자연계열 1번

[문제1-1] (단답형) 정답: $\displaystyle \sqrt{2a}$

포물선 $\displaystyle C$가 원점을 초점으로 갖고 점 $\displaystyle (-2,0)$을 꼭짓점으로 가지므로 $\displaystyle C$의 방정식은 $\displaystyle y^2=8(x+2)$이다.

점 $\displaystyle P$의 좌표를 $\displaystyle (p,q)$라 하자. 점 $\displaystyle P$는 원점을 중심으로 하고 반지름이 $\displaystyle a$인 원과 직선 $\displaystyle x=a-4$의 교점이므로 $\displaystyle p=a-4$이다.

$\displaystyle q^2=8(p+2)$이므로 $\displaystyle q=\pm\sqrt{8(a-2)}$이다. 따라서, $\displaystyle (p,q)=(a-4,\pm\sqrt{8(a-2)})$이다.

위 두 점의 각 점에서 얻는 $\displaystyle C$의 접선에서 원점까지의 거리는 같으므로, $\displaystyle (p,q)=(a-4,\sqrt{8(a-2)})$인 경우만 계산해도 충분하다.

점 $\displaystyle P$가 점 $\displaystyle (-2,0)$이 아닌 경우 (즉, $\displaystyle a\ne2$), $\displaystyle y^2=8(x+2)$에 음함수 미분을 하면 $\displaystyle 2y\frac{dy}{dx}=8$이므로 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac4y$이다.

이 때 점 $\displaystyle P$에서 $\displaystyle C$의 접선의 기울기는 $\displaystyle \frac4{\sqrt{8(a-2)}}=\sqrt{\frac2{a-2}}$이고, 접선의 방정식은 $\displaystyle y-\sqrt{8(a-2)}=\sqrt{\frac2{a-2}}(x-(a-4))$이다. 정리하면 $\displaystyle 2x-\sqrt{2(a-2)}y+2a=0$이다.

원점에서 이 직선까지의 거리는 $\displaystyle \frac{2a}{\sqrt{2^2+2(a-2)}}=\sqrt{2a}$이다.

점 $\displaystyle P$가 점 $\displaystyle (-2,0)$인 경우, 접선의 방정식은 $\displaystyle x=-2$이고, 이 때 원점에서 이 접선까지의 거리는 4이고 $\displaystyle a=2$이므로, 이 경우도 원점에서 접선까지의 거리는 $\displaystyle \sqrt{2a}$이다.Correction. 원점에서 직선 $\displaystyle x=-2$까지의 거리 $\displaystyle 4$는 $\displaystyle 2$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[문제1-2] (서술형) 정답: 8, 9

점 $\displaystyle (-2,0)$에서 $\displaystyle C$의 접선은 $\displaystyle y$축에 평행하므로 이 접선과 수직으로 만나는 포물선의 접선은 존재하지 않는다. 따라서 $\displaystyle \overline{OQ}\ne2,\overline{OR}\ne2$이다.

$\displaystyle \overline{OQ}=a,\overline{OR}=b$라 하자. 점 $\displaystyle Q$와 $\displaystyle R$에서 포물선 $\displaystyle C$의 접선의 기울기를 각각 $\displaystyle m_1,m_2$라 하자. $\displaystyle Q$가 $\displaystyle x$축 위에 있는 점이고 $\displaystyle R$이 $\displaystyle x$축 아래에 있는 점이라 하면, 문제1-1에서 구한 계산에 의하여 $\displaystyle m_1=\sqrt{\frac2{a-2}}$, $\displaystyle m_2=-\sqrt{\frac2{b-2}}$이다.

두 접선이 수직으로 만나므로, $\displaystyle m_1\cdot m_2=-1$에서 $\displaystyle \frac{-2}{\sqrt{(a-2)(b-2)}}=-1$이다.

정리하면 $\displaystyle (a-2)(b-2)=4$이다. $\displaystyle a,b$는 자연수이므로 $\displaystyle (a-2,b-2)=(1,4),(2,2),(4,1)$이다.

$\displaystyle (a,b)=(3,6),(4,4),(6,3)$이고, $\displaystyle \overline{OQ}+\overline{OR}=a+b=8,9$이다.