건국대 2016학년도 수시 자연계열 1번 해설

제시문 1

(가) 두 평면 $\displaystyle \alpha$ 와 $\displaystyle \beta$ 가 직선 $\displaystyle l$ 에서 만난다 하자. 평면 $\displaystyle \alpha$ 위에 있고 직선 $\displaystyle l$ 위에 있지 않은 점 $\displaystyle P$ 에 대하여 $\displaystyle P$ 에서 평면 $\displaystyle \beta$ 와 직선 $\displaystyle l$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\displaystyle Q$ , $\displaystyle O$ 라 할 때, $\displaystyle \angle POQ$ 의 크기가 두 평면 $\displaystyle \alpha$ 와 $\displaystyle \beta$ 가 이루는 이면각의 크기이다.

(나) 다음 그림 각각은 한 변의 길이가 3인 정사각형 $\displaystyle ABCD$ 를 밑면으로 갖는 사각기둥을 적당한 평면으로 잘라 얻은 입체 도형이다. (사각기둥의 옆면은 밑면과 수직이다.)

문제 1-1 (단답형) [그림 1]에서 $\displaystyle \overline{BE}=\overline{DG}=1$ 이다. 선분 $\displaystyle BE$ 의 중점 $\displaystyle P$ 에서 평면 $\displaystyle AEFG$ 와 평면 $\displaystyle ABCD$ 의 교선에 내린 수선의 발을 $\displaystyle H$ 라 할 때, 선분 $\displaystyle PH$ 의 길이를 구하여 답만 쓰시오.

문제 1-2 (서술형) [그림 2]에서 $\displaystyle \overline{DG}-\overline{BE}=2$ 이다. $\displaystyle s$ 는 사각형 $\displaystyle AEFG$ 의 넓이이고 $\displaystyle t$ 는 삼각형 $\displaystyle ABE$ , 삼각형 $\displaystyle ADG$ , 사각형 $\displaystyle BCFE$ , 사각형 $\displaystyle CFGD$ 의 넓이의 합이라 할 때, $\displaystyle t=2s$ 이다. 평면 $\displaystyle AEFG$ 와 평면 $\displaystyle ABCD$ 가 이루는 이면각의 크기가 $\displaystyle \theta$ 일 때, $\displaystyle \cos\theta$ 를 구하고 풀이 과정도 함께 쓰시오.

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[문제1-1] (단답형) 정답: $\displaystyle \frac{\sqrt{19}}2$

점 $\displaystyle A,B,D$ 가 각각 $\displaystyle (0,0,0)$ , $\displaystyle (3,0,0)$ , $\displaystyle (0,3,0)$ 에 오도록 도형을 좌표공간에 놓는다. 평면 $\displaystyle ABCD$ 의 방정식은 $\displaystyle z=0$ 이다.

평면 $\displaystyle AEFG$ 는 $\displaystyle (0,0,0)$ , $\displaystyle (3,0,1)$ , $\displaystyle (0,3,1)$ 을 지나므로 평면 $\displaystyle AEFG$ 의 방정식은 $\displaystyle x+y-3z=0$ 이다. 따라서, 두 평면 $\displaystyle ABCD$ 와 $\displaystyle AEFG$ 의 교선 $\displaystyle l$ 의 방정식은

$\displaystyle z=0,x+y=0$ 이다.

$\displaystyle xy$ 평면 위에서 직선 $\displaystyle x+y=0$ 에 수직이고 점 $\displaystyle B$ 를 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=x-3$ 이다.

$\displaystyle x+y=0,y=x-3$ 을 연립하여 풀어서 두 직선의 교점 $\displaystyle \left(\frac32,-\frac32,0\right)$ 을 얻는다. 삼수선의 정리에 의하여 점 $\displaystyle \left(\frac32,-\frac32,0\right)$ 은 점 $\displaystyle P$ 에서 교선 $\displaystyle l$ 에 내린 수선의 발 $\displaystyle H$ 이다. $\displaystyle P$ 의 좌표가 $\displaystyle \left(3,0,\frac12\right)$ 이므로, 선분 $\displaystyle PH$ 의 길이는 $\displaystyle \sqrt{\left(\frac32\right)^2+\left(\frac32\right)^2+\left(\frac12\right)^2}=\frac{\sqrt{19}}2$ 이다.

[문제1-2] (서술형) 정답: $\displaystyle \frac3{\sqrt{22}}$

점 $\displaystyle A,B,D$ 가 각각 $\displaystyle (0,0,0)$ , $\displaystyle (3,0,0)$ , $\displaystyle (0,3,0)$ 이 되도록 도형을 좌표공간에 놓는다. 점 $\displaystyle E,G$ 의 좌표를 각각 $\displaystyle (3,0,p)$ , $\displaystyle (0,3,q)$ 라 하자. 점 $\displaystyle F$ 의 좌표는 $\displaystyle (3,3,p+q)$ 가 된다.

평면 $\displaystyle ABCD$ 의 방정식은 $\displaystyle z=0$ 이다. 점 $\displaystyle A,E,G$ 를 이용하여 평면 $\displaystyle AEFG$ 의 방정식 $\displaystyle -px-qy+3z=0$ 을 얻는다.

두 평면의 법선벡터는 각각 $\displaystyle (-p,-q,3)$ , $\displaystyle (0,0,1)$ 이므로 $\displaystyle \cos\theta=\frac{(-p,-q,3)\cdot(0,0,1)}{\sqrt{p^2+q^2+9}}=\frac3{\sqrt{p^2+q^2+9}}$ 이다.

사각형 $\displaystyle AEFG$ 의 정사영이 사각형 $\displaystyle ABCD$ 이므로 $\displaystyle s=\frac9{\cos\theta}=3\sqrt{p^2+q^2+9}$ 이다.

$\displaystyle t=\frac32(p+q+(2p+q)+(p+2q))=6(p+q)$ 이다.

$\displaystyle t=2s$ 를 이용하여 $\displaystyle p+q=\sqrt{p^2+q^2+9}$ 을 얻고, 양변을 제곱하여 $\displaystyle pq=\frac92$ 를 얻는다.

$\displaystyle \overline{DG}-\overline{BE}=2$ 이므로 $\displaystyle q-p=2$ 이다. 따라서 $\displaystyle p^2+q^2=(q-p)^2+2pq=4+9=13$ 이다.

따라서 $\displaystyle \cos\theta=\frac3{\sqrt{p^2+q^2+9}}=\frac3{\sqrt{13+9}}=\frac3{\sqrt{22}}$ 이다.

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