인문사회계 Ⅱ 2번

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건국대 2018학년도 모의 인문사회계 Ⅱ 2번 · mathesis.kr/archive/konkuk/2018mo/inmun2_2

[라] 순열 : $\displaystyle {}_nP_r$ 조합 : $\displaystyle {}_nC_r$

- 고등학교 ‘수학I’ 교과서

[마] 주어진 조건을 만족시키는 $\displaystyle x$ 와 $\displaystyle y$ 에 대하여 식 $\displaystyle f(x,y)$ 의 최댓값과 최솟값은 다음과 같은 순서로 구한다.

1) 주어진 조건을 연립부등식의 영역으로 나타낸다.

2) $\displaystyle f(x,y)=k$ 로 놓고 이 그래프를 1)의 영역에서 움직여 본다.

3) 위 2)의 그래프가 1)의 영역을 움직일 때의 $\displaystyle k$ 의 값 중에서 최대인 값 또는 최소인 값을 구한다.

- 고등학교 ‘수학I’ 교과서

[바] 조건부확률은 어떤 사건 $\displaystyle B$ 가 일어났을 때 사건 $\displaystyle A$ 가 일어날 확률을 의미한다. 사건 $\displaystyle B$ 가 발생했을 때 사건 $\displaystyle A$ 가 발생할 확률은 사건 $\displaystyle B$ 의 영향을 받아 변하는데 이를 조건부 확률이라 하고, $\displaystyle P(A\mid B)$ 기호로 표현한다.

$\displaystyle P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

- 고등학교 ‘확률과 통계’ 교과서

[문제 2-1]지문 [마]의 개념을 적용하여 다음 문제를 푸시오.Correction. 순열·조합의 개념을 가리키는 “지문 [마]”는 “지문 [라]”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.시장에는 14개 종류의 라면 브랜드가 있다. 이중 8개는 빨간국물 라면이고 6개는 하얀국물 라면이다. 건국마트는 5개의 라면 브랜드만 입점 시킨다. 건국마트에 빨간국물 라면 브랜드가 하얀국물 라면 브랜드보다 많이 입점 될 확률은 얼마인가? 단, 두 종류의 라면에 대한 소비자의 선호도는 같다.[15점_풀이과정도 기술하시오]

[문제 2-2]아침식사에 필요한 영양소는 영양소 $\displaystyle \alpha$ 가 50mg, 영양소 $\displaystyle \beta$ 가 36mg 필요하다고 한다. 식빵 한 조각에는 영양소 $\displaystyle \alpha$ 가 6mg, 영양소 $\displaystyle \beta$ 가 8mg 포함되어 있고, 소시지 한 개에는 영양소 $\displaystyle \alpha$ 가 8mg, 영양소 $\displaystyle \beta$ 가 3mg 포함되어 있다고 한다. [마]의 제시문을 참고하여, 식빵 한 조각의 가격이 300원, 소시지 한 개의 가격이 200원이라고 할 때, 필요한 영양소 조건을 만족시키면서 비용을 최소화하기 위해서는 식빵과 소시지를 몇 개씩 사야하고, 그에 따른 총 비용은 얼마인지 설명하라. [20점]

[문제 2-3]기업 $\displaystyle A$ 는 올해 신제품을 개발하기 위한 시제품을 생산하였다. 이 시제품들의 80%는 정상 제품이고, 나머지 20%는 불량품이라고 한다. 투자회사 $\displaystyle B$ 는 이 시제품들에 대해 제품이 정상이며 상용화가 가능한지에 대한 조사를 하고자 한다. 그런데 정상 제품을 제대로 밝혀내는 확률은 90%이고, 불량품을 불량품이라고 제대로 밝혀내는 확률은 95%라고 한다. 투자회사 $\displaystyle B$ 는 정상 제품으로 판정한 시제품에 한해서만 제품 당 다음의 투자액을 기업 $\displaystyle A$ 에 투자하기로 합의했다.

	최종 결과	투자액(원)
Result 1	정상 제품으로 판정했으며 실제 정상 제품인 경우	14,600
Result 2	정상 제품으로 판정했으나 실제 불량품인 경우	7,300

제시문 [바]를 참고하여, 정상 제품으로 판정된 기업 $\displaystyle A$ 의 시제품 한 개에 대하여 투자회사 $\displaystyle B$ 로부터 받을 투자액의 기댓값을 구하라.[25점_풀이과정도 기술하시오]

해설강의 준비중

건국대 2018학년도 모의 인문사회계 Ⅱ 2번 · mathesis.kr/archive/konkuk/2018mo/inmun2_2

[문제 2-1]

건국마트는 전체 14개의 라면 브랜드 중 5개 브랜드를 고를 수 있다.

(과정 1) 그럼으로 전체 조합의 수는 $\displaystyle {}_{14}C_5=2002$ 가 된다.

