인문사회계 Ⅱ 2번

[문제 2-1] 예시답안

먼저, 제품 X 혹은 제품 Y에 대하여 두 국가의 절대 우위 현황에 대하여 파악한다.

(과정 1) 다음과 같이, 제품 X에 대하여 A국의 생산비용의 대소를 확인하면 다음과 같다. 제품 Y를 고려해도 동일한 결과를 얻는다.

$\displaystyle 3\times4^{5-n}/2^{1-n}=3\times2^{9-n}>1\ \Leftrightarrow\ 9-n\ge-1\ \Leftrightarrow\ n\le10.$

(과정 2) 따라서 $\displaystyle n\le10$이면 A는 Y에 절대 우위이고 $\displaystyle n\ge11$이면 A는 X에 절대 우위이다.즉, $\displaystyle n\le10$이면 A는 Y만 B는 X만 생산하여 수출하고, $\displaystyle n\ge11$이면 반대이다.

다음으로 A의 무역이익 $\displaystyle a_n$을 계산한다.

(과정 3) $\displaystyle n\le10$인 경우 다음과 같다. (X,Y 생산 vs Y,Y 생산)

$\displaystyle a_n=(3\times4^{5-n}+2^{1-n})-(2^{1-n}+2^{1-n})=3\times4^{5-n}-2^{1-n},\ n\le10$

(과정 4) $\displaystyle n\ge11$인 경우 다음과 같다. (X,Y 생산 vs X,X 생산)

$\displaystyle a_n=(3\times4^{5-n}+2^{1-n})-(3\times4^{5-n}+3\times4^{5-n})=2^{1-n}-3\times4^{5-n},\ n\ge11.$

마지막으로 A의 누적무역이익 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$을 계산한다.

(과정 5) $\displaystyle n\le10$인 경우 다음과 같다.

$\displaystyle \sum_{n=1}^{10}a_n=\left\{3\times4^4\times\frac{1-(1/4)^{10}}{1-1/4}-1\times\frac{1-(1/2)^{10}}{1-1/2}\right\}=2^{10}-2^{-10}-2+2^{-9}.$

(과정 6) $\displaystyle n\ge11$인 경우 다음과 같다.

$\displaystyle \sum_{n=11}^\infty a_n=2^{-10}\times\frac1{1-1/2}-3\times4^{-6}\times\frac1{1-1/4}=2^{-9}-2^{-10}.$

(과정 7) 위 결과를 종합하면, $\displaystyle n\ge1$인 기간 동안 A가 얻을 수 있는 누적무역이익은 다음과 같다.

$\displaystyle 2^{10}-2^{-10}-2+2^{-9}+2^{-9}-2^{-10}=2^{10}-2^1+2^{-9}.$

[문제 2-2] 예시답안 Ⅰ: $\displaystyle a$를 이용한 풀이

(과정 1) A사의 내년도 시장점유율 $\displaystyle X$(출시)와 $\displaystyle Y$(비출시)의 확률분포는 각각 다음과 같다.

(과정 2) 따라서 $\displaystyle X$와 $\displaystyle Y$의 기댓값은 다음과 같다.

$\displaystyle E(X)=10p+12(1-p)=-2p+12,$

$\displaystyle E(Y)=ap+b(1-p)=(a-b)p+b.$

(과정 3) $\displaystyle p=0.5$인 경우 두 기댓값이 같아지므로

$\displaystyle -2\times0.5+12=11=(a-b)\times0.5+b=(a+b)/2\ \Leftrightarrow\ b=22-a$ 또는 $\displaystyle a+b=22$

(과정 4) 따라서 $\displaystyle Y$의 기댓값은 다음과 같다.

$\displaystyle E(Y)=2(a-11)p+22-a.$

(결과해석) 만약 $\displaystyle 22-a<12\Leftrightarrow a>10$이면 다음과 같다.

