자연계열 1번

[문제 1-1] 정답: $\displaystyle \frac a{4b}(a^2+b^2)$

$\displaystyle \triangle GBD$의 높이를 $\displaystyle h$라고 하자. 종이를 접었기 때문에 삼각형의 $\displaystyle \angle GBD=\angle DBC$이다. 이 각을 $\displaystyle \theta$라 두자. $\displaystyle \angle GDB+\angle CDB=\frac\pi2$이고 $\displaystyle \angle CDB+\theta=\frac\pi2$이므로 $\displaystyle \angle GDB=\theta$이다. 그러므로 $\displaystyle \triangle GBD$가 이등변삼각형이므로 높이 $\displaystyle h=\tan\theta\times\frac{\overline{BD}}2=\frac a{2b}\sqrt{a^2+b^2}$이다. 이 때, $\displaystyle \triangle BCD$를 이용하여 $\displaystyle \tan\theta=\frac ab$이다.

그러므로 $\displaystyle \triangle GBD$ 넓이는 $\displaystyle \frac12\sqrt{a^2+b^2}\frac{a\sqrt{a^2+b^2}}{2b}=\frac a{4b}(a^2+b^2)$이다.

[문제 1-2] 정답: $\displaystyle \frac{4\sqrt2}3$

$\displaystyle \overline{DE}=x$라고 두자. $\displaystyle x$의 범위는 $\displaystyle 0\le x\le3$이다. 사각뿔 $\displaystyle F-ABCE$의 밑면의 넓이는 사각형 $\displaystyle ABCD$의 넓이에서 $\displaystyle \triangle DEC$의 넓이를 빼면 된다. 즉, (밑면의 넓이) = $\displaystyle 3\times2-\frac12\times2\times x=6-x$이다.

사각뿔 $\displaystyle F-ABCE$의 높이를 $\displaystyle h$라 하자. $\displaystyle \overline{CE}$는 직각삼각형 $\displaystyle CDE$에 피타고라스 정리를 적용하여 $\displaystyle \sqrt{x^2+4}$이다. 이제 $\displaystyle \triangle CDE$의 넓이를 이용하여 $\displaystyle \frac12\times h\times\sqrt{x^2+4}=\frac12\times2\times x$이므로 $\displaystyle h=\frac{2x}{\sqrt{x^2+4}}$이다. 이제 사각뿔 $\displaystyle F-ABCE$의 부피를 $\displaystyle V(x)$라고 두면 $\displaystyle V(x)=\frac13\times\text{(밑면의 넓이)}\times\text{(높이)}=\frac13(6-x)\frac{2x}{\sqrt{x^2+4}}$이다.

최댓값을 구하기 위해 $\displaystyle x$로 미분하면

$\displaystyle V^{\prime}(x)=\frac23\left(\frac{6x-x^2}{\sqrt{x^2+4}}\right)^{\prime}=\frac23\frac{(2-x)(x^2+2x+12)}{\sqrt{(x^2+4)^3}}$이다.

그러므로 $\displaystyle 0<x<2$일 때 $\displaystyle V^{\prime}(x)>0$이므로 $\displaystyle V(x)$ 증가하고, $\displaystyle x=2$일 때 $\displaystyle V^{\prime}(x)=0$, $\displaystyle 2<x<3$일 때 $\displaystyle V^{\prime}(x)<0$이므로 $\displaystyle V(x)$ 감소하므로 부피의 최댓값은 $\displaystyle V(2)=\frac{4\sqrt2}3$이다.