건국대 2016학년도 수시 자연계열 2번 해설

제시문 2

광원이 점 $\displaystyle P(-1,0,1)$ 에 놓여 있다. $\displaystyle yz$ 평면 위의 점들의 $\displaystyle xy$ 평면에서의 그림자를 살펴보자. [그림 3]에서 점 $\displaystyle Q$ 의 그림자는 직선 $\displaystyle PQ$ 와 $\displaystyle xy$ 평면의 교점 $\displaystyle R$ 이다. (단, $\displaystyle Q$ 의 $\displaystyle z$ 좌표는 0보다 크고 1보다 작다.)

문제 2-1 (단답형) $\displaystyle xy$ 평면 위의 두 점 $\displaystyle A(7,4,0),B(7,6,0)$ 을 잇는 선분을 그림자로 갖는 $\displaystyle yz$ 평면 위의 선분의 길이를 구하여 답만 쓰시오.

문제 2-2 (서술형) $\displaystyle xy$ 평면 위의 두 직선 $\displaystyle m$ 과 $\displaystyle n$ 의 방정식이 각각 $\displaystyle y=7$ , $\displaystyle y=x+3$ 이라 하자 (단, $\displaystyle x>0$ ). 직선 $\displaystyle m$ 과 $\displaystyle n$ 을 그림자로 갖는 $\displaystyle yz$ 평면 위의 두 직선이 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \theta$ 라고 할 때, $\displaystyle \tan\theta$ 의 절댓값을 구하고 풀이 과정도 함께 쓰시오.

문제 2-3 (서술형) [그림 4]는 $\displaystyle xy$ 평면에서 $\displaystyle y$ 축에 평행한 직선 $\displaystyle x=t$ 와 원 $\displaystyle (x-2)^2+y^2=1$ 이 만나서 생기는 선분을 나타낸 것이다. 이런 선분들을 그림자로 갖는 $\displaystyle yz$ 평면 위의 선분들의 길이를 비교하면, $\displaystyle xy$ 평면 위의 직선이 $\displaystyle x=t_0$ 일 때 그 길이가 가장 크다. $\displaystyle t_0$ 의 값을 구하고 풀이 과정도 함께 쓰시오.

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[문제2-1] (단답형) 정답: $\displaystyle \frac14$

그림자가 점 $\displaystyle (h,k,0)$ 인 점과 $\displaystyle P$ 를 잇는 직선의 방정식은 $\displaystyle x=(h+1)t-1,y=kt,z=-t+1$ 이다 (단, $\displaystyle t$ 는 실수). 이 직선과 $\displaystyle yz$ 평면과의 교점은 $\displaystyle \left(0,\frac{k}{h+1},\frac{h}{h+1}\right)$ 이다. 따라서 점 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 를 그림자로 갖는 점은 $\displaystyle \left(0,\frac12,\frac78\right)$ , $\displaystyle \left(0,\frac34,\frac78\right)$ 이다.

선분 $\displaystyle AB$ 를 그림자로 갖는 선분의 길이는 이 두 점 사이의 거리인 $\displaystyle \frac14$ 이다.

[문제2-2] (서술형) 정답: $\displaystyle \frac13$

문제 2-1의 풀이에 따라 점 $\displaystyle (h,k,0)$ 를 그림자로 갖는 점은 $\displaystyle \left(0,\frac{k}{h+1},\frac{h}{h+1}\right)$ 이다.

직선 $\displaystyle m$ 을 그림자로 갖는 직선을 찾는다. 점 $\displaystyle (h,7,0)$ 을 그림자로 갖는 점은 $\displaystyle \left(0,\frac7{h+1},\frac{h}{h+1}\right)$ 이다.

$\displaystyle y=\frac7{h+1},z=\frac{h}{h+1}$ 로 놓고 $\displaystyle h=\frac{7-y}y$ 임을 이용하여 $\displaystyle h$ 를 소거하면 $\displaystyle y+7z=1$ 을 얻는다.Correction. $\displaystyle y+7z=1$ 은 $\displaystyle y+7z=7$ 의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

따라서, 직선 $\displaystyle m$ 을 그림자로 갖는 직선의 방정식은 $\displaystyle y+7z=1$ 이다.

같은 방법으로, 직선 $\displaystyle n$ 을 그림자로 갖는 직선을 찾는다. 점 $\displaystyle (h,h+3,0)$ 을 그림자로 갖는 점은 $\displaystyle \left(0,\frac{h+3}{h+1},\frac{h}{h+1}\right)$ 이고, 구하는 직선의 방정식은 $\displaystyle y+2z=3$ 이다.

두 직선의 $\displaystyle yz$ 평면에서의 기울기는 각각 $\displaystyle \tan\theta_1=-\frac17$ , $\displaystyle \tan\theta_2=-\frac12$ 이므로

$\displaystyle |\tan\theta|=|\tan(\theta_1-\theta_2)|=\left|\frac{\tan\theta_1-\tan\theta_2}{1+\tan\theta_1\tan\theta_2}\right|=\frac13$ 이다.

[문제2-3] (서술형) 정답: $\displaystyle \frac53$

$\displaystyle 1\le t\le3$ 일 때, $\displaystyle xy$ 평면에서 주어진 원과 직선 $\displaystyle x=t$ 의 교점을 잇는 선분의 길이는 $\displaystyle 2\sqrt{1-(t-2)^2}$ 이다. 선분의 두 끝점을 $\displaystyle A,B$ 라 하고, $\displaystyle A,B$ 를 그림자로 갖는 $\displaystyle yz$ 평면 위의 두 점을 각각 $\displaystyle A^\prime,B^\prime$ 이라 하자. 삼각형 $\displaystyle PAB$ 와 삼각형 $\displaystyle PA^\prime B^\prime$ 는 닮음비가 $\displaystyle t+1:1$ 인 닮은 삼각형이다. 따라서 $\displaystyle xy$ 평면 위의 직선 $\displaystyle x=t$ 로부터 얻어지는 선분을 그림자로 갖는 $\displaystyle yz$ 평면 위의 선분의 길이는 $\displaystyle f(t)=\frac{2\sqrt{1-(t-2)^2}}{t+1}$ 이다.

$\displaystyle t=t_0$ 일 때 $\displaystyle f(t)$ 가 최댓값을 가지므로, 극값 정리에 의하여 $\displaystyle f^\prime(t_0)=0$ 이다.

$\displaystyle f^\prime(t_0)=\frac{-6t_0+10}{(t_0+1)^2\sqrt{1-(t_0-2)^2}}=0$ 에서 $\displaystyle t_0=\frac53$ 이다.

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자연계열 2번

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