자연계열 1번

제시문 1

[문제 1-1]

좌표평면에서 점 $\displaystyle (a,b)$에 대하여 $\displaystyle Max\{|x-a|,|y-b|\}=r\ (r>0)$을 만족하는 점 $\displaystyle (x,y)$들의 좌표는 다음 그림과 같은 정사각형이다.

각 양수 $\displaystyle r$마다 $\displaystyle Max\{|x|,|y-2|\}=r\quad Max\{|x-4|,|y|\}=r$을 만족하는 점 $\displaystyle (x,y)$의 집합인 두 정사각형을 그려보면

(i) $\displaystyle r<2$이면 두 정사각형은 만나지 않고

(ii) $\displaystyle r=2$일 때, 점 $\displaystyle (2,0)$과 $\displaystyle (2,2)$점 을 연결한 선분에서 만난다(아래 첫 번째 그림 참조).

(iii) 또한 $\displaystyle r>2$인 경우 직선 $\displaystyle x=r$과 직선 $\displaystyle y=r$의 교점인 $\displaystyle (r,r)$과 직선 $\displaystyle y=2-r$과 직선 $\displaystyle x=4-r$의 교점인 $\displaystyle (4-r,2-r)$에서 만난다. $\displaystyle r$이 변함에 따라 이 두 교점의 자취는 $\displaystyle y=x,\ x>2$과 $\displaystyle y=x-2,\ x<2$이다.

[문제 1-2]

앞의 풀이 (i), (ii), (iii) 으로부터 $\displaystyle Max\{|x|,|y-2|\}=Max\{|x-4|,|y|\}$을 만족하는 점 $\displaystyle (x,y)$가 그리는 영역은 다음 그림과 같다:

방정식 $\displaystyle x^2+y^2=k$를 만족시키는 점은 중심이 원점이고 반지름의 길이가 $\displaystyle \sqrt{k}$인 원이다. $\displaystyle k$를 변화시키면서 위의 영역과 만나는 점을 살펴보면 직선 $\displaystyle y=x-2$ 위의 점 $\displaystyle (1,-1)$에서 이 원이 처음으로 그림의 영역과 만나게 되고, 이때의 $\displaystyle k$값은 2 이다.

채점 기준

[문제 1-1]

좌표평면에서 점 $\displaystyle (a,b)$에 대하여 $\displaystyle Max\{|x-a|,|y-b|\}=r\ (r>0)$을 만족하는 점 $\displaystyle (x,y)$들의 좌표가 풀이의 그림과 같은 정사각형임을 알아내면 부분점수를 받을 수 있다.

[문제 1-2]

$\displaystyle Max\{|x|,|y-2|\}=Max\{|x-4|,|y|\}$을 만족하는 점 $\displaystyle (x,y)$가 그리는 영역을 풀이의 그림과 같이 나타내거나, 이 영역을 식으로 표시할 수 있어야 점수를 받을 수 있고, 이를 이용하여 최소값을 정확하게 구하면, 만점에 가까운 점수를 받을 수 있다.