자연계열 2번

[문제 2-1]

중심이 $\displaystyle (1,1,0)$인 원을 포함하는 평면은 법선벡터가 $\displaystyle (1,1,0)$이고 점 $\displaystyle (1,1,0)$을 포함한다. 따라서 이 평면의 방정식은 $\displaystyle 1(x-1)+1(y-1)=0$이다. 마찬가지로 하면, 중심이 $\displaystyle (0,1,1)$인 원을 포함하는 평면의 방정식은 $\displaystyle 1(y-1)+1(z-1)=0$이다.

두 원의 교점은 평면 $\displaystyle 1(x-1)+1(y-1)=0$과 $\displaystyle 1(y-1)+1(z-1)=0$의 교선 위에 있으므로 교점 $\displaystyle P$, $\displaystyle Q$는 두 평면의 교선 $\displaystyle l:x-1=-(y-1)=z-1$ 위에 있다. 교선 $\displaystyle l$과 구 $\displaystyle x^2+y^2+z^2=9$의 교점이 $\displaystyle P$, $\displaystyle Q$이므로 방정식 $\displaystyle x-1=-(y-1)=z-1$과 $\displaystyle x^2+y^2+z^2=9$을 연립하여 풀면 $\displaystyle P$, $\displaystyle Q$는 점 $\displaystyle \left(\frac{2+\sqrt{19}}3,\frac{4-\sqrt{19}}3,\frac{2+\sqrt{19}}3\right)$과 $\displaystyle \left(\frac{2-\sqrt{19}}3,\frac{4+\sqrt{19}}3,\frac{2-\sqrt{19}}3\right)$이다. 그러므로 선분 $\displaystyle PQ$의 길이는 $\displaystyle \sqrt{\frac{76}3}$이다.

[문제 2-2]

평면 $\displaystyle \alpha$위의 원과 $\displaystyle \beta$위의 원의 중심을 각각 $\displaystyle O_1$, $\displaystyle O_2$라 하고 두 원의 교점을 $\displaystyle P$, 두 평면 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$의 교선을 $\displaystyle l$이라 하자.

평면 $\displaystyle \alpha$에서 직선 $\displaystyle l$과 주어진 원은 점 $\displaystyle P$에서만 만나므로 원의 중심 $\displaystyle O_1$과 점 $\displaystyle P$를 연결한 직선은 $\displaystyle l$에 수직이다. 원의 중심 $\displaystyle O_1$이 점 $\displaystyle O$에서 평면 $\displaystyle \alpha$에 내린 수선의 발이므로 삼수선의 정리에 의하여 직선 $\displaystyle OP$는 $\displaystyle l$에 수직이다. 직선 $\displaystyle O_2P$도 $\displaystyle l$에 수직이므로 점 $\displaystyle O$, $\displaystyle O_1$, $\displaystyle O_2$, $\displaystyle P$는 같은 평면 위에 있다.

따라서 $\displaystyle \angle O_1PO_2=\angle O_1PO-\angle O_2PO$이다.

$\displaystyle \angle O_1PO=\theta_1$, $\displaystyle \angle OPO_2=\theta_2$라 하면, $\displaystyle \cos\theta_1=\frac13$, $\displaystyle \cos\theta_2=\frac12$이다.Correction. $\displaystyle \cos\theta_2=1/2$은 $\displaystyle \cos\theta_2=2/3$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle \angle O_1PO_2$가 두 평면 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$의 이면각이므로 $\displaystyle \cos\theta=\cos(\theta_1-\theta_2)=\cos\theta_1\cos\theta_2+\sin\theta_1\sin\theta_2=\frac{2+2\sqrt{10}}9$이다.