인문사회계 Ⅱ 2번

[문제 2-1] 예시답안

(과정 1) 두 직선의 교점의 $\displaystyle x$, $\displaystyle y$ 좌표를 $\displaystyle t$의 함수로 표현한다.

$\displaystyle a(t)$를 균형 거래량, $\displaystyle b(t)$를 균형 가격이라 하면 수요 곡선과 공급 곡선의 교점은 $\displaystyle (a(t),b(t))$이다. 따라서

균형 거래량: $\displaystyle a(t)=\frac12\left\{\left(\frac23t^3-t^2-at+20\right)-(2t^2-6t+6)\right\}=\frac13t^3-\frac32t^2-\frac{a-6}t+7$Correction. $\displaystyle -(a-6)/t$는 $\displaystyle -\frac{a-6}{2}t$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

균형 가격: $\displaystyle b(t)=\frac12\left\{\left(\frac23t^3-t^2-at+20\right)+(2t^2-6t+6)\right\}=\frac13t^3+\frac12t^2-\frac{a+6}2t+13$

(과정 2) 상수 $\displaystyle a$를 구한다.

$\displaystyle t=2$일 때 균형 가격 $\displaystyle b(t)$가 최소가 되므로 $\displaystyle b^\prime(2)=0$이어야 한다.

$\displaystyle b^\prime(t)=t^2+t-\frac{a+6}2$이므로 $\displaystyle b^\prime(2)=4+2-\frac{a+6}2=0$에서 $\displaystyle a=6$.

(과정 3) 균형 거래량의 최솟값을 구한다.

$\displaystyle a^\prime(t)=t^2-3t=t(t-3)=0$에서 $\displaystyle t=0,3$.3차 곡선의 개형을 고려하면 $\displaystyle t=3$일 때 균형 거래량 $\displaystyle a(t)$가 최소가 된다.

균형 거래량의 최솟값은 $\displaystyle a(3)=\frac133^3-\frac323^2+7=\frac52$.

[문제 2-2] 예시답안

(과정 1) 수열 $\displaystyle a_k,x_k,r_k$를 계산한다.

주어진 조건에 의해 $\displaystyle a_k=2ka$, $\displaystyle x_k=(2k+1)a$, $\displaystyle r_k=(k+1)r$.

(과정 2) $\displaystyle X=x_k$일 때의 내년도 소득세를 계산한다.

내년도 소득세를 확률변수 $\displaystyle Y$라 하자. 과세표준이 $\displaystyle X=x_k$일 때의 소득세를 $\displaystyle Y=y_k$라 하면

$\displaystyle \begin{aligned}y_k&=\sum_{i=1}^kr_{i-1}(a_i-a_{i-1})+r_k(x_k-a_k)=\sum_{i=1}^kir\cdot2a+(k+1)r\cdot a\\&=2ar\sum_{i=1}^ki+ar(k+1)=2ar\frac{k(k+1)}2+ar(k+1)=ar(k^2+2k+1)\end{aligned}$

(여기서 $\displaystyle a_0=0$으로 두었음) 따라서 $\displaystyle y_k=ar(k^2+2k+1)$.

(과정 3) 내년도 소득세의 기댓값 $\displaystyle E(Y)$를 계산한다.

확률변수 $\displaystyle Z$가 이항분포 $\displaystyle B(n,p)$를 따른다고 하고 $\displaystyle p_k=P(Z=k)$라 두면

$\displaystyle p_k=P(Z=k)={}_nC_kp^k(1-p)^{n-k}=P(X=x_k)=P(Y=y_k).$

따라서 내년도 소득세의 기댓값은

$\displaystyle \begin{aligned}E(Y)&=\sum_{k=0}^ny_kP(Y=y_k)=ar\sum_{k=0}^n(k^2+2k+1)p_k\\&=ar\left\{\sum_{k=0}^nk^2p_k+2\sum_{k=0}^nkp_k+\sum_{k=0}^np_k\right\}=ar\{E(Z^2)+2E(Z)+1\}\end{aligned}$

$\displaystyle n=9$, $\displaystyle p=\frac13$일 때 $\displaystyle E(Z)=np=9\cdot\frac13=3$이고

$\displaystyle E(Z^2)=V(Z)+\{E(Z)\}^2=np(1-p)+(np)^2=9\cdot\frac13\cdot\frac23+\left(9\cdot\frac13\right)^2=2+9=11$

이므로 $\displaystyle E(Y)=ar(11+2\cdot3+1)=18ar$.

[문제 2-3] 예시답안

(과정 1) 4개의 상품에 투자했을 때 1년 후 원금 이하가 될 확률을 계산한다.

1년 후의 상품 가치가 원금 이하가 되는 경우는 (i) 4개의 상품 모두 원금의 절반이 되거나 (ii) 3개의 상품은 원금의 절반이 되고 1개의 상품은 원금의 2배가 되는 것이다. 이 두 경우의 확률을 합하면 $\displaystyle \left(\frac12\right)^4+4\times\left(\frac12\right)^4=\frac5{16}=0.3125=31.25\%$.

(과정 2) 36개의 상품에 투자했을 때 1년 뒤 원금 이하가 되는 경우를 분석한다.

36개 중 $\displaystyle x$개의 상품이 원금의 2배가 되고 $\displaystyle (36-x)$개의 상품이 원금의 절반이 되었을 때 총 상품 가치가 원금 이하가 되려면

$\displaystyle x\times2+(36-x)\times\frac12=18+\frac32x<36$Caution. 이상·이하·초과·미만을 구분해야 한다: “원금 이하” 조건의 $\displaystyle 18+\frac32x<36$은 $\displaystyle 18+\frac32x\le36$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

즉 $\displaystyle x\le12$이어야 한다. 따라서 원금의 2배가 되는 상품이 12개 이하이고 원금의 절반이 되는 상품이 24개 이상이어야 한다.

(과정 3) 표준정규분포를 사용하여 확률을 정확히 계산한다.

확률변수 $\displaystyle x$는 이항분포 $\displaystyle B\left(36,\frac12\right)$를 따른다. 평균이 $\displaystyle 36\times\frac12=18$이고 분산이 $\displaystyle 36\times\frac12\times\frac12=9$이므로 [바]에 의해 이 이항분포는 정규분포 $\displaystyle N(18,9)$에 근사한다. 확률변수 $\displaystyle z=\frac{x-18}3$가 표준정규분포 $\displaystyle N(0,1)$을 따르므로 구하는 확률은

$\displaystyle P(x\ge12)=P(z\ge-2)=0.5-P(0\le z\le2)=0.5-0.4772=0.0228=2.28\%.$Caution. 이상·이하·초과·미만을 구분해야 한다: 구하는 확률 $\displaystyle P(x\ge12)$는 $\displaystyle P(x\le12)$이며, 정규근사는 $\displaystyle P(z\le-2)$로 계산한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

따라서 상품을 여러 개로 분산하면 위험도가 감소한다고 할 수 있다.