인문사회계 Ⅱ 2번

[문제 2-1]

건국마트는 전체 14개의 라면 브랜드 중 5개 브랜드를 고를 수 있다.

(과정 1) 그럼으로 전체 조합의 수는 $\displaystyle {}_{14}C_5=2002$가 된다.

(과정 2) 빨간국물 브랜드가 하얀국물 브랜드보다 많이 선택될 경우는 빨간국물 5개와 하얀국물 0개, 빨간국물 4개와 하얀국물 1개, 빨간국물 3개와 하얀국물 2개이다.

(과정 3) 이런 조합의 수는 $\displaystyle ({}_8C_5)({}_6C_0)+({}_8C_4)({}_6C_1)+({}_8C_3)({}_6C_2)=1316$이다.

(과정 4) 따라서, 빨간국물 라면 브랜드가 하얀국물 보다 많이 입점 될 확률은 1316/2002 또는 65.73% 이다.

[문제 2-2]

(과정 1) 식빵을 $\displaystyle x$조각, 소시지를 $\displaystyle y$개 구매한다고 하자.

(과정 2) 영양소 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$에 대하여 주어진 조건을 $\displaystyle x$와 $\displaystyle y$를 활용하여 표현하면 다음과 같다.

$\displaystyle 6x+8y\ge50,\ 8x+3y\ge36,\ x\ge0,\ y\ge0$

(과정 3) 위 조건을 평면에 도시하면 다음과 같다.

(과정 4) 총 구매비용을 $\displaystyle k$라고 하면 $\displaystyle 300x+200y=k$이다.

(과정 5) $\displaystyle k$가 최소가 되는 경우는 직선 $\displaystyle 300x+200y=k$가 위 조건을 만족하는 영역 위를 지나면서 $\displaystyle y$절편이 최소가 되는 경우이다.

(과정 6) 직선의 기울기를 비교하면 $\displaystyle -\frac34>-\frac32>-\frac83$이므로 두 직선 $\displaystyle 6x+8y=50$과 $\displaystyle 8x+3y=36$의 교점을 지날 때 $\displaystyle k$가 최소이고 이 연립 방정식을 풀면 $\displaystyle x=3,y=4$임을 확인할 수 있다. 따라서 식빵 3조각, 소시지 4개를 사야하고, 총 최소비용은 $\displaystyle 300\times3+200\times4=1700$원이다.

[문제 2-3]

(과정 1) 시제품 한 개를 정상 제품으로 판정하는 사건을 $\displaystyle A$, 시제품이 실제로 정상 제품인 사건을 $\displaystyle B$라고 하자.

(과정 2) 결과 1에 대한 확률을 계산하면 다음과 같다.

$\displaystyle P(Result\ 1)=P(B\setminus A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{P(A\cap B)}{P(A\cap B)+P(A\cap B^c)}$Correction. $\displaystyle P(B\setminus A)$는 조건부확률 $\displaystyle P(B\mid A)$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(과정 3) 여기서 $\displaystyle P(A\cap B)$는 정상 제품에 대해 정상으로 판정하는 확률이므로 $\displaystyle 0.8\times0.9=0.72$이다.

(과정 4) 그리고 $\displaystyle P(A\cap B^c)$는 불량품에 대해 정상으로 판정하는 확률이므로 $\displaystyle 0.2\times0.05=0.01$이다.

(과정 5) 따라서 결과 1에 대한 확률은 다음과 같다.

$\displaystyle P(B\setminus A)=\frac{0.72}{0.72+0.01}=\frac{72}{73}$

(과정 6) 마찬가지로 결과 2에 대한 확률을 계산하면 다음과 같다.

$\displaystyle P(Result\ 2)=P(B^c\setminus A)=\frac{P(A\cap B^c)}{P(A)}=\frac{P(A\cap B^c)}{P(A\cap B)+P(A\cap B^c)}=\frac{0.01}{0.72+0.01}=\frac1{73}$Correction. $\displaystyle P(B^c\setminus A)$는 조건부확률 $\displaystyle P(B^c\mid A)$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(과정 7) 따라서 시제품 한 개에 대하여 투자회사 $\displaystyle B$로부터 받을 투자액의 기댓값은 다음과 같다.

$\displaystyle \frac{72}{73}\times14600+\frac1{73}\times7300=14400+100=14500$ (원)

공통 평가기준