자연계열 2번

[문제 2-1] 정답: 2

구의 중심을 $\displaystyle O$, 평면을 $\displaystyle \alpha$, 원 $\displaystyle C$의 중심을 $\displaystyle O^{\prime}$, 점 $\displaystyle A(2,2,1)$의 $\displaystyle \alpha$ 위로의 정사영을 $\displaystyle H$라고 하자. 그러면 $\displaystyle A$에서 원위의 점 $\displaystyle Q$까지의 거리는 $\displaystyle \overline{AQ}=\sqrt{\overline{AH}^2+\overline{HQ}^2}$인데, $\displaystyle \overline{AH}$가 일정하기 때문에 $\displaystyle \overline{HQ}$가 최소가 되는 점에서 $\displaystyle \overline{AQ}$가 최소가 된다. 그러므로 직선 $\displaystyle O^{\prime}H$와 $\displaystyle C$의 교점 중에서 $\displaystyle H$에 가장 가까운 점을 $\displaystyle Q$로 선택하여 $\displaystyle \overline{AQ}$의 최솟값을 계산한다.

점 $\displaystyle O$에서 $\displaystyle \alpha$에 내린 수선의 발이 $\displaystyle O^{\prime}$이고 $\displaystyle \alpha$의 법선벡터 $\displaystyle \vec n$은 $\displaystyle \vec n=(1,1,1)$이므로 $\displaystyle O^{\prime}$은 $\displaystyle (t,t,t)$로 나타낼 수 있다. $\displaystyle O^{\prime}$이 $\displaystyle \alpha$ 위의 점이라는 사실을 이용하여 $\displaystyle t=1$을 얻는다. 따라서 $\displaystyle O^{\prime}$의 좌표는 $\displaystyle (1,1,1)$이고 $\displaystyle \overline{OO^{\prime}}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt3$이다.

같은 방법을 이용하면 $\displaystyle H$의 좌표는 $\displaystyle (2+t,2+t,1+t)$이고, $\displaystyle H$가 $\displaystyle \alpha$ 위에 있기 때문에 $\displaystyle t=-\frac23$이다. 따라서 $\displaystyle H$의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac43,\frac43,\frac13\right)$이다. 그러므로 $\displaystyle \overline{AH}=\sqrt{\left(\frac23\right)^2+\left(\frac23\right)^2+\left(\frac23\right)^2}=\frac2{\sqrt3}$이다.

$\displaystyle \triangle OO^{\prime}Q$가 직각삼각형이기 때문에 $\displaystyle \overline{O^{\prime}Q}=\sqrt{3^2-(\sqrt3)^2}=\sqrt6$이다.

$\displaystyle \overline{O^{\prime}H}=\sqrt{\left(\frac43-1\right)^2+\left(\frac43-1\right)^2+\left(\frac13-1\right)^2}=\frac{\sqrt6}3$이므로

$\displaystyle \overline{HQ}=\overline{O^{\prime}Q}-\overline{O^{\prime}H}=\sqrt6-\frac{\sqrt6}3=\frac{2\sqrt6}3$이다.

$\displaystyle \triangle AHQ$가 직각삼각형이므로 $\displaystyle \overline{AQ}=\sqrt{\overline{AH}^2+\overline{HQ}^2}=\sqrt{\left(\frac2{\sqrt3}\right)^2+\left(\frac{2\sqrt6}3\right)^2}=\sqrt4=2$이다.

[문제 2-2] 정답: $\displaystyle \pi$

평면 $\displaystyle mx-y=0$을 $\displaystyle \alpha$, 구 $\displaystyle (x-2)^2+y^2+z^2=2$를 $\displaystyle S$라 하자. 점 $\displaystyle P$는 $\displaystyle S$의 중심 $\displaystyle (2,0,0)$에서 $\displaystyle \alpha$에 내린 수선의 발이다. $\displaystyle \alpha$의 법선벡터가 $\displaystyle (m,-1,0)$이므로 $\displaystyle P$는 $\displaystyle (2,0,0)+(mt,-t,0)=(2+mt,-t,0)$으로 나타낼 수 있고, $\displaystyle P$가 $\displaystyle \alpha$ 위의 점이므로 $\displaystyle m(2+mt)-(-t)=0$이다. 따라서 $\displaystyle t=\frac{-2m}{m^2+1}$이고, $\displaystyle P$는 $\displaystyle \left(\frac2{m^2+1},\frac{2m}{m^2+1},0\right)$이다.

$\displaystyle x=\frac2{1+m^2},y=\frac{2m}{1+m^2}$이라 하면, $\displaystyle x=\frac2{1+m^2}$을 풀어서 $\displaystyle m=\pm\sqrt{\frac{2-x}x}$를 얻고, 이를 $\displaystyle y=\frac{2m}{1+m^2}$에 대입하여 $\displaystyle y=\pm\sqrt{x(2-x)}$를 얻는다. 제곱하고 정리하면 $\displaystyle (x-1)^2+y^2=1$이다, 따라서 $\displaystyle P$가 그리는 곡선은 중심이 $\displaystyle (1,0,0)$이고 반지름이 1인 원의 호이다.

호의 끝점들을 구하기 위하여, $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle S$가 만나는 $\displaystyle m$의 범위를 다음과 같이 구한다. $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle S$의 교점 $\displaystyle (x,y,z)$은 $\displaystyle (x-2)^2+(mx)^2+z^2=2$를 만족한다. $\displaystyle z^2=-((m^2+1)x^2-4x+2)$이다. $\displaystyle (m^2+1)x^2-4x+2=0$의 해가 존재하여야 하므로, 판별식 $\displaystyle D/4=4-2(m^2+1)\ge0$이다.

따라서 $\displaystyle m$의 범위는 $\displaystyle m^2\le1$, 즉 $\displaystyle -1\le m\le1$이다.

$\displaystyle P$의 끝점은 $\displaystyle m=-1$, $\displaystyle m=1$일 때, 즉 $\displaystyle (1,-1,0)$과 $\displaystyle (1,1,0)$이다.

그림에서처럼 $\displaystyle P$는 $\displaystyle xy$평면에서 원 $\displaystyle (x-1)^2+y^2=1$의 오른쪽 반원을 따라 $\displaystyle (1,-1)$에서 $\displaystyle (1,1)$까지 움직인다. 그러므로 $\displaystyle P$가 그리는 곡선인 호의 길이는 $\displaystyle 1/2\times2\pi=\pi$이다.