 $\displaystyle h$ 의 미분 $\displaystyle h^\prime$ 은 다음과 같다.

(식 1-2) $\displaystyle h(t)=t^3-9t^2+24t-18$ 그리고 $\displaystyle h^\prime(t)=3t^2-18t+24$ 따라서 $\displaystyle h$ 는 다음 방정식의 해

(식 1-3) $\displaystyle h^\prime(t)=3(t-4)(t-2)=0\Leftrightarrow t=2,4$ 에서 각각 극대점과 극소점을 갖는다.

(식 1-4) $\displaystyle h(1)=h(4)=-2,h(3)=0,h(2)=h(5)=2$ 임을 활용하면 $\displaystyle h$ 의 그래프는 아래 그림의 왼쪽과 같고 따라서 $\displaystyle d=|h|$ 의 그래프는 아래 그림의 오른쪽과 같다.

[문제 2-2]

수요곡선 $\displaystyle f$ 와 공급곡선 $\displaystyle g_k$ 로 결정되는 시장균형가격은 두 함수의 교점에서 발생한다. 따라서 다음 방정식

(식 2-1) $\displaystyle f(x)=g_k(x)\Leftrightarrow kx^2+(1-k^2)x-k=(kx+1)(x-k)=0\Leftrightarrow x=k,-\frac1k$ , 단 $\displaystyle x>0$

의 해 $\displaystyle x=k$ 에서 시장균형가격이 결정되고 그 값은 (식 2-2) $\displaystyle f(k)=g_k(k)=\frac1k$ 임을 알 수 있다. 또한 확률의 합은 1이므로

(식 2-3) $\displaystyle \frac a2+\frac a3+\frac a4+\frac a5+\frac a6=1\Leftrightarrow a=\frac{60}{87}=\frac{20}{29}$

이고 따라서 내년의 시장균형가격 $\displaystyle X$ 의 확률분포는 다음과 같다.

(표2-4)
$x$	$\frac11$	$\frac12$	$\frac13$	$\frac14$	$\frac15$	합
$P(X=x)$	$\frac a2=\frac{10}{29}$	$\frac a3=\frac{20}{87}$	$\frac a4=\frac5{29}$	$\frac a5=\frac4{29}$	$\frac a6=\frac{10}{87}$	1

따라서 위 표를 활용하면 내년의 시장균형가격의 기댓값은 다음과 같다.

(식 2-5) $\displaystyle E(X)=\sum_{k=1}^5\frac1k\frac a{k+1}=a\sum_{k=1}^5\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)=a\left(\frac11-\frac12+\cdots+\frac15-\frac16\right)=\frac56a=\frac{50}{87}$

[문제 2-3]

먼저 가격 $\displaystyle a_n$ 의 일반항을 구한다. $\displaystyle a_{n+1}=xa_n-x+1\Leftrightarrow a_n-1=x(a_n-1)$ 이므로 따라서Correction. 오른쪽 등식의 좌변 $\displaystyle a_n-1$ 은 $\displaystyle a_{n+1}-1$ 의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(식 3-1) $\displaystyle a_n-1=(a_1-1)x^{n-1}$ , $\displaystyle a_1=2\Leftrightarrow a_n=x^{n-1}+1$

$\displaystyle a_{n+1}-a_n=x^n-x^{n-1}=x^{n-1}(x-1)$ 이므로 가격의 변화율은 다음과 같다.

(식 3-2) $\displaystyle P_n=\frac{a_{n+1}-a_n}{a_n}=\frac{x^{n-1}(x-1)}{x^{n-1}+1}$ , $\displaystyle x\ne1,x>0$

마찬가지로 수요량 $\displaystyle b_n$ 의 일반항을 구하면

(식 3-3) $\displaystyle b_n=b_1y^{n-1}$ 이고 $\displaystyle b_{n+1}-b_n=b_1y^n-b_1y^{n-1}=b_1y^{n-1}(y-1)$ 이므로 수요량의 변화율은 다음과 같다.

(식 3-4) $\displaystyle Q_n=\frac{b_{n+1}-b_n}{b_n}=\frac{b_1(y-1)y^{n-1}}{b_1y^{n-1}}=y-1$ , $\displaystyle y>1$

따라서 수요의 가격탄력성은

(식 3-5) $\displaystyle c_n=\frac{Q_n}{P_n}=\frac{(y-1)(x^{n-1}+1)}{(x-1)x^{n-1}}=\frac{y-1}{x-1}\left\{1+\left(\frac1x\right)^{n-1}\right\}$ 으로 주어진다.

(결론 3-6) 따라서 $\displaystyle c_n$ 의 극한값이 존재하는 $\displaystyle x$ 의 범위는 $\displaystyle x>1$ 이고 극한값은 $\displaystyle \frac{y-1}{x-1}$ 이다.

[문제 2-1]

다음 4개 항목에 대한 답을 고려하여 평가한다.

Correction. 아래에 열거된 항목은 모두 다섯 개이므로 “4개 항목”은 “5개 항목”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(식 1-1) $\displaystyle t=3$ 에서 효율성의 차이가 없음을 활용하여 $\displaystyle a$ 의 값을 구한다.

(식 1-2) $\displaystyle h$ 를 미분하여 $\displaystyle h^\prime$ 을 구한다.

(식 1-3) $\displaystyle h^\prime=0$ 을 풀어 극대점과 극소점을 가지는 $\displaystyle t$ 값을 구한다.

(식 1-4) $\displaystyle h$ 의 개형을 확인 할 수 있는 몇 개의 (끝값, 극값, 절편 등) 함수값을 구한다.

(그림 1-5) $\displaystyle h$ 의 그래프를 이용하여 $\displaystyle d=|h|$ 의 그래프를 그린다.

[문제 2-2]

다음 4개 항목에 대한 답을 고려하여 평가한다.

Correction. 아래에 열거된 항목은 모두 다섯 개이므로 “4개 항목”은 “5개 항목”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(식 2-1) 방정식 $\displaystyle f(x)=g_k(x)$ 를 풀어야 함을 이해하고 그 해 $\displaystyle x=k$ 를 구한다.

(식 2-2) 시장균형가격이 $\displaystyle x=k$ 에서 발생함을 이해하고 이 때의 시장균형가격 $\displaystyle f(k)=1/k$ 를 구한다.

(식 2-3) 확률의 합이 1임을 이용하여 $\displaystyle a$ 의 값을 구한다.

(표 2-4) 주어진 확률 $\displaystyle p_k=a/(k+1)$ 을 이용하여 시장균형가격의 확률분포를 도시한다.

(식 2-5) 시장균형가격의 기댓값을 구한다.

[문제 2-3]

다음 6개 항목에 대한 답을 고려하여 평가한다.

(식 3-1) 가격 $\displaystyle a_n$ 의 일반항을 구한다.

(식 3-2) 가격 $\displaystyle a_n$ 의 변화율 $\displaystyle P_n$ 을 구한다.

(식 3-3) 수요량 $\displaystyle b_n$ 의 일반항을 구한다.

(식 3-4) 수요량 $\displaystyle b_n$ 의 변화율 $\displaystyle Q_n$ 을 구한다.

(식 3-5) 수요의 가격탄력성 $\displaystyle c_n$ 을 구한다.

(결론 3-6) $\displaystyle c_n$ 이 $\displaystyle (1/x)^{n-1}$ 의 함수임을 활용하여 2가지의 경우로 나누어 결론을 유도한다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.

인문사회계 Ⅱ 2번

문제

첨삭 사례

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개