인문사회계 Ⅱ 2번

[문제 2-1]

2019년 인플레이션율을 $\displaystyle X$라 하면 $\displaystyle X$는 평균이 0.02이고 표준편차가 0.01인 정규분표를 따르기 때문에, $\displaystyle Z=(X-0.02)/0.01$은 표준정규분포를 따르게 된다. 또한 “$\displaystyle X$가 0.021보다 크거나 같음”은 “$\displaystyle Z$가 0.1보다 크거나 같음”과 동치이다. $\displaystyle Z$가 0.1보다 크거나 같을 확률은 다음과 같이 계산 된다:

$\displaystyle P(Z\ge0.1)=1-P(Z\le0.1)=1-[0.5+P(0\le Z\le0.1)]=0.5-P(0\le Z\le0.1)$

$\displaystyle Z$가 0과 0.1 사이에 있을 확률은 0.0398임을 지문 (다)에 주어진 표에서 확인할 수 있다. 따라서 $\displaystyle Z$가 0.1보다 크거나 같을 확률은 $\displaystyle 0.5-0.0398=0.4602$이다.Correction. 표준정규분포표를 가리키는 “지문 (다)”는 “지문 (바)”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[문제 2-2]

복권 $\displaystyle A$와 $\displaystyle B$를 적절히 섞으면 복권 $\displaystyle C$와 동일한 상금을 받을 수 있다. 복권 $\displaystyle A$를 $\displaystyle X$개 사고 복권 $\displaystyle B$를 $\displaystyle Y$개 사서 복권 $\displaystyle C$의 상금을 얻고자 한다면, $\displaystyle X$와 $\displaystyle Y$를 다음 식에 따라 선택하면 된다.

$\displaystyle 5000X+2500Y=15000$$\displaystyle 3000X+4000Y=15000$

이 연립방정식을 풀면 $\displaystyle X=45000/25000,\ Y=30000/12500$을 얻는다. 복권 $\displaystyle A$의 가격은 3,600원이고 복권 $\displaystyle B$의 가격은 2,300원이므로 복권 $\displaystyle A$를 $\displaystyle X$개 사고 복권 $\displaystyle B$를 $\displaystyle Y$개 사는 것의 비용은 $\displaystyle 45000/25000\times3600$원 $\displaystyle +\ 30000/12500\times2300$원 $\displaystyle =12000$이 된다. 복권 $\displaystyle A$를 $\displaystyle X$개 사고 복권 $\displaystyle B$를 $\displaystyle Y$개 사는 것이 복권 $\displaystyle C$와 동치이기 때문에 복권 $\displaystyle C$의 가격은 12,000원이 된다.

[문제 2-3]

문제에 제시된 식을 물가지수를 이용하여 표현하면 다음과 같다:

$\displaystyle \frac{\text{2020년 물가지수}}{\text{2019년 물가지수}}=\left(\frac{\text{2019년 물가지수}}{\text{2018년 물가지수}}\right)^{0.9}$

$\displaystyle \frac{\text{2021년 물가지수}}{\text{2020년 물가지수}}=\left(\frac{\text{2020년 물가지수}}{\text{2019년 물가지수}}\right)^{0.9}$

$\displaystyle \cdots$

$\displaystyle \frac{t\text{년 물가지수}}{(t-1)\text{년 물가지수}}=\left(\frac{(t-1)\text{년 물가지수}}{(t-2)\text{년 물가지수}}\right)^{0.9}$

각 식의 우변은 2018년과 2019년의 물가지수를 이용하여 표현하는 것이 가능하다

$\displaystyle \frac{\text{2020년 물가지수}}{\text{2019년 물가지수}}=\left(\frac{\text{2019년 물가지수}}{\text{2018년 물가지수}}\right)^{0.9}$

$\displaystyle \frac{\text{2021년 물가지수}}{\text{2020년 물가지수}}=\left(\frac{\text{2019년 물가지수}}{\text{2018년 물가지수}}\right)^{0.9^2}$

$\displaystyle \cdots$

$\displaystyle \frac{t\text{년 물가지수}}{(t-1)\text{년 물가지수}}=\left(\frac{\text{2019년 물가지수}}{\text{2018년 물가지수}}\right)^{0.9^{t-2019}}$

위 식을 모두 곱하면

$\displaystyle \frac{t\text{년 물가지수}}{\text{2019년 물가지수}}=\left(\frac{\text{2019년 물가지수}}{\text{2018년 물가지수}}\right)^{0.9+0.9^2+\cdots+0.9^{t-2019}}$

좌변에 $\displaystyle t$년 물가지수만 남기면

$\displaystyle t\text{년 물가지수}=(\text{2019년 물가지수})\left(\frac{\text{2019년 물가지수}}{\text{2018년 물가지수}}\right)^{0.9+0.9^2+\cdots+0.9^{t-2019}}$

$\displaystyle t$가 무한히 커질 때 위 식의 우변은 다음과 같이 된다.

$\displaystyle (\text{2019년 물가지수})\left(\frac{\text{2019년 물가지수}}{\text{2018년 물가지수}}\right)^{0.9+0.9^2+\cdots}=(\text{2019년 물가지수})\left(\frac{\text{2019년 물가지수}}{\text{2018년 물가지수}}\right)^9=110\times1.1^9$

문제에 주어진 정보를 이용하면 위 값은 $\displaystyle 110\times2.3579=259.369$ 소수점 아래 첫 번째 자리에서 반올림하면 259가 된다.