자연계열 1번

[문제1-1] (단답형) 정답: $\displaystyle \frac{\sqrt{19}}2$

점 $\displaystyle A,B,D$가 각각 $\displaystyle (0,0,0)$, $\displaystyle (3,0,0)$, $\displaystyle (0,3,0)$에 오도록 도형을 좌표공간에 놓는다. 평면 $\displaystyle ABCD$의 방정식은 $\displaystyle z=0$이다.

평면 $\displaystyle AEFG$는 $\displaystyle (0,0,0)$, $\displaystyle (3,0,1)$, $\displaystyle (0,3,1)$을 지나므로 평면 $\displaystyle AEFG$의 방정식은 $\displaystyle x+y-3z=0$이다. 따라서, 두 평면 $\displaystyle ABCD$와 $\displaystyle AEFG$의 교선 $\displaystyle l$의 방정식은

$\displaystyle z=0,x+y=0$이다.

$\displaystyle xy$평면 위에서 직선 $\displaystyle x+y=0$에 수직이고 점 $\displaystyle B$를 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=x-3$이다.

$\displaystyle x+y=0,y=x-3$을 연립하여 풀어서 두 직선의 교점 $\displaystyle \left(\frac32,-\frac32,0\right)$을 얻는다. 삼수선의 정리에 의하여 점 $\displaystyle \left(\frac32,-\frac32,0\right)$은 점 $\displaystyle P$에서 교선 $\displaystyle l$에 내린 수선의 발 $\displaystyle H$이다. $\displaystyle P$의 좌표가 $\displaystyle \left(3,0,\frac12\right)$이므로, 선분 $\displaystyle PH$의 길이는 $\displaystyle \sqrt{\left(\frac32\right)^2+\left(\frac32\right)^2+\left(\frac12\right)^2}=\frac{\sqrt{19}}2$이다.

[문제1-2] (서술형) 정답: $\displaystyle \frac3{\sqrt{22}}$

점 $\displaystyle A,B,D$가 각각 $\displaystyle (0,0,0)$, $\displaystyle (3,0,0)$, $\displaystyle (0,3,0)$이 되도록 도형을 좌표공간에 놓는다. 점 $\displaystyle E,G$의 좌표를 각각 $\displaystyle (3,0,p)$, $\displaystyle (0,3,q)$라 하자. 점 $\displaystyle F$의 좌표는 $\displaystyle (3,3,p+q)$가 된다.

평면 $\displaystyle ABCD$의 방정식은 $\displaystyle z=0$이다. 점 $\displaystyle A,E,G$를 이용하여 평면 $\displaystyle AEFG$의 방정식 $\displaystyle -px-qy+3z=0$을 얻는다.

두 평면의 법선벡터는 각각 $\displaystyle (-p,-q,3)$, $\displaystyle (0,0,1)$이므로 $\displaystyle \cos\theta=\frac{(-p,-q,3)\cdot(0,0,1)}{\sqrt{p^2+q^2+9}}=\frac3{\sqrt{p^2+q^2+9}}$이다.

사각형 $\displaystyle AEFG$의 정사영이 사각형 $\displaystyle ABCD$이므로 $\displaystyle s=\frac9{\cos\theta}=3\sqrt{p^2+q^2+9}$이다.

$\displaystyle t=\frac32(p+q+(2p+q)+(p+2q))=6(p+q)$이다.

$\displaystyle t=2s$를 이용하여 $\displaystyle p+q=\sqrt{p^2+q^2+9}$을 얻고, 양변을 제곱하여 $\displaystyle pq=\frac92$를 얻는다.

$\displaystyle \overline{DG}-\overline{BE}=2$이므로 $\displaystyle q-p=2$이다. 따라서 $\displaystyle p^2+q^2=(q-p)^2+2pq=4+9=13$이다.

따라서 $\displaystyle \cos\theta=\frac3{\sqrt{p^2+q^2+9}}=\frac3{\sqrt{13+9}}=\frac3{\sqrt{22}}$이다.