자연계열 2번

[문제2-1] (단답형) 정답: $\displaystyle \frac14$

그림자가 점 $\displaystyle (h,k,0)$인 점과 $\displaystyle P$를 잇는 직선의 방정식은 $\displaystyle x=(h+1)t-1,y=kt,z=-t+1$이다 (단, $\displaystyle t$는 실수). 이 직선과 $\displaystyle yz$평면과의 교점은 $\displaystyle \left(0,\frac{k}{h+1},\frac{h}{h+1}\right)$이다. 따라서 점 $\displaystyle A$와 $\displaystyle B$를 그림자로 갖는 점은 $\displaystyle \left(0,\frac12,\frac78\right)$, $\displaystyle \left(0,\frac34,\frac78\right)$이다.

선분 $\displaystyle AB$를 그림자로 갖는 선분의 길이는 이 두 점 사이의 거리인 $\displaystyle \frac14$이다.

[문제2-2] (서술형) 정답: $\displaystyle \frac13$

문제 2-1의 풀이에 따라 점 $\displaystyle (h,k,0)$를 그림자로 갖는 점은 $\displaystyle \left(0,\frac{k}{h+1},\frac{h}{h+1}\right)$이다.

직선 $\displaystyle m$을 그림자로 갖는 직선을 찾는다. 점 $\displaystyle (h,7,0)$을 그림자로 갖는 점은 $\displaystyle \left(0,\frac7{h+1},\frac{h}{h+1}\right)$이다.

$\displaystyle y=\frac7{h+1},z=\frac{h}{h+1}$로 놓고 $\displaystyle h=\frac{7-y}y$임을 이용하여 $\displaystyle h$를 소거하면 $\displaystyle y+7z=1$을 얻는다.Correction. $\displaystyle y+7z=1$은 $\displaystyle y+7z=7$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

따라서, 직선 $\displaystyle m$을 그림자로 갖는 직선의 방정식은 $\displaystyle y+7z=1$이다.Correction. $\displaystyle y+7z=1$은 $\displaystyle y+7z=7$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

같은 방법으로, 직선 $\displaystyle n$을 그림자로 갖는 직선을 찾는다. 점 $\displaystyle (h,h+3,0)$을 그림자로 갖는 점은 $\displaystyle \left(0,\frac{h+3}{h+1},\frac{h}{h+1}\right)$이고, 구하는 직선의 방정식은 $\displaystyle y+2z=3$이다.

두 직선의 $\displaystyle yz$평면에서의 기울기는 각각 $\displaystyle \tan\theta_1=-\frac17$, $\displaystyle \tan\theta_2=-\frac12$이므로

$\displaystyle |\tan\theta|=|\tan(\theta_1-\theta_2)|=\left|\frac{\tan\theta_1-\tan\theta_2}{1+\tan\theta_1\tan\theta_2}\right|=\frac13$이다.

[문제2-3] (서술형) 정답: $\displaystyle \frac53$

$\displaystyle 1\le t\le3$일 때, $\displaystyle xy$평면에서 주어진 원과 직선 $\displaystyle x=t$의 교점을 잇는 선분의 길이는 $\displaystyle 2\sqrt{1-(t-2)^2}$이다. 선분의 두 끝점을 $\displaystyle A,B$라 하고, $\displaystyle A,B$를 그림자로 갖는 $\displaystyle yz$평면 위의 두 점을 각각 $\displaystyle A^\prime,B^\prime$이라 하자. 삼각형 $\displaystyle PAB$와 삼각형 $\displaystyle PA^\prime B^\prime$는 닮음비가 $\displaystyle t+1:1$인 닮은 삼각형이다. 따라서 $\displaystyle x,t$평면 위의 직선 $\displaystyle x=t$로부터 얻어지는 선분을 그림자로 갖는 $\displaystyle yz$평면 위의 선분의 길이는 $\displaystyle f(t)=\frac{2\sqrt{1-(t-2)^2}}{t+1}$이다.Correction. “$\displaystyle x,t$평면”은 “$\displaystyle xy$평면”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle t=t_0$일 때 $\displaystyle f(t)$가 최댓값을 가지므로, 극값 정리에 의하여 $\displaystyle f^\prime(t_0)=0$이다.

$\displaystyle f^\prime(t_0)=\frac{-6t_0+10}{(t_0+1)^2\sqrt{1-(t_0-2)^2}}=0$에서 $\displaystyle t_0=\frac53$이다.