자연계열 2번

[문제2-1] (단답형) 정답: $\displaystyle 8\sqrt3$

$\displaystyle 0\le x\le2,0\le y\le2,0\le z\le2$이므로 $\displaystyle 0\le x+y+z\le6$이다.

$\displaystyle x+y+z=k$라 하면, $\displaystyle \sin(x+y+z)\pi=0\Leftrightarrow k=0,1,2,3,4,5,6$이다.

평면 $\displaystyle x+y+z=0$과 정육면체는 한 점 $\displaystyle (0,0,0)$에서 만나고, 이 때 영역의 넓이는 0이다.

평면 $\displaystyle x+y+z=6$과 정육면체는 한 점 $\displaystyle (2,2,2)$에서 만나고, 이 때 영역의 넓이는 0이다.

$\displaystyle k=1,2,3,4,5$일 때, 평면 $\displaystyle x+y+z=k$와 정육면체는 다각형에서 만나고, 각 $\displaystyle k$에 대하여 그 넓이는 다음과 같다.

(1) $\displaystyle k=1$일 때:평면 $\displaystyle x+y+z=1$과 정육면체는 꼭짓점이 $\displaystyle (1,0,0)$, $\displaystyle (0,1,0)$, $\displaystyle (0,0,1)$인 삼각형에서 만난다. 이 삼각형은 한 변의 길이가 $\displaystyle \sqrt2$인 정삼각형이고 넓이는 $\displaystyle \frac{\sqrt3}2$이다.

(2) $\displaystyle k=2$일 때:평면 $\displaystyle x+y+z=2$와 정육면체는 꼭짓점이 $\displaystyle (2,0,0)$, $\displaystyle (0,2,0)$, $\displaystyle (0,0,2)$인 정삼각형에서 만난다. 이 삼각형은 한 변의 길이가 $\displaystyle 2\sqrt2$인 정삼각형이고 넓이는 $\displaystyle 2\sqrt3$이다.

(3) $\displaystyle k=3$일 때:평면 $\displaystyle x+y+z=3$과 정육면체는 꼭짓점이 $\displaystyle (1,0,2)$, $\displaystyle (2,0,1)$, $\displaystyle (2,1,0)$, $\displaystyle (1,2,0)$, $\displaystyle (0,2,1)$ $\displaystyle (0,1,2)$인 육각형에서 만난다. 이 육각형은 한 변의 길이가 $\displaystyle \sqrt2$인 정육각형이고, 따라서 그 넓이는 $\displaystyle 6\cdot\frac{\sqrt3}2=3\sqrt3$이다.

(4) $\displaystyle k=4,5$일 때는 각각 $\displaystyle k=2,1$일 때와 같은 삼각형을 얻는다.

(1)-(4)에서 구하는 영역의 넓이는 $\displaystyle 2\left(\frac{\sqrt3}2+2\sqrt3\right)+3\sqrt3=8\sqrt3$이다.

[문제2-2] (서술형) 정답: $\displaystyle \sqrt2$

직선 $\displaystyle l$이 $\displaystyle A(2,0,0)$을 지나고 방향벡터 $\displaystyle \overrightarrow{AB}=(-2,0,2)$를 가지므로 방정식 $\displaystyle (x,y,z)=(-2t+2,0,2t)$을 만족한다.

직선 $\displaystyle m$은 점 $\displaystyle C(2,1,2)$를 지나고 방향벡터 $\displaystyle \overrightarrow{CD}=(-2,1,-2)$를 가지므로 방정식 $\displaystyle (x,y,z)=(-2s+2,s+1,-2s+2)$를 만족한다.

$\displaystyle l$ 위의 점 $\displaystyle P(-2t+2,0,2t)$와 $\displaystyle m$ 위의 점 $\displaystyle Q(-2s+2,s+1,-2s+2)$를 지나는 직선은 방향벡터 $\displaystyle \overrightarrow{PQ}=(-2s+2t,s+1,-2s-2t+2)$를 갖는다.

$\displaystyle \overline{PQ}$가 최솟값을 가진다고 하자. 선분 $\displaystyle PQ$가 $\displaystyle l,m$에 모두 수직이므로, $\displaystyle s$와 $\displaystyle t$는

$\displaystyle \overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{AB}=(-2s+2t,s+1,-2s-2t+2)\cdot(-2,0,2)=0,$

$\displaystyle \overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{CD}=(-2s+2t,s+1,-2s-2t+2)\cdot(-2,1,-2)=0$

을 만족한다. 두 식을 정리하면 $\displaystyle -8t+4=0$, $\displaystyle 9s-3=0$이다. 따라서, $\displaystyle t=\frac12$, $\displaystyle s=\frac13$이다.

이 때, 점 $\displaystyle P$는 $\displaystyle (1,0,1)$이고 점 $\displaystyle Q$는 $\displaystyle \left(\frac43,\frac43,\frac43\right)$이다.

구하는 거리는 $\displaystyle \overline{PQ}=\sqrt{\left(\frac13\right)^2+\left(\frac43\right)^2+\left(\frac13\right)^2}=\sqrt2$이다.

[문제2-3] (서술형) 정답: $\displaystyle -\sqrt3(t^2-6t+6)$

$\displaystyle 2<t<4$일 때, 정육면체의 각 모서리와 평면 $\displaystyle x+y+z=t$의 교점이 단면의 꼭짓점이 된다. 따라서, 단면은 꼭짓점이 $\displaystyle (t-2,0,2)$, $\displaystyle (2,0,t-2)$, $\displaystyle (2,t-2,0)$, $\displaystyle (t-2,2,0)$, $\displaystyle (0,2,t-2)$, $\displaystyle (0,t-2,2)$인 육각형이다.

이 단면의 $\displaystyle xy$평면 위로의 정사영은 꼭짓점이 $\displaystyle (t-2,0)$, $\displaystyle (2,0)$, $\displaystyle (2,t-2)$, $\displaystyle (t-2,2)$, $\displaystyle (0,2)$, $\displaystyle (0,t-2)$인 육각형이다. 이 정사영의 넓이는 한 변의 길이가 2인 정사각형의 넓이에서 두 직각이등변삼각형의 넓이를 뺀 것과 같다.

(단면의 정사영의 넓이) = $\displaystyle 2\cdot2-\frac12(t-2)^2-\frac12(2-(t-2))^2=-t^2+6t-6$이다.

$\displaystyle xy$평면과 평면 $\displaystyle x+y+z=t$이 이루는 이면각을 $\displaystyle \theta$라 하면,

$\displaystyle \cos\theta=\frac{(0,0,1)\cdot(1,1,1)}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac1{\sqrt3}$이다.

따라서, (단면의 넓이) = $\displaystyle \cos\theta\cdot\text{(단면의 정사영의 넓이)}=-\sqrt3(t^2-6t+6)$이다.Correction. 단면의 넓이는 정사영의 넓이를 $\displaystyle \cos\theta$로 나눈 값이다. 원문 관계식의 곱셈은 나눗셈의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle t=2,4$일 때는 문제2-1에서와 같이 단면이 넓이가 $\displaystyle 2\sqrt3$인 정삼각형이 되고, 따라서 단면의 넓이에 대한 위 식은 $\displaystyle t=2,4$일 때도 성립한다.