(과정 2) 빨간국물 브랜드가 하얀국물 브랜드보다 많이 선택될 경우는 빨간국물 5개와 하얀국물 0개, 빨간국물 4개와 하얀국물 1개, 빨간국물 3개와 하얀국물 2개이다.

(과정 3) 이런 조합의 수는 $\displaystyle ({}_8C_5)({}_6C_0)+({}_8C_4)({}_6C_1)+({}_8C_3)({}_6C_2)=1316$ 이다.

(과정 4) 따라서, 빨간국물 라면 브랜드가 하얀국물 보다 많이 입점 될 확률은 1316/2002 또는 65.73% 이다.

[문제 2-2]

(과정 1) 식빵을 $\displaystyle x$ 조각, 소시지를 $\displaystyle y$ 개 구매한다고 하자.

(과정 2) 영양소 $\displaystyle \alpha$ 와 $\displaystyle \beta$ 에 대하여 주어진 조건을 $\displaystyle x$ 와 $\displaystyle y$ 를 활용하여 표현하면 다음과 같다.

$\displaystyle 6x+8y\ge50,\ 8x+3y\ge36,\ x\ge0,\ y\ge0$

(과정 3) 위 조건을 평면에 도시하면 다음과 같다.

(과정 4) 총 구매비용을 $\displaystyle k$ 라고 하면 $\displaystyle 300x+200y=k$ 이다.

(과정 5) $\displaystyle k$ 가 최소가 되는 경우는 직선 $\displaystyle 300x+200y=k$ 가 위 조건을 만족하는 영역 위를 지나면서 $\displaystyle y$ 절편이 최소가 되는 경우이다.

(과정 6) 직선의 기울기를 비교하면 $\displaystyle -\frac34>-\frac32>-\frac83$ 이므로 두 직선 $\displaystyle 6x+8y=50$ 과 $\displaystyle 8x+3y=36$ 의 교점을 지날 때 $\displaystyle k$ 가 최소이고 이 연립 방정식을 풀면 $\displaystyle x=3,y=4$ 임을 확인할 수 있다. 따라서 식빵 3조각, 소시지 4개를 사야하고, 총 최소비용은 $\displaystyle 300\times3+200\times4=1700$ 원이다.

[문제 2-3]

(과정 1) 시제품 한 개를 정상 제품으로 판정하는 사건을 $\displaystyle A$ , 시제품이 실제로 정상 제품인 사건을 $\displaystyle B$ 라고 하자.

(과정 2) 결과 1에 대한 확률을 계산하면 다음과 같다.

$\displaystyle P(Result\ 1)=P(B\setminus A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{P(A\cap B)}{P(A\cap B)+P(A\cap B^c)}$ Correction. $\displaystyle P(B\setminus A)$ 는 조건부확률 $\displaystyle P(B\mid A)$ 의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(과정 3) 여기서 $\displaystyle P(A\cap B)$ 는 정상 제품에 대해 정상으로 판정하는 확률이므로 $\displaystyle 0.8\times0.9=0.72$ 이다.

(과정 4) 그리고 $\displaystyle P(A\cap B^c)$ 는 불량품에 대해 정상으로 판정하는 확률이므로 $\displaystyle 0.2\times0.05=0.01$ 이다.

(과정 5) 따라서 결과 1에 대한 확률은 다음과 같다.

$\displaystyle P(B\setminus A)=\frac{0.72}{0.72+0.01}=\frac{72}{73}$

(과정 6) 마찬가지로 결과 2에 대한 확률을 계산하면 다음과 같다.

$\displaystyle P(Result\ 2)=P(B^c\setminus A)=\frac{P(A\cap B^c)}{P(A)}=\frac{P(A\cap B^c)}{P(A\cap B)+P(A\cap B^c)}=\frac{0.01}{0.72+0.01}=\frac1{73}$ Correction. $\displaystyle P(B^c\setminus A)$ 는 조건부확률 $\displaystyle P(B^c\mid A)$ 의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(과정 7) 따라서 시제품 한 개에 대하여 투자회사 $\displaystyle B$ 로부터 받을 투자액의 기댓값은 다음과 같다.

$\displaystyle \frac{72}{73}\times14600+\frac1{73}\times7300=14400+100=14500$ (원)

공통 평가기준

평가 영역	평가 항목	평가
계산	모든 과정이 정확하게 기술되어 있고 계산이 정확한 경우	최상
계산	한 개의 과정을 제외하고 나머지 과정이 정확하게 기술되어 있고 계산이 정확한 경우	상
계산	두 개의 과정을 제외하고 나머지 과정이 정확하게 기술되어 있고 계산이 정확한 경우	중
계산	세 개의 과정을 제외하고 나머지 과정이 정확하게 기술되어 있고 계산이 정확한 경우	하
계산	네 개의 과정을 제외하고 나머지 과정이 정확하게 기술되어 있고 계산이 정확한 경우	최하

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