인문사회계 Ⅱ 2번

[문제 2-1]

시점 $\displaystyle t=3$에서 두 기업이 효율성이 같으므로

(식 1-1) $\displaystyle f(3)=27+3a=g(3)=81+18\Leftrightarrow a=24$이다. 따라서 $\displaystyle h$와 $\displaystyle h$의 미분 $\displaystyle h^\prime$은 다음과 같다.

(식 1-2) $\displaystyle h(t)=t^3-9t^2+24t-18$ 그리고 $\displaystyle h^\prime(t)=3t^2-18t+24$ 따라서 $\displaystyle h$는 다음 방정식의 해

(식 1-3) $\displaystyle h^\prime(t)=3(t-4)(t-2)=0\Leftrightarrow t=2,4$에서 각각 극대점과 극소점을 갖는다.

(식 1-4) $\displaystyle h(1)=h(4)=-2,h(3)=0,h(2)=h(5)=2$임을 활용하면 $\displaystyle h$의 그래프는 아래 그림의 왼쪽과 같고 따라서 $\displaystyle d=|h|$의 그래프는 아래 그림의 오른쪽과 같다.

[문제 2-2]

수요곡선 $\displaystyle f$와 공급곡선 $\displaystyle g_k$로 결정되는 시장균형가격은 두 함수의 교점에서 발생한다. 따라서 다음 방정식

(식 2-1) $\displaystyle f(x)=g_k(x)\Leftrightarrow kx^2+(1-k^2)x-k=(kx+1)(x-k)=0\Leftrightarrow x=k,-\frac1k$, 단 $\displaystyle x>0$

의 해 $\displaystyle x=k$에서 시장균형가격이 결정되고 그 값은 (식 2-2) $\displaystyle f(k)=g_k(k)=\frac1k$임을 알 수 있다. 또한 확률의 합은 1이므로

(식 2-3) $\displaystyle \frac a2+\frac a3+\frac a4+\frac a5+\frac a6=1\Leftrightarrow a=\frac{60}{87}=\frac{20}{29}$

이고 따라서 내년의 시장균형가격 $\displaystyle X$의 확률분포는 다음과 같다.

따라서 위 표를 활용하면 내년의 시장균형가격의 기댓값은 다음과 같다.

(식 2-5) $\displaystyle E(X)=\sum_{k=1}^5\frac1k\frac a{k+1}=a\sum_{k=1}^5\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)=a\left(\frac11-\frac12+\cdots+\frac15-\frac16\right)=\frac56a=\frac{50}{87}$

[문제 2-3]

먼저 가격 $\displaystyle a_n$의 일반항을 구한다. $\displaystyle a_{n+1}=xa_n-x+1\Leftrightarrow a_n-1=x(a_n-1)$이므로 따라서Correction. 오른쪽 등식의 좌변 $\displaystyle a_n-1$은 $\displaystyle a_{n+1}-1$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(식 3-1) $\displaystyle a_n-1=(a_1-1)x^{n-1}$, $\displaystyle a_1=2\Leftrightarrow a_n=x^{n-1}+1$

$\displaystyle a_{n+1}-a_n=x^n-x^{n-1}=x^{n-1}(x-1)$이므로 가격의 변화율은 다음과 같다.

(식 3-2) $\displaystyle P_n=\frac{a_{n+1}-a_n}{a_n}=\frac{x^{n-1}(x-1)}{x^{n-1}+1}$, $\displaystyle x\ne1,x>0$

마찬가지로 수요량 $\displaystyle b_n$의 일반항을 구하면

(식 3-3) $\displaystyle b_n=b_1y^{n-1}$이고 $\displaystyle b_{n+1}-b_n=b_1y^n-b_1y^{n-1}=b_1y^{n-1}(y-1)$이므로 수요량의 변화율은 다음과 같다.

(식 3-4) $\displaystyle Q_n=\frac{b_{n+1}-b_n}{b_n}=\frac{b_1(y-1)y^{n-1}}{b_1y^{n-1}}=y-1$, $\displaystyle y>1$

따라서 수요의 가격탄력성은

(식 3-5) $\displaystyle c_n=\frac{Q_n}{P_n}=\frac{(y-1)(x^{n-1}+1)}{(x-1)x^{n-1}}=\frac{y-1}{x-1}\left\{1+\left(\frac1x\right)^{n-1}\right\}$으로 주어진다.

(결론 3-6) 따라서 $\displaystyle c_n$의 극한값이 존재하는 $\displaystyle x$의 범위는 $\displaystyle x>1$이고 극한값은 $\displaystyle \frac{y-1}{x-1}$이다.