자연계열 1번

[문제 1-1]

$\displaystyle \overline{AB^{\prime}}=3$, $\displaystyle \overline{AD}=2$이므로 $\displaystyle \overline{B^{\prime}D}=\sqrt5$이다.

$\displaystyle \overline{BE}=x$라 하면, $\displaystyle \overline{B^{\prime}E}=x$, $\displaystyle \overline{CE}=2-x$, $\displaystyle \overline{B^{\prime}C}=3-\sqrt5$이므로 $\displaystyle x^2=(2-x)^2+(3-\sqrt5)^2$이 성립한다. 이 방정식을 풀면, $\displaystyle x=\frac{9-3\sqrt5}{2}$이다.

그러므로 $\displaystyle \tan\angle EAB=\frac{\overline{BE}}{\overline{AB}}=\frac{\frac{9-3\sqrt5}{2}}3=\frac{9-3\sqrt5}{6}=\frac{3-\sqrt5}{2}$이다.

[문제 1-2]

꼭짓점 $\displaystyle B$가 옮겨져서 변 $\displaystyle CD$ 위에 놓인 점을 $\displaystyle B^{\prime}$라고 하면 $\displaystyle \angle FGB^{\prime}=\angle FGB$이다.

그러므로 $\displaystyle \angle B^{\prime}GC=\pi-2\angle FGB$이다. 이제 선분 $\displaystyle \overline{FG}=l$, $\displaystyle \overline{BG}=x$, $\displaystyle \angle FGB=t$라고 하면 $\displaystyle l\cos t=x$, $\displaystyle x\cos(\pi-2t)=2-x$이다. 이 두 식에서 $\displaystyle x$를 소거하여 $\displaystyle l$을 $\displaystyle t$의 식으로 정리하면

$\displaystyle l=\frac2{\cos t(1-\cos2t)}=\frac1{\cos t(1-\cos^2t)}$

이제, $\displaystyle \cos t=s$로 치환하면, 함수 $\displaystyle g(s)=s(1-s^2)$, $\displaystyle 0<s<1$은 $\displaystyle s=\frac1{\sqrt3}$일 때 최댓값 $\displaystyle \frac2{3\sqrt3}$을 가지므로 $\displaystyle l$은 $\displaystyle s=\frac1{\sqrt3}$일 때 최솟값 $\displaystyle \frac{3\sqrt3}2$을 갖는다. 이때, $\displaystyle \overline{FG}=\frac32$, $\displaystyle \overline{FB}=\frac{3\sqrt2}2$이므로 $\displaystyle \tan\angle GFB=\frac{\overline{FG}}{\overline{FB}}=\frac1{\sqrt2}$이다.Correction. 길이를 나타낸 $\displaystyle FG=3/2$는 $\displaystyle BG=3/2$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.Correction. $\displaystyle \tan\angle GFB=FG/FB$에서 분자의 $\displaystyle FG$는 $\displaystyle BG$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.