$\displaystyle p<0.5\ \Rightarrow\ E(X)>E(Y),$

$\displaystyle p>0.5\ \Rightarrow\ E(X)<E(Y)$

B사의 출시 확률이 0.5보다 작으면, A사는 신제품을 출시하고 0.5보다 크면 출시하지 않는다.

마찬가지로 만약 $\displaystyle 22-a>12\Leftrightarrow a<10$이면 다음과 같다.

$\displaystyle p<0.5\ \Rightarrow\ E(X)<E(Y),$

$\displaystyle p>0.5\ \Rightarrow\ E(X)>E(Y).$

B사의 출시 확률이 0.5보다 작으면, A사는 신제품을 출시하지 않고 0.5보다 크면 출시한다.

$\displaystyle p=0.5$이거나 $\displaystyle a=10$인 경우, A사는 어떤 선택을 해도 A사의 시장점유율에 영향을 끼치지 않는다.

[문제 2-3] 예시답안

U가 Y를 팔지 않고 계속 보유하는 경우와 $\displaystyle t=t_0$에서 Y를 팔아 X에 투자한 경우를 비교해보자.

(과정 1) 그 비율은 다음 식으로 주어진다.

$\displaystyle \frac{\text{시간 }t\text{에서 }Q(t)}{\text{시간 }t\text{에서 }P(t)}=\frac{ca^{\sqrt[3]t}}{ca^{\sqrt[3]{t_0}}a^{r(t-t_0)}}=\frac1{a^{\sqrt[3]{t_0}-rt_0}}a^{\sqrt[3]t-rt}$

$\displaystyle t\to\infty$일 때 $\displaystyle \sqrt[3]t-rt\to-\infty$이다.

$\displaystyle a>1$이므로 시간이 충분히 흐르면 비율이 1보다 작아지므로 계속 보유하고 있는 것이 손해이다. 따라서 어느 시점에는 Y를 팔아 그 금액을 X에 투자하는 것이 더 이익이다.

(과정 2) 두 시점 $\displaystyle t_0,t_1$에서 Y를 팔아 X에 투자하였을 때 시간 $\displaystyle t$에서 두 투자금을 계산해서 비교해보자.

시점 $\displaystyle t_0$에서 팔아 X에 투자하였을 때 투자금은 $\displaystyle ca^{\sqrt[3]{t_0}}a^{r(t-t_0)}=ca^{rt}a^{\sqrt[3]{t_0}-rt_0}$이고

시점 $\displaystyle t_1$에서 팔아 X에 투자하였을 때 투자금은 $\displaystyle ca^{\sqrt[3]{t_1}}a^{r(t-t_1)}=ca^{rt}a^{\sqrt[3]{t_1}-rt_1}$이다.

비교를 통해 최고의 이득을 얻기 위해서는 $\displaystyle a^{\sqrt[3]t-rt}$의 값이 최대가 되어야 한다.

$\displaystyle a>1$일 때 지수함수는 증가함수이므로 $\displaystyle a^{\sqrt[3]t-rt}$이 최댓값이 되기 위해서는 지수 $\displaystyle \sqrt[3]t-rt=x-rx^3\ (x=\sqrt[3]t\text{라 두면})$가 $\displaystyle x\ge0$ 범위에서 최대가 되어야 한다는 것을 알 수 있다.

$\displaystyle f(x)=x-rx^3$라 두고 최댓값을 구하기 위해 미분하면

$\displaystyle f^\prime(x)=1-3rx^2$

이다. $\displaystyle 0=f^\prime(x)=1-3rx^2$을 풀면 $\displaystyle x=\pm\frac1{\sqrt{3r}}$이 나온다.

함수 $\displaystyle f(x)$가 최고차 항이 음수인 3차 다항식이므로 $\displaystyle x\ge0$ 범위에서 최댓값은 $\displaystyle x=\frac1{\sqrt{3r}}$, 즉, $\displaystyle t=\left(\frac1{3r}\right)^{\frac32}$에서 발생한다.

따라서 팔 시점도 $\displaystyle t=\left(\frac1{3r}\right)^{\frac32}$이다.