인문사회계 Ⅱ 2번

[문제 2-1] (1)

1만 원, 3만 원, 9만 원짜리 주식을 각각 $\displaystyle x$, $\displaystyle y$, $\displaystyle z$주 구매한다고 하자. 주식의 개수가 120 개이므로

(식1) $\displaystyle x+y+z=120$.

주식의 가격이 600만 원 이므로

(식2) $\displaystyle x+3y+9z=600$.

위 (식1)과 (식2)를 $\displaystyle x$와 $\displaystyle y$에 대하여 연립하면

(식3) $\displaystyle x=3z-120,\ y=-4z+240$.

[문제 2-1] (2)

주식으로부터 얻을 수 있는 총 수익을 $\displaystyle T$만 원이라고 하면

(식4) $\displaystyle T=0.05x+0.18y+0.9z=0.33z+37.2$.

위 (식3)과 문제의 조건 $\displaystyle x\ge0,\ y\ge0$으로부터

(식5) $\displaystyle x=3z-120\ge0,\ y=-4z+240\ge0\ \Leftrightarrow\ 40\le z\le60$.

위 (식4)의 관계식과 (식5)의 범위를 고려하면

(식6) $\displaystyle T=0.33z+37.2\ (40\le z\le60)$이므로

총수익 $\displaystyle T$는 $\displaystyle z=40$일 때 최솟값 50.4를 갖고, $\displaystyle z=60$일 때, 최댓값 57을 갖는다.

[문제 2-2] (1)

1년 시행, 즉 $\displaystyle k=1$일 때 로렌츠 곡선은

(식1) $\displaystyle L(x)=x^{m^2-(2\times1+4)m+1^2+4\times1+6}=x^{(m-3)^2+2}$.

위 (식1)의 로렌츠 곡선을 사용하면, 2017년도를 기준으로 $\displaystyle m$년 후의 지니계수 $\displaystyle G$는

(식2) $\displaystyle \begin{aligned}G&=\frac{\int_0^1\{x-L(x)\}\,dx}{\frac12\times1\times1}=2\int_0^1\{x-L(x)\}\,dx=2\int_0^1\{x-x^{(m-3)^2+2}\}\,dx\\&=2\Biggl[\frac12x^2-\frac{x^{(m-3)^2+3}}{(m-3)^2+3}\Biggr]_0^1=1-\frac2{(m-3)^2+3}.\end{aligned}$

2018, 2019, 2020년도의 C국의 지니계수는 (식2)에서 $\displaystyle m=1,2,3$일 때이므로 구하는 답은 각각Correction. “C국”은 “D국”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(식3) $\displaystyle 1-\frac2{(1-3)^2+3}=\frac57,\quad1-\frac2{(2-3)^2+3}=\frac12,\quad1-\frac2{(3-3)^2+3}=\frac13$.

[문제 2-2] (2)

10년 후, 즉 $\displaystyle m=10$일 때의 로렌츠 곡선은

(식4) $\displaystyle L(x)=x^{10^2-(2k+4)\times10+k^2+4k+6}=x^{k^2-16k+66}$.

위 (식4)의 로렌츠 곡선을 사용하면, 2017년도를 기준으로 $\displaystyle m=10$년 후의 지니계수 $\displaystyle G$는

(식5) $\displaystyle G=\frac{\int_0^1\{x-L(x)\}\,dx}{\frac12\times1\times1}=2\int_0^1\{x-L(x)\}\,dx=2\int_0^1\{x-x^{k^2-16k+66}\}\,dx$

이므로,

(식6) $\displaystyle G=2\Biggl[\frac12x^2-\frac{x^{k^2-16k+67}}{k^2-16k+67}\Biggr]_0^1=1-\frac2{k^2-16k+67}$.

지니계수가 0.4미만이면 (식5)에서 $\displaystyle G<0.4$이고

(식7) $\displaystyle \begin{aligned}1-\frac2{k^2-16k+67}<0.4&\Rightarrow k^2-16k+67<\frac{10}3\Rightarrow(k-8)^2<\frac13\\&\Leftrightarrow7.42\approx8-\frac1{\sqrt3}<k<8+\frac1{\sqrt3}\approx8.58.\end{aligned}$

문제의 조건에서 $\displaystyle k$는 정수이고, (식7)의 결과로부터

(식8) $\displaystyle k=8$년 동안 정책을 시행할 경우 지니계수가 최소이다.

[문제 2-3]

(과정 1) 주어진 조건을 활용하여 $\displaystyle Q_n$을 유도한다.

최저임금이 $\displaystyle L_n$일 때의 노동수요량을 $\displaystyle X_D$라고 하면

(식1) $\displaystyle L_n=-X_D+a_n\ \Leftrightarrow\ X_D=-L_n+a_n$.

최저임금이 $\displaystyle L_n$일 때의 노동공급량을 $\displaystyle X_S$라고 하면

(식2) $\displaystyle L_n=X_S+b_n\ \Leftrightarrow\ X_S=L_n-b_n$.

위 (식1)과 (식2)의 결과로부터 초과공급량 $\displaystyle Q_n$은

(식3) $\displaystyle Q_n=X_S-X_D=2L_n-(a_n+b_n)$.

(과정 2) $\displaystyle Q_n$의 기댓값을 구하기 위해 먼저 $\displaystyle L_n$의 기댓값을 계산한다.

$\displaystyle L_n$의 기댓값 $\displaystyle \mathrm E(L_n)$을 계산하기 위하여 먼저 두 급수의 값을 계산하면

(식4) $\displaystyle \sum_{k=1}^n2^{-k}=2^{-1}\times\frac{1-2^{-n}}{1-2^{-1}}=1-2^{-n}$

(식5) $\displaystyle \sum_{k=1}^n4^{-k}=4^{-1}\times\frac{1-4^{-n}}{1-4^{-1}}=3^{-1}\times(1-4^{-n})$.

따라서 $\displaystyle L_n$의 기댓값은

(식6) $\displaystyle \mathrm E(L_n)=\sum_{k=1}^n(L+2^{-k})\frac{2^{-k}}{1-2^{-n}}=L+3^{-1}\times\frac{1-4^{-n}}{1-2^{-n}}=L+3^{-1}(1+2^{-n})$.

(과정 3) $\displaystyle Q_n$의 기댓값과 그 극한값을 계산한다.

위 (식6)과 기댓값의 성질을 활용하면, $\displaystyle Q_n$의 기댓값은

(식7) $\displaystyle \mathrm E(Q_n)=\mathrm E\{2L_n-(a_n+b_n)\}=2\mathrm E(L_n)-(a_n+b_n)=2\times\{L+3^{-1}(1+2^{-n})\}-(a_n+b_n)$.

문제의 조건 $\displaystyle 3^{-n}<4b_n-L<4a_n-5L<2^{-n}$으로부터

(식8) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}3^{-n}=\lim_{n\to\infty}2^{-n}=0\ \Rightarrow\ 0\le\lim_{n\to\infty}(4a_n-5L)\le0\ \Rightarrow\ \lim_{n\to\infty}a_n=\frac{5L}4$.

마찬가지 방법으로

(식9) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}3^{-n}=\lim_{n\to\infty}2^{-n}=0\ \Rightarrow\ 0\le\lim_{n\to\infty}(4b_n-L)\le0\ \Rightarrow\ \lim_{n\to\infty}b_n=\frac L4$.

따라서 $\displaystyle Q_n$의 기댓값의 극한값은

(식10) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\mathrm E(Q_n)=2\left(L+\frac13\right)-\left(\frac{5L}4+\frac L4\right)=\frac L2+\frac23$.